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2013年师大附中2011年高一自主招生考试数学测试题及参考答案


—、选择题 (本大题共 10 小题,每小 题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项 是符合题目要求的.) 1.设集合 ,集合 B 为函数 的定义域,则 A∩B=( ) A.(1,2) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2]

2. 已知向量 , , ,则 k=( ) A. -12 3. ( ) A. B. C. D. B. -6 C. 6 D. 12

4. 函数 的零点必落在区间( ) A. B. C. D.(1,2)

5. 等差数列 中, ,则数列 的前 9 项的和 等于( ) A. 96 B. 99 C. 144 D. 198

6. 等比数列 各项为正数,且 ,则 ( ) A.12 B.10 C.8 D.

7. 已知 a、b 为非零实数,且 a<b,则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D.

8. 已知 中, ,AB、BC 分别是 , 的等差中项与等比中项,则 的面积等于( ) A. B. C. 或 D. 或

9. 已知函数 ,则不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D.

10.数列{ }满足 ,且对任意的 都有: ,则 ( )

第 II 卷 非选择题(共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置.)[

11. 若 , ,且 与 的夹角为 ,则

. .

12.在 中,若边长和内角满足 ,则角 的值是 13. 若正数 满足 ,则 的最小值是 14. 已知数 列 ( ),则其前 项的和 . .

15. 已知整数对的数列如下: (1,1)(1,2)(2, 1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4) , , , , , , , (2,3)(3,2)(4,1)(1,5)(2,4)…则第 60 个整数对是 , , , , .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤.) 16. (本小题 满分 12 分) 在 中, 分别是角 的对边, , ,且 . (1)求角 的大小; (2)设 ,且 的最小正周期为 ,求 在 上的最大值和最小值,及相应的 的值.

17. (本小题 满分 12 分) 在 中, 分别是角 的对边,且满足 . (1)求角 A 的大小; (2)若 ,当 取最小值时,判断 的形状. 18. (本小题 满分 12 分) 在递减的等差数列 中, ,前 项和 为 (1) 求 ; (2) 求 及其最值,并指明 n 的取值; (3) 令 ,求 .

19. (本小题 满分 12 分) 襄荆高速公路起自襄阳市贾家洲,止于荆州市龙会桥,全长约 188 公里.该高速公路连接湖北省 中部的襄阳、荆门、荆州三市,是湖北省大三角经济主骨架中的干线公路之一.假设某汽车从贾 家洲进入该高速公路后以不低于 60 千米/时且不 高于 120 千米/时 的速度匀速行驶到龙会桥,已 知该汽车每小时的运输成本由固定部分和可变部分组成,固定部分为 200 元,可变部分与速度 v (千米/时)的平方成正比(比例系数记为 k) .当汽车以最快速度行驶时,每小时的运输成本为 488 元. (1)试求出 k 的值并把全程运输成本 f(v) (元)表示为速度 v(千米/时)的函数; (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本为多少元? 20. (本小题 满分 13 分) 已知二次函数 满足条件①;②的最小值为 . (1)求函数 的解析式; (2)设数列 的前 项积为 ,且 ,求数列 的通项公式; (3)在(2)的条件下,若 是 与 的等差中项,试问数列 中 第几项的值最小? 求出这个最小值.

21. (本小题 满分 14 分) 已知集合 A 是不等式 ( )的解集. (1)求集合 A; (2)是否存在实数 ,使得集合 A 中所有整数的元素和为 28?若存在,求出 或其范围,若不存 在,请说明理由. (3)以 为首项, 为公比的等比数列前 项和记为 ,对任意 ,均有 ,求 的取值范围.

一、 选择题 1-5:DDCCB 二、 填空题 11、 三、解答题 17、解: (1)∵ ∴ ∴ 又 代入可得: , 所以 即 A= (2)由余弦定理知: 又∵ 当且仅当 b=c= 时取等号 所以 从而 即 …………………………6 分 12、 13、5 14、 15、 6-10:BCDCB

所以当 a= 时 a 最小,此时 b=c= ,所以该三角形为正三角形 。……………………12 分 19、解:每小时的可变成本为:k ,每小时固定成本为 200。每小时的运输成本为:k +200。 因为速度最大时每小时的运输成本为 488,所以 ,所以 k=0.02 ………2 分 运输时间为: 所以全程的运输成本为: ………………………6 分

…………………………10 分 当且仅当 =0.02v,即 v=100 时,“=”成立, 即汽车以 100 km/h 的速度行驶,全程运输成本最小为 752 元. ………………………12 分 20、解: (1)∵ f(0)=f(1) 所以 a+b=0 又∵ , 所以 解得:a= , 所以 …………………………4 分

(2)当 n=1 时 当时 ………………………7 分

经验证 n=1 时也成立 所以 (3)由题知 代入可得: 设 t= 则 对称轴为 t= 又 离对称轴最近 …………………………13 分 …………………………10 分 …………………………8 分

所以 n=3 时最小,且最小值为 21 解: (1)∵ ∴ a>1 时 A=[1,a] 当 当 a=1 时 A={1} 当 a<1 时 A=[a,1] (2)当 a 时显然不成立 所以 a>1 此时 A=[1,a] 因为 1+2+3+…+7=28, 所以 7

…………………………4 分

…………………………7 分

(3)当 时, .而 ,故 时,不存在满足条件的 ; 当 时, ,而 是关于 的增函数,所以 随 的增大而增大,当 且无限接近 时,对任意 , ,只须 满足 得 . ……………………10 分


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