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天门市2015年高三年级四月调研考试理科数学


绝密★启用前

试卷类型:A

天 门 市 2015 年 高 三 年 级 四 月 调 研 考 试



学(理工类)
大数据分析,提升学习力。

本试卷共4页,共22题。全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2. 选择题的作答, 每小题选出答案后, 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将答题卡上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、已知 z 为复数, ?1 ? i ? z ? ?1 ? i ? (i 为虚数单位) ,则 z =
2 3

A、 1 ? i A、 ? x |1 ? x ? 2?

B、 ?1 ? i B、 ? x |1 ? x ? 2?

C、 1 ? i C、 ? x | x ? 1?

D、 ?1 ? i D、 ? x | x ? 2?

2、已知全集 U=R, A ? ? x | x ? 1? , B ? ? x | x ? 2? ,则集合?U(A∪B)= 3、一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是等边三角形。若该几何体的四个顶 点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是(0,0,0) , (2,0,0) , (2,2,0) , (0, 2,0) ,则第五个顶点的坐标可能为 A、 (1,1,1) B、 (1,1, 2 ) C、 (1,1, 3 ) D、 (2,2, 3 )

4、已知随机变量 ? 的分布列是

?
P

-1
sin ? 4

0
sin ? 4

2
cos ?

正视图

侧视图

? ?? 其中 ? ? ? 0, ? ,则 E? ? ? 2? 1 1 A、 2 cos ? ? sin ? B、 cos ? ? sin ? 4 2
n

俯视图

C、0
n

D、1

5、已知 ? x ? 1? 的二项展开式的奇数项二项式系数和为 64,若 ? x ? 1? ? a0 ? a1 ? x ? 1? ?
a2 ? x ? 1? ? ? ? ? ? an ? x ? 1? ,则 a1 等于
2 n

A、-14

B、448

C、-1024

D、-16

6、若函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?? ? 0 ? 的图象在 ? 0,3? ? 上恰有一个极大值和一个极小值,则 ? 的 取值范围是

?2 ? A、 ? ,1? ?3 ?

? 1 5? B、 ? , ? ? 2 6?

? 2 4? C、 ? , ? ? 3 3?

? 3 5? D、 ? , ? ? 4 4?

7、已知有序数对 (a, b) ? {(a, b) | a ? [0, 4], b ? [0, 4]} ,则方程 x 2 ? 2ax ? b ? 0 有实根的概率为 A、
1 3

B、

1 2

C、

2 3

D、

5 6

8、已知实数 x, y 满足 2 x ? y ? 1 ? x ? 2 y ? 2 ,且 ?1 ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 A、6 B、5 C、4 D、-3 9、如图,直线 l ? 平面 ? ,垂足为 O,已知边长为 2 的等边三角形 ABC 在空间做符合以下 条件的自由运动:① A ? l ,② C ? ? ,则 B,O 两点间的最大距离为 l B A、 1 ? 2 B、 2 ? 2 A C、 1 ? 3 D、 2 ? 3 C O x ? 10、已知函数 f ? x ? ? x ? x ? R ? ,若关于 x 的方程 e
f 2 ? x ? ? mf ( x) ? m ? 1 ? 0 恰好有 4 个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围为

? ? 2e 1 , ? 1 A、 ? ? ? ? 2e ? ?

? 2e ? 0 , B、 ? ? ? 2e ? ? ?

? 1 ? C、 ? 1 , ? 1 ? ? e ?

? 2e ? 1? D、 ? ? 2e , ? ? ?

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填 在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 (一)必考题(11-14 题) 11、执行如图的程序框图,若输入 x ? 12 ,则输出 y ? ▲ . 12、在等比数列 ?an ? 中,对于任意 n ? N * 都有 an ?1a2 n ? 3n , 则 a1a2 ??? a6 ? ▲ .

13、设 F1 、 F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点, a 2 b2

P 是双曲线右支上一点,满足 OP ? OF2 ? PF2 ? 0 ( O 为坐标
14、数列 ?an ? 共有 12 项,其中 a1 ? 0, a5 ? ?2, a12 ? 3 ,且 ▲ . ak ?1 ? ak ? 1(k ? 1, 2,3, ???,11) ,则满足这种条件的不同数列的个数为 (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计分。 ) 15、如图,△ABC 内接于圆 O,直线 L 平行 AC 交线段 BC 于 D,交线段 AB 于 E,交圆 O 于 G、F,交圆 O 在点 A 的切线于 P.若 PE=6,ED=4,EF=6,则 PA 的长为
? x ? ?4 ? cos ?, 16、已知曲线 C1 的参数方程为 ? ? ? [? , 2? ] ,若以坐 ? y ? sin ?,

?

?

原点) ,且 3 PF1 ? 4 PF2 ,则双曲线的离心率为









标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,曲线 C2 的极坐标方程为

? sin ? ? ?

? ?

??

? ? ? ?? ? ? 2 ? ? ? 0,? ? ?0, ? ? ,那么 C1 上的点到曲线 C2 上 4? ? 2 ?? ?

G E B

L P A O

D 的点的距离的最小值为 ▲ . C 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把 F 答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17 、 ( 本 题 满 分 12 分 ) 设

? ? R , f ? x? ? a ? b







? ? ? a ? ? cos x,sin x ? , b ? ? ? sin x ? cos x, cos( ? x) ? , 2 ? ?
? ?? 已知 f ? x ? 满足 f ? ? ? ? f ? 0 ? ? 3?

(1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)求不等式 f ' ? x ? ? 2 3 的解集. 18、 (本题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, 且a2 、 数列 ?bn ? a8 成等比数列, a7 ? 3 、 的前 n 项和 Tn ? a n ? 1 (其中 a 为正常数) . (1)求 ?an ? 的前项和 Sn ; (2)已知 a2 ? N * , I n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ? ? an bn ,求 I n

19、 (本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA ? 底面 ABCD,底面 ABCD 是梯形,其中 AD//BC,BA ? AD,AC 与 BD 交于点 O,M 是 AB 边上的点,且 AM=2BM,已知 PA=AD=4, AB=3,BC=2. (1)求平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的正切; B
PN (2)已知 N 是 PM 上一点,且 ON//平面 PCD,求 的值. PM

P

N M

A O C

D

20、 (本题满分 12 分)某公司从大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名 女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分) .公司规定:成绩在 180 分以上者到甲部门工作,180 分以下者到乙部门工作,另外只有成绩高于 180 分的男生 才能担任助理工作. (1) 如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中 选取 8 人, 再从这 8 人中选 3 人, 那么至少有一人是 甲部门人选的概率是多少? (2)若从所有甲部门人选中随机选 3 人,用 X 表示所选 人员中能担任助理工作的人数,写出 X 的分布列, 并求出 X 的数学期望. 8 6 5 4 5 3 8 3 4 2 男 6 2 2 1 16 17 18 19 女 8 6 5 6 0 2

21、 (本题满分 13 分)已知椭圆 C: 的离心率为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y M F O E x

15 , F1 , F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭 4

圆上任意一点,且 PF1 F2 的周长是 8 ? 2 15 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设圆 T: ? x ? t ? ? y 2 ?
2

4 ,过椭圆的上顶点作圆 T 的两条切线交椭圆于 E、F 两 9

点,当圆心在 x 轴上移动且 t ? ?1,3? 时,求 EF 的斜率的取值范围.

22、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ?

2 , g ( x) ? ln x . x

(1)已知 f ? x ? 在 ? e, ?? ? 上是单调函数,求 a 的取值范围; (2)已知 m, n, ? 满足 n ? ? ? m ? 0 ,且 g ' ?? ? ?
g ?n? ? g ?m? n?m

,试比较 ? 与 mn 的大小;

(3)已知 a ? 2 ,是否存在正数 k ,使得关于 x 的方程 f ? x ? ? kg ? x ? 在 ? e, ?? ? 上有两个 不相等的实数根?如果存在,求 k 满足的条件;如果不存在,说明理由.

天 门 市 2015 年 高 三 年 级 四 月 调 研 考 试

数学(理工类)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、B 2、A 3、C 4、D 5、B 6、B 7、C 8、B 9、C 10、A 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填 在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 11、
10 3

12、 729 或 36

13、5

14、28

15、 2 6

16、 13

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把 答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17、解: (1) f ? x ? ? cos x ? ? sin x ? cos x ? ? sin x cos ?

?? ? ? x? ?2 ?

? ? sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x

?

?
2

sin 2 x ? cos 2 x

………………2 分

? ?? f ? ? ? ? f ? 0? ? 3?

?? ? 2 3

……………3 分

?? ? ? f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? ,得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

?k ? Z ?

? ?? ? ? f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? 6 3? ?
(2)

…………7 分

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
f '? x? ? 2 3

?? ? ? f ' ? x ? ? 4 cos ? 2 x ? ? 6? ?

?? 3 ? ? cos ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?
?
6 ? 2 k? ?

? 2 k? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?k ? Z ?

? k? ? x ? k? ?

?
6

?k ? Z ?

? ? ? ? f ' ? x ? ? 2 3 的解集是 ? x | k? ? x ? k? ? ? k ? Z ? ? ……………12 分 6 ? ?
18、解: (1)设 ?an ? 的公差是 d,则

a2 a8 ? ? a7 ? 3?

2

? ?1 ? d ??1 ? 7 d ? ? ?1 ? 6d ? 3?
…………………4 分

2

? d ? 1或 d ?

3 29

1 1 n ? n ? 1? ? 1 ? n ? n ? 1? 2 2 3 1 3 3 55 当d ? 时, S n ? n ? 1 ? n ? n ? 1? ? ? n2 ? n 29 2 29 58 58
当 d=1 时, S n ? n ? 1 ? (2)

……………6 分

a2 ? N

? an ? n

当 n ? 1 时, b1 ? a ? 1 当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ? a
n ?1

? a ? 1?
…………8 分

b1 ? a ? 1 ? a1?1 ? a ? 1?

? bn ? a n ?1 ? a ? 1?? n ? N *?
……………9 分

当 a ? 1 时, bn ? 0 ? I n ? 0 当 a ? 1时

I n ? 1? ? a ? 1? ? 2a ? a ? 1? ? 3a 2 ? a ? 1? ? ??? ? na n ?1 ? a ? 1?

? aI n ?

a ? a ? 1? ? 2a 2 ? a ? 1? ? ??? ? ? n ? 1? a n ?1 ? a ? 1? ? na n ? a ? 1?

? ?1 ? a ? I n ? ? a ? 1? ? a ? a ? 1? ? ??? ? a n ?1 ? a ? 1? ? na n ? a ? 1?

? a n ? 1 ? na n ? a ? 1?
? I n ? na n ? an ?1 a ?1
…………………11 分

?0 ? a ? 1? ? ? In ? ? an ?1 n na ? ? a ?1 ?

? a ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ?

…………………12 分

19、解法 1: (1)连接 CM 并延长交 DA 的延长线于 E,则 PE 是平面 PMC 与平面 PAD 所成二面角的棱, 过 A 作 AF 垂直 PE 于 F,连接 MF. ∵PA⊥平面 ABCD ∴PA⊥MA, 又 MA⊥AD,∴MA⊥平面 PAD ∵AF⊥PE∴MF⊥PE, ∴∠MFA 是平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的平面角………3 分 ∵BC=2, AD=4, BC//AD, AM=2MB ∴AE=4,又 PA=4,∴AF= 2 2

∴tan∠MFA=

2 MA = , FA 2
2 …………6 分 2

所以平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的正切为 (2)连接 MO 并延长交 CD 于 G,连接 PG ∵ON//平面 PCD, ∴ON//PG 在 BAD 中 ∵ ∴

BO BC 1 BM 1 ? ? ,又 ? OD AD 2 MA 2
∴MO//AD ………………………………………9 分

BO BM ? OD MA

又在直角梯形 ABCD 中,MO=OG= ∵ON//PG ∴PN=MN , ∴

4 , 3
………………12 分

PN 1 ? PM 2

解法 2 (1)以 A 为坐标原点,AB、AD、AP 为 x.y,z 轴建立如图所示直角坐标系, 则 A(0,0,0) 、B(3,0,0) 、C(3,2,0) 、D(0,4,0) 、M(2,0,0) 、 P(0,0,4) 、O(2,4/3,0) 设平面 PMC 的法向量是 u =(x,y,z),则



, MP =(-2,0,4) MC =(1,2,0)

?x ? 2 y ? 0 令 y=-1,则 x=2,z=1 ?? ??2 x ? 4 z ? 0
∴ u = (2,-1,1) 又 AB⊥平面 PAD,∴ v =(1,0,0)是平面 PAD 的法向量

? cos ? ?|

u ?v u v

|?

2 3

? tan ? ?

2 2
2 ………………6 分 2

所以平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的正切为

(2)设平面 PCD 的法向量 v ' = (x’,y’,z’) ∵ PC =(3,2,-4), PD =(0,4, -4) ∴?

?3 x '? 2 y '? 4 z ' ? 0 ?4 y '? 4 z ' ? 0

令 y ' ? 3 ,则 x ' ? 2, z ' ? 3

∴ v ' ? ? 2,3,3? 设 PN = ? PM ,则∵ PM =(2,0,-4)∴ PN =(2 ? ,0,-4 ? )
ON = AN ? AO ? AP ? PN ? AO =(2 ? -2,-4/3,4-4 ? )

∵ ON ⊥ v ' ∴? ?

∴4 ? -4-4+12-12 ? =0 …………………………………………12 分

1 PN 1 ,∴ ? 2 PM 2

8 2 ? ,根据茎叶图,甲部门入 20 5 2 2 选 10 人, 乙部门入选 10 人, 所以选中的甲部门人选有 10 ? ? 4 人, 乙部门人选有 10 ? ? 4 5 5
20、解: (1)用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是
3 C4 13 人。用事件 A 表示至少有一名甲部门人选被选中,则 P(A)= 1 ? 3 ? ,因此至少有一人 C8 14

是甲部门人选的概率是

13 14

…………6 分

(2)依题意,X 的取值分别是 0,1,2,3

P ? X ? 0? ?

0 3 C6 C4 1 ? , 3 C10 30

P ? X ? 1? ?

1 2 C6 C4 3 ? 3 C10 10

P ? X ? 2? ?

1 C62C4 1 ? , 3 C10 2

P ? X ? 3? ?

3 0 C6 C4 1 ? 3 C10 6

因此,X 的分布列如下: X P 所以 X 的数学期望 EX ? 0 ? 21、解: (1)由 e ? 0 1/30 1 3/10 2 1/2 3 1/6 ………11 分

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 30 10 2 6 5

………………12 分

15 ,可知 a=4b, c ? 15b 4

因为 PF1 F2 的周长是 8 ? 2 15 ,所以 2a ? 2c ? 8 ? 2 15 , 所以 a=4,b=1,所求椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 16

…………………………4 分

(2)椭圆的上顶点为 M(0,1),设过点 M 与圆 T 相切的直线方程为 y ? kx ? 1 , 由直线 y ? kx ? 1 与 T 相切可知 即 9t 2 ? 4 k 2 ? 18tk ? 5 ? 0

kt ? 1 k ?1
2

?

2 , 3

?

?

? k1 ? k2 ? ?

18t , 9t 2 ? 4

k1k2 ?

5 ,…………6 分 9t ? 4
2

? y ? k1 x ? 1 ? 由 ? x2 得 ?1 ? 16k12 ? x 2 ? 32k1 x ? 0 2 ? ? y ?1 ?16
? xE ? ? 32k1 1 ? 16k12
同理

xF ? ?

32k2 1 ? 16k2 2

………8 分

k EF ?
?

yE ? yF ? k1 xE ? 1? ? ? k2 xF ? 1? k1 xE ? k2 xF ? ? xE ? xF xE ? xF xE ? xF
……………11 分

k1 ? k2 6t ? 1 ? 16k1k2 28 ? 3t 2

当 1<t<3 时, f ? t ? ?

6t ? 6 ? 为增函数,故 EF 的斜率的范围为 ? ,18 ? 2 28 ? 3t ? 25 ?
……………13 分

22、解: (1)

f ? x ? ? ln ? x ? a ? ?

2 x

? f '? x? ?

1 2 x 2 ? 2 x ? 2a ? 2 ? 2 x?a x x ? x ? a?

f ? x ? 在 ? e, ?? ? 上单调
?x ? a ? 0 ?x ? a ? 0 ?? 2 或? 2 ? x ? 2 x ? 2a ? 0 ? x ? 2 x ? 2a ? 0
? a ? ?e ? a ? ?e ? ? ?? 或? 1 2 1 a ? x ? x ?a ? x 2 ? x ? ? 2 ? 2
当 x ? e 时,

1 2 1 x ? x ? e2 ? e 2 2
………………………4 分

??e ? a ?
(2)

1 2 e ?e 2

g ' ?? ? ?

g ?n? ? g ?m? 1 ln n ? ln m ? ? ? n?m n?m
2

? x ? 1? ? 0 2 1 1 设 h ? x ? ? 2 ln x ? x ? ? x ? 1? ,则 h ' ? x ? ? ? 1 ? 2 ? ? x x x2 x
? h ? x ? ? h ?1? ? 0 , ? 当 x ? 1 时, 2 ln x ? x ?
令x?

1 x

n n n m ? ? ,得 2 ln m m m n
n?m ? mn
即? ?

? ln n ? ln m ? 1 1 mn

ln n ? ln m 1 ? n?m mn
mn
…………………9 分

?

?

?

(3)假设方程 f ? x ? ? kg ? x ? 存在满足条件的二个实数根 x1 , x2 ,且 x2 ? x1 ? e ,

2 ? ln ? x1 ? 2 ? ? ?ln ? x1 ? 2 ? ? x ? k ln x1 ? 1 ? 则? ?ln ? x ? 2 ? ? 2 ? k ln x ln ? x2 ? 2 ? ? 2 2 ? x ? 2

2 x1 ln x1 ? 2 ln x2 x2

ln ? x1 ? 2 ? ?


2 x1

ln ? x2 ? 2 ? ? ? ln x2

2 x2

ln x1

ln ? x1 ? 2 ? ?

2 ? ln x1 x1

ln ? x2 ? 2 ? ? ?

2 ? ln x2 x2

ln x1

ln x2
2 x1 2 x2

? ? ? 2? 2? 2 2? 2 ln ?1 ? ? ? ln ?1 ? ? ? ln ?1 ? ? ? ? x1 ? x1 ? ? x2 ? x2 ? ? x1 ? ln x1 ln x2 ? 2? ln ?1 ? ? ? ? x2 ? ? 2? ln ?1 ? ? ? x1 ? 2 2 ? ? ? ? x1 x2 ? 2? ln ?1 ? ? ? ? x2 ? 2 x1 2 x2

?

ln x1 ln x2

x2 ? x1 ? e

?1 而

ln x1 ?1 ln x2

? 2? ln ?1 ? ? ? x1 ? ? ? ? 2? ln ?1 ? ? ? ? x2 ?

2 x1 2 x2

?

ln x1 ln x2

? 方程不存在满足条件的二根。 …………………14 分


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