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浙江省绍兴市2017届高三教学质量调测数学试题 Word版含答案


2017 年绍兴市高三教学质量调测 数 学

第Ⅰ卷(共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合 A ? x ? R | x ? 2 , B ? ? x ? R | x ? 1 ? 0? ,则 A ? B ? ( A. ? ?2,1? B. ? ?1, 2? C. ? ?1, ?? ? ) D. ? ?2, ?? ?

?

?



2.已知 i 是虚数单位,复数 z ? A.25 B.5

1 ,则 z ?z ? ( 2?i 1 1 C. D. 5 25

2 3.已知 a , b 为实数,则“ a ? 0 ”是“ f ? x ? ? x ? a x ? b 为偶函数”的(



A.充分不必要条件 要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必

b 4.已知 a ? 0 ,且 a ? 1 ,若 a ? 1 ,则(

) D. a ? b

A. ab ? b

B. ab ? b

C. a ? b

5.已知 p ? 0, q ? 0 ,随机变量 ? 的分布列如下:

?
P

p

q

q

p

若 E ?? ? ? A.

4 9

4 2 2 ,则 p ? q ? ( ) 9 1 5 B. C. 2 9

D.1

? x? y?3? 0 ? 6.已知实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4 ? 0 ,若 z ? y ? 2 x 的最大值为 7,则实数 a ? ? y?a?0 ?
( ) B.1
2

A. -1

C.

10 3

D.

11 2

7.已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F ,过点 M ? p,0? 的直线交抛物线于 A, B 两点,

若 AM ? 2MB ,则

???? ?

????

AF BF

?(



5 C. 2 D.与 p 有关 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8. 向量 a, b 满足 a ? 4, b? a ? b ? 0 .若 ? a ? b 的最小值为 2 ? ? ? R ? ,则 a ? b ?(
A. 2 B.

?

?



A.0

B.4

C. 8

D.16 )

9.记 min ? x, y? ? ?

? y, x ? y 2 3 ,设 f ? x ? ? min ? x , x ? ,则( ? x, x ? y

A.存在 t ? 0 , f ? t ? ? f ? ?t ? ? f ? t ? ? f ? ?t ? B.存在 t ? 0 , f ? t ? ? f ? ?t ? ? f ? t ? ? f ? ?t ? C. 存在 t ? 0 , f ?1 ? t ? ? f ?1 ? t ? ? f ?1 ? t ? ? f ?1 ? t ? D.存在 t ? 0 , f ?1 ? t ? ? f ?1 ? t ? ? f ?1 ? t ? ? f ?1 ? t ?

AB 的中点为 P .若光线从点 P 出发,依次 10. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,棱
经过三个侧面 BCC1B1 , DCC1D1 , ADD1 A ,则 1 反射后,落到侧面 ABB 1A 1 (不包括边界) 入射光线 PQ 与侧面 BCC1B1 所成角的正切值的范围是( )

A. ?

?3 5? , ? ?4 4?

B. ?

? 2 17 ? ? 17 , 4 ? ? ? ?

C. ? ?

? 5 3? , ? ? ? 5 2?

D. ?

?3 5 5? ? 10 , 4 ? ? ? ?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,第 11,12,13,14 题每空 3 分,共 36 分,将 答案填在答题纸上)
11.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为_________,离心率为___________. 4 12

12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为___________,体积为 _____________.

* 13.已知等差数列 ?an ? ,等比数列 ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn n ? N .若

?

?

Sn ?

3 2 1 n ? n , b1 ? a1 , b2 ? a3 ,则 an ? 2 2

, Tn ? ___________.

14.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A ?

?
4

,b ?

6 , ?ABC 的面

积为

3? 3 ,则 c ? 2

, B ? _____________.

15.将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列,若男同学甲与另外两个男同学不相邻,则不同的 排法种数 为 . (用具体的数字作答) .

16.已知正实数 x, y 满足 xy ? 2 x ? 3 y ? 42 ,则 xy ? 5 x ? 4 y 的最小值为 17.已知 a, b ? R 且 0 ? a ? b ? 1 ,函数 f ? x ? ? x ? ax ? b 在 ? ?
2

? 1 ? , 0 上至少存在一个零 ? 2 ? ?

点,则 a ? 2b 的取值范围为___________.

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
18.已知函数 f ? x ? ? 2sin x ? cos ? 2 x ?
2

? ?

??

?. 3?

(1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)求 f ? x ? 在 ? 0,

? ?

??

? 上的单调递增区间. 2?

19. 如图,已知三棱锥 P ? ABC , PA ? 平面 ABC , ?ACB ? 90 , ?BAC ? 60 ,
0 0

PA ? AC , M 为 PB 的中点.
(1)求证: PC ? BC ; (2)求二面角 M ? AC ? B 的大小.

20. 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? 3x ? b ? a, b ? R ? . 3

(1)当 a ? 2, b ? 0 时,求 f ? x ? 在 ?0,3? 上的值域; (2)对任意的 b ,函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

2 的零点不超过 4 个,求 a 的取值范围. 3

x2 y 2 21. 已知点 A ? ?2,0? , B ? 0,1? 在椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 上. a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2) P 是线段 AB 上的点,直线 y ?

1 x ? m ? m ? 0 ? 交椭圆 C 于 M , N 两点.若 ?MNP 是 2

斜边长为 10 的直角三角形,求直线 MN 的方程.

2 2 * 22.已知数列 ?an ? 满足 an ? 0, a1 ? 2 ,且 ? n ? 1? an ?1 ? nan ? an n ? N .

?

?

(1)证明: an ? 1 ;
2 2 2 a3 an a2 9 ? ? ? ? 2 ? ? n ? 2? . (2)证明: 4 9 n 5

试卷答案 一、选择题
1-5:BDAAC 6-10: BCBCD

二、填空题
11.

? ?4,0? , ? 4,0? ;
? 3

2 15.

12. 2 ? 2 5 ; 288 16.55

2 3

13. 3n ? 1 ;

2 n ? 4 ? 1? 3

14.

1? 3 ;

17. ?0,1?

三、解答题
18.解: (1)因为 cos 2 x ? 1 ? 2sin x ,
2

所以

?? 1 3 ?? ? ? f ? x ? ? 2sin 2 x ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? sin ? 2 x ? ? . 3? 2 2 6? ? ?
故 f ? x ? 的最小正周期为 ? . (2)由 2k? ? 得 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

?
2

,k ?Z ,

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z .

故 f ? x ? 在 ? 0,

? ?

??

? ?? ? 上的单调递增区间为 ? 0, ? . 2? ? 3?

19.证明: (1)

(1)因为 PA ? 平面 ABC , 所以 PA ? BC . 又因为 ?ACB ? 90 ,
0

即 BC ? AC , 所以 BC ? 平面 PAC . 故 PC ? BC .

(2)取 PC 的中点 O ,连接 MO , AO . 因为 M 是 PB 的中点, 所以 MO / / BC . 又因为 BC ? 平面 PAC ,所以 MO ? 平面 PAC . 所以 ?MAO 为直线 AM 与平面 PAC 所成角. 设 AC ? t ,则 BC ? 3t ,所以 MO ?

3 t. 2

又因为 PA ? AC ? t ,所以 AO ?

2 t. 2

所以 tan ?MAO ?

MO 6 . ? AO 2 6 . 2

故直线 AM 与平面 PAC 所成角的正切值为 20.解: (1)由 f ? x ? ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3x ,得 f ? ? x ? ? x2 ? 4x ? 3 ? ? x ?1?? x ? 3? . 3

当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增; 当 x ? ?1,3? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ?1,3? 上单调递减. 又 f ? 0? ? f ?3? ? 0 , f ?1? ?

4 , 3

所以 f ? x ? 在 ?0,3? 上的值域为 ?0, ? . 3
2 (2)由题得 f ? ? x ? ? x ? 2ax ? 3 , ? ? 4a ? 12 ,
2

? 4? ? ?

2 ①当 ? ? 0 ,即 a ? 3 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增,满足题意. 2 ②当 ? ? 0 , 即 a ? 3 时, 方程 f ? ? x ? ? 0 有两根, 设两根为 x1 , x2 , 且 x1 ? x2 ,x1 ? x2 ? 2a ,

x1 x2 ? 3 .
则 f ? x ? 在 ? ??, x1 ? , ? x2 , ??? 上单调递增,在 ? x1 , x2 ? 上单调递减. 由题意知 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?
3 4 x3 ? x2 4 2 ,即 1 ? a x12 ? x2 ? 3 ? x1 ? x2 ? ? . 3 3 3

?

?

化简得

3 4 2 4 2 2 ? a ? 3 ,解得 3 ? a ? 4 , ? ? 3 3
2

综合①②,得 a ? 4 ,即 ?2 ? a ? 2 . 21.解: (1)因为点 A? ?2,0? , B ? 0,1? 在椭圆 所以 a ? 2, b ? 1 ,

x2 y 2 ? ? 1 上, a 2 b2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

1 ? y ? x?m ? 1 2 ? 2 2 (2)设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? .由 ? 2 消去 y ,得 x ? mx ? m ? 1 ? 0 , 2 ? x ? y2 ? 1 ? ? 4
则 ? ? 2 ? m2 ? 0, x1 ? x2 ? ?2m, x1x2 ? 2m2 ? 2 ,

MN ?

5 x1 ? x2 ? 10 ? 5m2 . 2

① 当 MN 为斜边时, 10 ? 5m2 ? 10 ,解得 m ? 0 ,满足 ? ? 0 , 此时以 MN 为直径的圆方程为 x ? y ?
2 2

5 . 2

点 A? ?2,0? , B ? 0,1? 分别在圆外和圆内,即在线段 AB 上存在点 P ,此时直线 MN 的方程

y?

1 x ,满足题意. 2

② 当 MN 为直角边时,两平行直线 AB 与 MN 的距离 d ? 所以 d ? MN
2 2

2 5 m ?1 , 5

4 2 m ? 1 ? ?10 ? 5m 2 ? ? 10 ,即 21m2 ? 8m ? 4 ? 0 , 5 2 2 2 解得 m ? 或 m ? ? (舍) ,又 ? ? 0 ,所以 m ? . 3 7 7 ?
过点 A 作直线 MN : y ?

1 2 ? 12 4 ? x ? 的垂线,可得垂足坐标为 ? ? , ? ? ,垂足在椭圆外, 2 7 ? 7 7? 1 2 x ? ,符合题意. 2 7

即在线段 AB 上存在点 P ,所以直线 MN 的方程 y ?

综上所述,直线 MN 的方程为 y ?

1 1 2 x或 y ? x? . 2 2 7

2 2 22.证明: (1)由题得 ? n ?1? an ?1 ? ? n ? 1? ? nan ? n ? an ?1 ,

故 ? an?1 ?1?? an?1 ?1?? n ?1? ? ? an ?1?? nan ? n ? 1? , 由 an ? 0, n ? N * ,可知 ? an?1 ? 1?? n ? 1? ? 0 , nan ? n ? 1 ? 0 , 所以 an ?1 ? 1 与 an ? 1 同号,又 a1 ? 1 ? 1 ? 0 ,故 an ? 1 .
2 2 2 (2)由(1)知 an ? 1 ,故 ? n ?1? an ?1 ? nan ? an ? ? n ? 1? an ,

所以 an?1 ? an ,1 ? an ? 2 . 又由题可得 an ? ? n ? 1? an?1 ? nan ,所以,
2 2 2 2 2 2 2 ,??, an ? ? n ? 1? an?1 ? nan , a1 ? 2a2 ? a12 , a2 ? 3a3 ? 2a2

相加得 a1 ? a2 ? ?? an ? ? n ? 1? an?1 ? 4 ? 2n ,
2

所以 an ?1 ?
2

2n ? 4 2n ? 2 2 ,即 an ? ? n ? 2? , n ?1 n

2 an 2 2 1? ? 1 2 1 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 2? ? ??? ? ? ? ? n ? 2? . 2 n n n ? n ?1 n ? ? n ?1 n n ? 1 ?
2 a2 3 9 ? ? . 2 2 4 5

当 n ? 2 时,

2 2 a3 a2 3 2 2 3 1 9 当 n ? 3 时, 2 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? ? . 2 3 4 3 3 4 3 5

当 n ? 4 时,

2 a2 a2 a2 a2 ?1 1 1 1? ?1 2 1 1? ? 3 ? 4 ??? n ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4 9 16 n ? 4 9 16 4 ? ? 4 27 3 4 ?

? 1?

2 1 1 2 1 9 ? ? ? ? < . 9 8 4 27 12 5

从而,原命题得证.


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