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【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习专题训练:1-1-2不等式及线性规划


第2讲
一、选择题

不等式及线性规划

1.(2014· 广州综合测试)已知 x>-1,则函数 y=x+ A.-1 C.1 解析 ∵x>-1,∴x+1>0. 1 1 =(x+1)+ -1, x+1 x+1 B.0 D.2

1 的最小值为 ( x+1

).

∴y=x+ ≥2

1 ?x+1?· -1=1, x+1 1 ,即 x=0 时取等号. x+1

当且仅当 x+1= 答案 C

2.(2014· 安徽“江南十校”联考)已知向量 a=(3,-2),b=(x,y-1),且 a∥b , 3 2 若 x,y 均为正数,则 x+y的最小值是 5 A.3 C.8 解析 ∵a∥b,∴3(y-1)+2x=0, 8 B.3 D.24 ( ).

即 2x+3y=3. ∵x>0,y>0, 3 2 ?3 2? 1 ∴ x+ y=? x+y?· (2x+3y) ? ?3 9y 4x? 1 1? =3?6+6+ x + y ?≥3(12+2×6)=8. ? ? 当且仅当 3y=2x 时取等号. 答案 C

-1-

?x+y-2≥0, 3.(2014· 天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ?y≥1,
的最小值为 A.2 C.4 解析 B.3 D.5 根据约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.

则目标函数 z=x+2y

(

).

1 z 由 z=x+2y,得 y=-2x+2. 1 1 先画出直线 y=-2x,然后将直线 y=-2x 进行平移. 当直线过点 A 时,z 取得最小值. ?y=1, 由? 得 A(1,1),故 z 最小值=1+2×1=3. ?x+y-2=0 答案 B 2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小 x-a ( 3 B.2 5 D.2 2x+ 2 2 =2(x-a)+ +2a x-a x-a ).

4.已知关于 x 的不等式 2x+ 值为 A.1 C.2 解析

2 ≥2· 2?x-a?· +2a=4+2a, x-a

-2-

3 3 由题意可知 4+2a≥7,得 a≥2,即实数 a 的最小值为2,故选 B. 答案 B

5.在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若对任意 x>2,不等式(x-a)?x≤a+2 都成 立,则实数 a 的取值范围是 A.[-1,7] C.(-∞,7] 解析 B.(-∞,3] D.(-∞,-1]∪[7,+∞) ( ).

由题意得(x-a)?x=(x-a)(1-x),故不等式(x-a)?x≤a+2 可化为(x-

a)(1-x)≤a+2,化简得 x2-(a+1)x+2a+2≥0. 故原题等价于 x2-(a+1)x+2a+2≥0 在(2,+∞)上恒成立, a+1 由二次函数 f(x)=x2-(a+1)x+2a+2 的图象,知其对称轴为 x= 2 ,讨论得 ?a+1 ? ≤2, ? 2 ? ?f?2?≥0 答案 C a+1 ? ? 2 >2, 或? ?a+1? ?≥0, f ? ?? ? 2 ?

解得 a≤3 或 3<a≤7,综上可得 a≤7.

二、填空题 a2+b2 6.(2014· 潍坊一模)已知 a>b>0,ab=1,则 的最小值为________. a-b 解析 ∴ ∵a>b>0,ab=1,

a2+b2 ?a-b?2+2ab ?a-b?2+2 2 = = =(a - b)+ ≥2 2. 当且仅当:a- b = a-b a-b a-b a-b

2时取等号. 答案 2 2

7.(2014· 吉林省实验中学)若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y 1 1 +1=0 截得的弦长为 4,则a+b的最小值是________. 解析 易知圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的半径为 2,圆心为(-1,2),因为直线 2ax

-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,所以直线 1 1 2ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆心,把圆心坐标代入得:a+b=1,所以a+b=

-3-

b a b a 1 ?1 1? ?a+b?(a+b)=2+ + ≥4,当且仅当 = ,a+b=1,即 a=b= 时等号成立. a b a b 2 ? ? 答案 4

8.已知 x>0,y>0,x+y+3=xy,且不等式(x+y)2-a(x+y)+1≥0 恒成立,则 实数 a 的取值范围是________. 解析 要使(x+y)2-a(x+y)+1≥0 恒成立,则有(x+y)2+1≥a(x+y), 1 恒成立. x+y

即 a≤(x+y)+

?x+y?2 ?, 由 x+y+3=xy,得 x+y+3=xy≤? ? 2 ? 即(x+y)2-4(x+y)-12≥0,解得 x+y≥6 或 x+y≤-2(舍去).设 t=x+y,则 t≥6,(x+y)+ 1 1 1 =t+ t .设 f(t)=t+ t ,则在 t≥6 时,f(t)单调递增,所以 f(t) x+y

37? 1 1 37 37 ? =t+ t 的最小值为 6+6= 6 ,所以 a≤ 6 ,即实数 a 的取值范围是?-∞, 6 ?. ? ? 答案 37? ? ?-∞, 6 ? ? ?

三、解答题 9.已知函数 f(x)= 2x . x +6
2

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3,或 x>-2},求 k 的值; (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求 t 的取值范围. 解 (1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0.

由已知{x|x<-3,或 x>-2}是其解集,得 kx2-2x+6k=0 的两根是-3,-2. 2 2 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)= k,即 k=-5. (2)因为 x>0,f(x)= 2x 2 2 6 = 6≤ = 6 ,当且仅当 x= 6时取等号.由已知 x +6 2 6 x+ x
2

6 ? 6 ? f(x)≤t 对任意 x>0 恒成立,故 t≥ 6 ,即 t 的取值范围是? ,+∞?. ?6 ? 10.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位 1 长度为 1 千米. 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx-20(1

-4-

+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点 的横坐标.

(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的 横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 解 (1)令 y=0,得

1 kx-20(1+k2)x2=0, 由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 故 x= 20k 20 20 2= 1≤ 2 =10, 1+k k+k

当且仅当 k=1 时取等号. 所以炮的最大射程为 10 千米. (2)因为 a>0, 所以炮弹可击中目标?存在 k>0, 1 使 3.2=ka-20(1+k2)a2 成立?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根? 判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. 11.已知函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的 x∈R,恒有 f′(x)≤f(x). (1)证明:当 x≥0 时,f(x)≤(x+c)2; (2)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求 M 的最小值. (1)证明 易知 f′(x)=2x+b.由题设,对任意的 x∈R,2x+b≤x2+bx+c,即

b2 x2+(b-2)x+c-b≥0 恒成立,所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而 c≥ 4 +1,于是 c≥1,

-5-

且 c≥2

b2 4 ×1=|b|,因此 2c-b=c+(c-b)>0.

故当 x≥0 时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.即当 x≥0 时,f(x)≤(x+ c)2. (2)解 由(1)知 c≥|b|.当 c>|b|时,有 M≥ f?c?-f?b? c2-b2+bc-b2 c+2b = = . c2-b2 c2-b2 b+c

c+2b b 1 令 t=c ,则-1<t<1, =2- . b+c 1+t 而函数 g(t)=2- 3? 1 ? (-1<t<1)的值域是?-∞,2?. ? ? 1+t

?3 ? 因此,当 c>|b|时,M 的取值集合为?2,+∞?. ? ? 当 c=|b|时,由(1)知 b=± 2,c=2.此时 f(c)-f(b)=-8 或 0,c2-b2=0,从而 3 f(c)-f(b)≤2(c2-b2)恒成立. 3 综上所述,M 的最小值为2.

-6-


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