三角函数和差倍角公式

和差倍角公式
一． 知识点
1..正弦、余弦、正切的和差角公式 cos(α-β)= cos ? cos ? +sin ? sin ?

sin(α-β)= sin ? cos ? -cos ? sin ? tan(α-β)=
tan ? - tan ? 1+ tan ? tan ?

cos(α+β)= cos ? cos ? -sin ? sin ? sin(α+β)= sin ? cos ? +cos ? sin ? tan(α+β)=
tan ? + tan ? 1- tan ? tan ?

2.二倍角公式 sin 2? =2sin ? cos ? cos 2? = cos2 ? -sin 2 ? =2cos2 ? -1=1-2sin 2 ? 2 tan ? tan 2? = 1- tan 2 ? 3..在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式 解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.

α±tan β=__________________________, tan αtan β=____________= ____________.
如:tan 4. 函数 f (? )=asin? +bcos? (a,b 为常数),可以化为 其中 ? 可由 a,b 的值唯一确定. 5. 倍角公式的逆用（高次化低次） 1-cos 2? 1+ cos 2? sin 2 ? = cos 2 ? = 2 2

f (? )= a 2 +b2 sin (? +? ) 或 f (? )= a 2 +b2 cos(? +? )

sin ? cos ? =

sin 2? 2

6. 积化和差
1 sin ? sin ? = (cos(? -? )-cos(? +? )) 2 1 cos ? cos ? = (cos(? -? )+cos(? +? )) 2 1 cos ? sin ? = (sin(? +? )-sin(? -? )) 2 1 sin ? cos ? = (sin(? +? )+sin(? -? )) 2

7. 和差化积
2 2 ? +? ? -? sin ? -sin ? =2cos sin 2 2 ? +? ? -? cos ? + cos ? =2cos cos 2 2 ? +? ? -? cos ? -cos ? =2sin sin 2 2
1

sin ? +sin ? =2sin

? +?

cos

? -?

二．当堂练习
例 1.下列各式中，值为 A、 sin15 cos 15

1 的是 2

12 sin ? cos ? 2 例 2 已知 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ，求 tan(? ? 2? ) 的值 1 ? cos 2? 3 5 2 例 3.函数 f ( x ) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos x ? 3( x ? R ) 的单调递增区间为____ 2 例 4.若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ，求 tan ? 的值。 2 例 5.当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时， tan x 的值是______
例 6.如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数，则 tan ? = 例 7． 已知函数 f ( x) ? 2cos
2

B、 cos 2

?
12

? sin2

?

C、

tan 22.5 1 ? tan2 22.5

D、

1 ? cos 30 2

? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R，? > 0) 的最小正周期是 ．

（Ⅰ）求 ? 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x) 的最大值，并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合．

? 2

例 8. 已知函数 f(x)=5sinxcosx－5 3 cos2x+ (1)求 f(x)的单调增区间；

5 3 (x∈R) ． 2

（2）求 f(x)图象的对称轴、对称中心．

例 9、已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

)( x ? R). 12 （I）求函数 f ( x) 的最小正周期； （II）求使函数 f ( x) 取得最大值的 x 集合。 6

?

) ? 2sin 2 ( x ?

?

例 10. 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? （Ⅰ）求 f(x)的最小正周期： （Ⅱ）求 f(x)的最大值和最小值： （Ⅲ）若 f (? ) ?

?
2

), x ? R.

3 , 求 sin2 ? 的值。 4

2

三．课后练习
3 ，那么 cos 2? 的值为____ 5 2．已知 tan ? ? 2 ，求 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 3cos2 ? .

1．已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ?

3．化简 1+2cos2θ－cos2θ= ． 1 1 4． － = ． 1－tanθ 1＋tanθ π 3π 4 4 5．已知 cos(α－β)=－ ，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（ ，π） ，α+β∈（ ，2 5 5 2 2 π） ，求 cos2α、cos2β的值．

π 6.已知函数 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a，若 x∈［0， ］ ，且｜f(x)｜＜2，求 a 的取值范围． 2

7. 已知函数 f(x)=2sin(x+ (1) 若 sinx=

? ? )-2cosx,x∈[ , ? ]. 6 2
（2）求函数 f(x)的值域.

4 ,求函数 f(x)的值; 5

8．求函数 y ＝2 cos( x ?

?

) cos( x ? ) ＋ 3 sin 2 x 的值域和最小正周期． 4 4

?

9、已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x ， x ? R .求:
2 2

(I) 函数 f ( x) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合； (II) 函数 f ( x) 的单调增区间.

10．已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x，x ? R ，求
2 2

（1）函数 f ( x) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合； （2）函数 f ( x) 的单调增区间．

3