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江西省南昌市2010届高三数学第一次高考模拟测试卷(理)人教版

江西省南昌市 2010 届高三第一次模拟测试卷 数学理
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在第小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, 集合 B ? x | x ? 2 ? 2 , 则 A A. ? 0, 2? B. ? 0, 2? C.

?

?

B 是( A )
D. ?

??1, 2?

2.复数(

2i 2 ) (其中 i 为虚数单位)的虚部等于( B ) 1? i
B. -1 C. 1 D.0

A.-i

3. 把 函 数 y ? 2 x ?

x( x?1)的 图 象 按 向 量 a ? (?1, 2) 平 移 得 到 y ? f ( x) 的 图 象 , 则

y ? f ( x) 的定义域为( C )
A. x | x ≥ ?1 C. x | x ≥ 0

?

?

B. x | x ≥ 0

?

? ?

?

? ??1?
12 13

D. x | ?1 ≤ x ≤ 0

?

4.已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心率等于 (D ) A.

5 13

B.

C.

3 5

D.

4 5

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 5.设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 u ? 的取值范围是 ( A ) x ?y ? 2 ? 0 ?
5 ] 2 y 【解析】A 在坐标平面上点 ? x, y ? 所表示的区域如图所示,令 t ? ,根据几何意义, t 的值 x 即为区域内的点与坐标原点连线的斜率,显然点 A, B 是其中的两个临界值,点 A ? 3,1? ,点
A. [ , 2] ] B. [ , ] C. [ , 2] D. [2,

1 3

1 1 3 2

1 2

1 B ?1, 2? ,故 ? t ? 2 , 3

6.每年南昌市第二次模拟考试成绩大体上能反映当年全市考生高考的成绩状况, 设某一年二模 考试理科成绩服从正态分布 ?

N (480,100 2 ) ,若往年全市一本院校录取率为 40%,那么一

本录取分数线可能划在(已知 φ(0.25)=0.6)( C) A.525 分 B.515 分 C.505 分 D.495 分
D

7.如图,BC 是单位圆 A 的一条直径, F 是线段 AB 上的点,且 BF ? 2 FA , 若 DE 是圆 A 中绕圆心 A 运动的一条直径,则 FD FE 的值是( B ) A. ?
B

C F A E

3 4

B.

?

8 9

C. ?

1 4

D. 不确定

解析: FD FE ? (FA ? AD) (FA ? AE) ? (FA ? AD) (FA ? AD)

D G B F A E C

8 ? FA ? AD ? ? 9
2 2

8.某同学要出国学习,行前和六名要好的同学站成一排照纪念照,该同学必须站在正中间,并 且甲、乙两同学要站在一起,则不同的站法有(B ) A.240 种 B.192 种 C.96 种 D.48 种 9.已知集合 A、B、C.A={直线},B={平面}, C ? A ? B ,若 a ? A, b ? B, c ? C .在下列命题 1 ? 中:○

?a ? b ?a ? b ?a b ?a b 2 ? 3 ? 4 ? ? a c ;○ ? a ? c ;○ ? a c ;○ ? a ? c .其中一 ?c ? b ?c b ?c b ?c ? b
3 ○ 4 C. ○ 2 D. ○

定正确的是( D ) 1 ○ 2 2○ 3 A. ○ B. ○

10.设 F 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,在 x 轴上 F 点的右侧有一点 A ,以 FA 为直径的圆 16 9

与双曲线左、右两支在 x 轴上方的交点分别为 M 、 N ,则

FN ? FM FA

的值为( C



A.

2 5

B.

4 5

C.

5 4

D.

5 2

FN ? FM 1 x2 y 2 解 析 : 对 2 ? 2 ?1 有 ? , 特 殊 情 形 : A 为 右 焦 点 , a b FA e

Rt FMA ? Rt FNA,? FM ? AN ,

FN ? FM FA

?

FN ? AM FA

?

2a 1 ? 。 2c e

11.已知实数 a, b ? R? , a ? b ? 1, M ? 2a ? 2b ,则的整数部分是( A.1
a



B.2
1? a

C.3

D.4

解析: M ? 2 ? 2

? 2 2, M ? 2a ?

2 2 , 设 t ? 2a , a ? (0,1), t ? (1, 2), M ? t ? a 2 t

当 t ? 1 或 2 时, M ? 3 , 2 2 ? M ? 3 ,故选 B 12.已知

f ? x? ?

3? x , x ? ? 0,3? ,已知数列 ?an ? 满足 0 ? an ? 3, n ? N ? ,且 2 1? x

a1 ? a2 ?

? a2010 ? 670 ,则 f (a1 ) ? f (a2 ) ?

? f (a2010 ) ( A )

A . 最大值 6030 B . 最大值 6027 解析:

C 有最小值 6027. D . 有最小值 6030

1 1 f ( ) ? 3 ,当 a1 ? a2 ? ? a2010 ? 时, f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? f (a2010 ) =6030 3 3 3? x 1 9 1 (0 ? x ? 3) , k ? f ?( ) ? ? ,在 x ? 处的切线方程为 对于函数 f ( x) ? 2 1? x 3 16 3 9 1 3 y ? 3 ? ? ( x ? ) 即 y ? (11 ? x) , 10 3 10 3? x 3 1 ? (11 ? x) ? ( x ? 3)( x ? ) 2 ? 0 成立, 则 f ? x? ? 2 1 ? x 10 3 3 (11 ? 3a n ) 所以 0 ? an ? 3, n ? N ? 时,有 f ? an ? ? 10 3 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? f (a2010 ) ? ?11? 2010 ? 3(a1 ? a2 ? ? a2010 )? ? 6030 10
二、填空题:本大题菜 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案直接答在答题卡上。
n * 2 13.已知 ( x ? ) (n ? N ) 展开式中常数项是 C n ,则 n 的值为

1 x

.

r r 13 . 解 : 展 开 式 的 通 项 为 Tr ?1 ? Cn ( x 2 )n?r ( x?1 )r ? Cn x 1 n 3 n

1

n ?3 r 2

,若要其表示常数项,须有

n - 3r 1 1 1 2 \ n = 6 或 n = 3. = 0, \ 2 = n 或 n- 2 = n , 即r = n , 又由题设知 Cn =C , 2 3 3 3

? x3 ?1 an ? 1 2a ,x ?1 ? ? )? 14.已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 , 若f ( x) 在 R 上连续,则 lim( n ?? n 3n ?a, x ? 1 ?
B、 C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为 15.已知球 O 的半径为 1, A、
O 到平面 ABC 的距离为

3

.

?
3

,则球心

6 3 6 3

解:三棱锥 O ? ABC 是棱长为 1 的正四面体,高为

16.给出下列命题:① “数列 ?a n ? 为等比数列”是“数列 ?an an?1 ? 为等比数列”的充分不必要 条件;② “ a ? 2 ” 是“函数 f ( x) ? x ? a 在区间 [2, ??) 上为增函数”的充要

条件;③m=3 是直线 (m ? 3) x ? my ? 2 ? 0与直线mx ? 6 y ? 5 ? 0 互相垂直的充要条件;④ 设 a ,b,c 分别 △ ABC 是的三个内角 A, B ,C 所对的边, 若 a ? 1, b ? 3, 则A ? 30 是B = 60 的必要 不充分条件; 其中真命题的序号是①④ (写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. .( 本题满分 12 分 ) 已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 2t sin x cos x ? sin 2 x , ( 1 )当 t ? 1 时,若

? 3 ? ? f( )? , 试求 sin 2? ; (2) 若函数 f ( x ) 在区间 ( , ] 上是增函数, 求实数 t 的取值范围. 2 4 12 6
17.解: (1)当 t ? 1 时,函数 f ( x) ? cos2 x ? 2sin x cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ,?3 分。

3 3 7 得 sin ? ? cos ? ? ,两边同时平方并整理得 2sin ? cos ? ? ? ,??5 分 2 4 4 16 7 即 sin 2? ? ? ???6 分 16
由 f( )? (2) 函数函数 f ( x ) 在区间 (

?

, ] 上是增函数, 则等价于不等式 f ' ( x) ? 0 在区间 ( , ] 上 12 6 12 6 , ] 上恒成立,???9 分 12 6

? ?

? ?

恒成立,也即 f ' ( x) ? ?2sin 2 x ? 2t cos 2 x ? 0 在区间 (

? ?

x 在在区间 ( 从而 t ? tan 2

tan( 2 ? ) 6

?

, ]上 恒 成 立 , 而 函 数 y ? t an 2 x 在区间上的最大值为 12 6

? ?

3 ,所以 t ? 3 为所求. ???12 分.

18. (本小题满分 12 分)高考数学试题中共有 12 道选择题每道选择题都有 4 个选项,其中有 且仅有一个是正确的。评分标准规定: “每题只选 1 项,答对得 5 分,不答或答错得 0 分” , 某考生每道题都给出了一个答案,已确定有 8 道题的答案是正确的,而其余题中,有两道题 都可判断出两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解 题意只能乱猜,试求出该考生: (Ⅰ)选择题没得 60 分的概率; (Ⅱ)选择题所得分数 ? 的数 学期望. ( 保留三位有效数字) 1 18.解: (Ⅰ)得分为 60 分,12 道题必须全做对.在其余的四道题中,有两道题答对的概率为 , 2 1 1 有一道题答对的概率为 ,还有一道答对的概率为 ,所以得分为 60 分的概率为: 4 3
1 1 1 1 1 ? ? ? ? . ???(3 分) 2 2 3 4 48

所以没得 60 分的概率; P ? 1 ?

1 47 ? ???(5 分) 48 48

(2)依题意,该考生得分的范围为{40,45,50,55,60}. 得分为 40 分表示只做对了 8 道题,其余各题都做错,所以概率为:
1 1 2 3 1 P ? ? ? ? ; ???(6 分) 1 ? 2 2 3 4 8

同样可以求得得分为 45 分的概率为:
1 P 2 ? C2 ?

1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 2 1 17 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; ???(7 分) 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48

得分为 45 分的概率为:

1 1 2 3 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 17 P3 ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? ? ? ? ; ?(8 分) 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48
得分为 55 分的概率为: P 4
5 得分为 60 分的概率为: P

?

7 ;?(9 分) 48

?

所以 ? 的分布列为:

1 . ?(10 分) 48
45 50 55 60

?
P

40

17 17 7 1 48 48 48 48 6 17 17 7 1 575 ? E? ? 40 ? ? 45 ? ? 50 ? ? 55 ? ? 60 ? ? . ? 47.9 (分) 48 48 48 48 48 12

6 48

???(12 分)

19.(本小题满分 12 分)如图 1,直角梯形 ABCD 中, AD / / BC, ?ABC ? 90 , E , F 分别为 边 AD 和 BC 上的点, 且 EF / / AB ,AD ? 2 AE ? 2 AB ? 4 FC ? 4 。 将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图 2 的位置,使平面 EFCD 和平面 ABEF 所成二面角的大小为 60 , (Ⅰ)求证:直线 BC ? 平面 CDEF ; (Ⅱ)求二面角 C ? BD ? A 的大小:
B A

D

C F E B A

C F E D

图1

图2

19.解证: (Ⅰ)

BF ? EF , CF ? EF ,??BFC 为平面 EFCD 和
C

G H M B

D

平面 ABEF 所成二面角的平面角,即 ?BFC ? 60 ,???(1 分) CF ? BF cos ?BFC , BC ? CF ①???(3 分) 又 EF ? BF , EF ? CF , EF ? 平面 BFC , EF ? BC ②???(4 分) 由①②知直线 BC ? 平面 CDEF 。???(5 分) ∵BB1∥CC1 ,CC1⊥平面 EB1C1 ∴BB1⊥平面 EB1C1 (Ⅱ)将图形补形成如图 3 所示的正三棱柱 ADE ? BGF , 作 CH ? BG 垂足为 H ,则 CH ? 平面 ADGB ,作 HM ? BD 于 点 M ,连 CM ,由三垂线定理得 CM ? BD ,???(7 分) 所以是二面角 C ? BD ? G 的平面角???(9 分)

A

F E

图3

?ADE 为正三角形,四边形 ADGB 为正方形,? HM ?

3 3 3 AG ? 2 , CH ? , 8 4 2

tan ?CMH ?

6 CH 6 , ?CMH ? arctan ? 3 HM 3

???(11 分)

又二面角 C ? BD ? G 与二面角 C ? BD ? A 互补 二面角 C ? BD ? A 的大小为 ? ? arctan

6 3

???(12 分)

z
G H D

(Ⅱ)解法二:如图以 AE 中点为原点, AE 为 x 轴建立 如图所示的空间直角坐标系, 则 A(?1,00) ,D(0,0, 3)

C B

M A y

1 3 B(?1, ?2,0) , C ( , ?2, ) ???(6 分) 2 2
F

E

可求平面 ABD 的一个法向量为 n1 ? ( , 0, ? 设平面 BCD 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 )

3 2

3 ) ???(7 分) 2

x

图3

? 3 3 3 3 z2 ? 0 ? n2 BC ? ( x2 , y2 , z2 ) ( , 0, ) ? x2 ? , 由? 2 2 2 2 ?n BD ? ( x , y , z ) (1, 2, 3) ? x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 2
令 x2 ? 2, 则 y2 ? 2 , z2 ? ?2 3 ,?n2 ? (2,2, ?2 3) ???(9 分)

cos n1 , n2 ?

n1 n2 n1 n2

?

15 5

???(11 分)

二面角 C ? BD ? A 的大小为 ? ? arc cos

6 ???(12 分) 3

2 * 20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2a cos k? ln x(k ? N , a ? R 且 a ? 0 ) . (1)

讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 k ? 2010 ,方程 f (x) =2 a x 有惟一解时,求 a 的值。 20.解:(1)由已知得,x>0 且 f ( x) ? 2 x ? ( ?1) ?
' k

2a . x

当 k 是奇数时,则 f ( x) ? 0 ,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数; ??(2 分)
'

当 k 是偶数时,则, f ( x) ? 2 x ?
'

2a 2( x ? a )( x ? a ) , ? x x

??(3 分)

所以当 x ? 0, a 时, f ' ( x) ? 0 , 当 x ? ? a, ??? 时, f ' ( x) ? 0 , 故当 k 是偶数时,f(x)在 0, a 是减函数,在 ? a, ??? 是增函数.??(5 分) (Ⅱ)若 k ? 2010 ,则 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(k ? N * ) 记 g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax,

?

?

?

?

g ?( x) ? 2 x ?
2

2a 2 ? 2a ? ( x 2 ? ax ? a) , x x

若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解;??(6 分) 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ax ? a ? 0 ,? a ? 0, x ? 0

a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a ??(7 分) ? 0 (舍去) x 2 ? 2 2 当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单调递减函数; 当 x ? ( x2 ,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 ,??) 上是单调递增函数。 当 x=x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x) min ? g ( x2 ) ????(8 分) ? g ( x) ? 0 有唯一解,? g ( x2 ) ? 0 ?x1 ?
? x2 ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0 ? g ( x2 ) ? 0 ? 则? ,即 ? 2 ? ? g ?( x 2 ) ? 0 ? x2 ? ax2 ?a ? 0
2

???(9 分) ????(10 分)

a ln x2 ? ax2 ? a ? 0 ? a ? 0, ? 2 ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 (*) 设函数 h( x) ? 2 ln x ? x ? 1 ,
∵在 x>0 时, h (x)是增函数,∴h (x) = 0 至多有一解。 ∵h (1) = 0, ∴方程(*)的解为 x 2 = 1,即

1 a ? a 2 ? 4a ? 1 ,解得 a ? 。????(12 分) 2 2
1

21. (本小题满分12分)已知动圆M过定点P(0,m)(m>0),且与定直线 圆圆心 M 的轨迹方程为 C ,直线
2

: y ? ?m 相切,动
2

过点 P 交曲线 C 于 A 、 B 两点。 (1) 若

交 x 轴于点 S, 求

SP SA

?

SP SB

的取值范围; (2)若

2 的倾斜角为

30 ,在 1 上是否存在点E使△ABE为正三角形?

若能,求点E的坐标;若不能,说明理由. 21.解:(1)依题意,曲线C是以点P为焦点,直线 所以曲线C的方程为 x ? 4my ??(2分)
2 1 为准线的抛物线,



2 方程为

y ? kx ? m 代入 x2 ? 4my 由消去 y 得 x2 ? 4mkx ? 4m2 ? 0
2

设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4mk , x1 x2 ? ?4m ??(3分)

SP SP m m m m ? ? ? ?2 ?2 SA SB y1 y2 y1 y2

m m ?2 2 x12 x2 4 m 4m

? ?4m ?

16m4

2 2

?2

所以

SP SA

?

SP SB

的取值范围是 ? 2, ??? ??(7分)

(2)由(1)知

2 方程为

y?

4 3 3 mx ? 4m2 ? 0 x ? m 代入 x2 ? 4my 由消去 y 得 x 2 ? 3 3

x1 ? ?

? 2 3 m? 2 3 m, x2 ? 2 3m , A ? ? ? 3 m, 3 ? ? , B 2 3m,3m ??(8分) 3 ? ?

?

?

假设存在点 E ? x0 , ?m? ,使△ABE为正三角形,则|BE|=|AB|且|AE|=|AB,??(9分)

| AB |? y1 ? y2 ? 2m ?

16 m. 即 3

? 2 3 m 16 (? m ? x0 ) 2 ? ( ? m) 2 ? ( m) 2 , ? 14 3 ? 3 3 3 相减解得x0 ? m ??(11分) ? 9 16 2 2 2 ?(2 3m ? x ) ? (3m ? m) ? ( m) 0 ? 3 ?
若E?

? 14 3 ? 448 ? 9 m, ?m ? ? ,则 AE ? 27 m ? AB (不符, 舍) ? ? ?2 3 5 ? ? 3 m, 3 m ? ? ??(8 分) ? ?

因此,直线l上不存在点E,使得△ABE是正三角形. ??(12分) 解法二:设 AB 的中点为 G,则 G ? 由 EG ? AB, 联立 EG 方程

5 2 3 y ? m ? ? 3( x ? m) 与 3 3
由 EG ?

1

? 14 3 ? : y ? ?m 方程求得 E ? ? 9 m, ?m ? ? ??(10 分) ? ?

3 AB 得 m ? 0 ,矛盾 2

因此,直线 l 上不存在点 E,使得△ABE 是正三角形. ??(12 分) 22. (本小题满分 14 分) 已知定义在 R 上的单调函数 f ( x ) ,存在实数 x0 ,使得对于任意实数 x1 , x2 , 总有 f ( x0 x1 ? x0 x2 ) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立。(Ⅰ)求 x0 的值;(Ⅱ)若 f ( x0 ) ? 1 ,且对 任意正整数 n ,有 an ? f (

1 ) ? 1 , ,求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)若数列{bn}满足 2n

bn ? 2 og 1 an ? 1,将数列{bn}的项重新组合成新数列 ?cn ? ,具体法则如下:
2

c1 ? b1 , c2 ? b2 ? b3 , c3 ? b4 ? b5 ? b6 , c4 ? b7 ? b8 ? b9 ? b10 , ??,求证:
1 1 1 ? ? ? c1 c2 c3 ? 1 29 。 ? cn 24

22.解:(Ⅰ)令 x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x0 ) ? ? f (0) ,① 令 x1 ? 1, x2 ? 0 ,得 f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f (1) ? f (0) ,? f (1) ? ? f (0) ,② 由①、②得 f ( x0 ) ? f (1) ,又因为 f ( x ) 为单调函数,? x0 ? 1 ??(2 分) (Ⅱ)由(1)得 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f ( x1) ? f ( x 2) ?1 ,

1 1 1 1 f (1) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1), 2 2 2 2 1 1 f ( ) ? 0, a1 ? f ( ) ? 1 ? 1 2 2 1 1 1 1 1 1 f ( n ) ? f ( n ?1 ? n ?1 ) ? f ( n ?1 ) ? f ( n ?1 ) ? f (1) ? 2 f ( n ?1 ) ? 1 ,??(3 分) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 f ( n ?1 ) ? 1 ? [ f ( n ) ? 1], ??(4 分) 2 2 2
an ?1 ? 1 ?1? an , an ? ? ? 2 ?2?
n ?1

,??(5 分)
n ?1

?1? bn ? 2 og 1 an ? 1 ? 2 og 1 ? ? 2 2 ?2?
[1+2+?+(n-1)]+1=

? 1 ? 2n ? 1 ??(6 分)

(Ⅲ)由{Cn}的构成法则可知,Cn 应等于{bn}中的 n 项之和,其第一项的项数为

( n ? 1) n ( n ? 1) n +1,即这一项为 2×[ +1]-1=n(n-1)+1 2 2 n(1 ? 2n ? 1) 3 Cn=n(n-1)+1+n(n-1)+3+?+n(n-1)+2n-1=n2(n-1)+ =n ??(8 分) 2 1 9 29 1? 3 ? ? 2 8 24 1 1 1 1 1 1 ? ? [ ? ] ??(12 分) 当 n ? 3 时, 3 ? 2 2 n nn n(n ? 1) 2 (n ? 1)n n(n ? 1)

?1 ?

1 1 1 ? ? ? 23 33 43

?

1 1 1 1 1 ? 1? ? [ ? ? 3 n 8 2 2 ? 3 3? 4

?

1 1 ? ] (n ? 1) ? n n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 1 29 ? 1? ? [ ? ] ? 1 ? ? ? ??(14 分) 8 2 2 ? 3 n ? (n ? 1) 8 12 24

解法 2:

n3 ? 4n(n ?1) ? n(n ? 2)2 ? 0,?n3 ? 4n(n ?1)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 3 n 4n(n ? 1) 4 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 1 ? ? ( ? ? 2 3 4 n 8 4 2 3 1 1 1 1 1 19 29 ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 8 16 4n 8 16 16 24

?

1 1 ? ) n ?1 n


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