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1.3全称量词与存在量词2


画川西校区高二数学选修 1-1 导学案

上课日期:

1.3.1
班级

全称量词与存在量词
姓名

学习目标:1. 掌握全称量词与存在量词的的意义;
2. 掌握含有量词的命题:全称命题和存在性命题真假的判断. 学习重难点:含逻辑词的复合命题真假性的判断.正确使用逻辑词表述相关数学内容.

(3)任何一个实数都有相反数___________\______________; 0 (4)⊿ABC 的内角中有小于 60 的角___________\___________; (5)有人既能写小说,也能搞发明创造____________\__________; 例 2 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数都是奇数; (2) ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ; (3)对每一个无理数 x , x 2 也是无理数. 变式:判断下列命题的真假: (1) ?x ? (5,8), f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 (2) ?x ? (3, ??), f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 小结:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中每一个元素 x 验证 p ( x) 成立; 但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合 M 中的一个 x ? x0 ,使得 p( x0 ) 不成立即可. 例 2 判断下列存在性命题的真假: (1) 有一个实数 x0 ,使 x0 2 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ; (2) 存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3) 有些整数只有两个正因数. 变式:判断下列命题的真假: (1) ?a ? Z , a2 ? 3a ? 2 (2) ?a ? 3, a2 ? 3a ? 2 小结:要判定存在性命题是真命题只要在集合 M 中找一个元素 x0 ,使 p( x0 ) 成立即可; 如果集合 M 中,使 P( x) 成立的元素 x 不存在,那么这个存在性命题是假命题.

一.引入新课
复习 1:写出下列命题的否定,并判断他们的真假: (1) 2 是有理数; (2)5 不是 15 的约数 (3) 8 ? 7 ? 15 (4)空集是任何集合的真子集

复习 2:判断下列命题的真假,并说明理由: (1) p ? q ,这里 p : ? 是无理数, q : ? 是实数; (2) p ? q ,这里 p : ? 是无理数, q : ? 是实数; (3) p ? q ,这里 p : 2 ? 3 , q : 8 ? 7 ? 15 ; (4) p ? q ,这里 p : 2 ? 3 , q : 8 ? 7 ? 15 . 探究问题: 1.下列语名是命题吗?(1)与(3)(2)与(4)之间有什么关系? , (1) x ? 3 ; (2) 2 x ? 1 是整数; (3)对所有的 x ? R, x ? 3 ; (4)对任意一个 x ? Z , 2 x ? 1 是整数. 2. 下列语名是命题吗?(1)与(3)(2)与(4)之间有什么关系? , (1) 2x ? 1 ? 3 ; (2) x 能被 2 和 3 整除; (3)存在一个 x0 ? R ,使 2 x0 ? 1 ? 3 ; (4)至少有一个 x0 ? Z , x0 能被 2 和 3 整除. 新知:1.短语“ 并用符号“ 其基本形式为: 2. 短语“ 并用符号“ 其基本形式为: ”在逻辑中通常叫做全称量词, ”表示,含有 的命题,叫做全称命题. ,读作: ”在逻辑中通常叫做存在量词, ”表示,含有 的命题,叫做存在性命题. ,读作: ; .

三.强化练习
1. 下列命题为存在性命题的是( ). A.偶函数的图像关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线都是平行线 D.存在实数大于等于 3 2.下列存在性命题中真命题的个数是 . (1) ?x ? R, x ? 0 ;(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数; ⑶ ?x ?{x | x 是无理数}, x 2 是无理数. 3.下列命题中假命题的个数 (1) ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ; ⑵ ?x ? R,2x ? 1 ? 3 ; ⑶ ?x ? Z , x 能被 2 和 3 整除; ⑷ ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 4.下列命题中其中全称命题是 ; 存在性命题是 (1)有的质数是偶数; (2)与同一个平面所成的角相等的两条直线平行; (3)有的三角形三个内角成等差数列; (4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线, 5. 用符号“ ? ”与“ ? ”表示下列含有量词的命题. (1)实数的平方大于等于 0: (2)存在一对实数使 2x ? 3 y ? 3 ? 0 成立: 6. 判断下列全称命题的真假: (1)末位是 0 的整数可以被子 5 整除; (2)线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等; (3)负数的平方是正数; (4)梯形的对角线相等. 7. 判断下列全称命题的真假: (1)有些实数是无限不循环小数; (2)有些三角形不是等腰三角形; (3)有的菱形是正方形.
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如: “对任意实数 x ,都有 x 2 ? 0 ”可表示为 “存在有理数 x ,使 x 2 ? 2 ? 0 ” 可表示为

二.例题讲解
例 1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并找出其中的量词. (1)任意实数的平方都是正数_____________\____ ____; (2)0 乘以任何数都等于 0______________\____________;

画川西校区高二数学选修 1-1 导学案

1.3.2

含有一个量词的命题的否定

学习目标: 1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法,正确掌握量词否定的各种形式;
2. 明确全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题. 学习重难点:含逻辑词的复合命题真假性的判断.正确使用逻辑词表述相关数学内容.

上课日期: 变式:写出下列全称命题的否定,并判断真假. 1 (1) p : ?x ? R, x2 ? x ? ? 0 (2) p :所有的正方形都是矩形. 4

一.引入新课
复习 1:判断下列命题是否为全称命题: (1)有一个实数 ? , tan ? 无意义; 复习 2:判断以下命题的真假: 1 (1) ?x ? R, x2 ? x ? ? 0 4 探究:含有一个量词的命题的否定 问题:1.写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3) ?x ? R, x2 ? 2 x ? 1 ? 0 . 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 2.写出下列命题的否定: (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3) ?x0 ? R, x02 ? 1 ? 0 . 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? (2)任何一条直线都有斜率; (2) ?x ? Q, x 2 ? 3

例 2 写出下列存在性命题的否定: (1) p : ?x0 ? R, x02 ? 2 x0 ? 2 ? 0 ; (2) p :有的三角形是等边三角形; (3) p :有一个素数含有三个正因数. 变式:写出下列存在性命题的否定,并判断真假. (1) p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ; (2) p :至少有一个实数 x ,使 x3 ? 1 ? 0 .

三.强化练习
1. 命题“原函数与反函数的图象关于 y ? x 对称”的否定是( ). A. 原函数与反函数的图象关于 y ? ?x 对称 B. 原函数不与反函数的图象关于 y ? x 对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于 y ? x 对称 D. 存在原函数与反函数的图象关于 y ? x 对称 2.对下列命题的否定说法错误的是( ). A. p :能被 3 整除的数是奇数; ?p :存在一个能被 3 整除的数不是奇数 B. p :每个四边形的四个顶点共圆; ?p :存在一个四边形的四个顶点不共圆 C. p :有的三角形为正三角形; ?p :所有的三角形不都是正三角形 D. p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ; ?p : ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 3.命题“对任意的 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是 4. 平行四边形对边相等的否定是 5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是 6. 写出下列命题的否定: (1) ?x ? N , x3 ? x2 ; (2) 所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0;

新知:1.一般地,对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论: 全称命题 p : ?x ? p, p( x) , 它的否定 ?p : 2. 一般地,对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论: 特称命题 p : ?x0 ? M , p( x0 ) ,它的否定 ?p : . 试试:1.写出下列命题的否定: (1) ?n ? Z , n ? Q ; (2)任意素数都是奇数; (3)每个指数函数都是奇数. 2. 写出下列命题的否定: (1) 有些三角形是直角三角形; (2)有些梯形是等腰梯形; (3)存在一个实数,它的绝对值不是正数.

.

(3) ?x0 ? R, x02 ? x0 ? 1 ? 0 ;

(4) 存在一个四边形,它的对角线是否垂直.

二.例题讲解
例 1 写出下列全称命题的否定: (1) p :所有能被 3 整除的数都是奇数; (2) p :每一个平行四边形的四个顶点共圆; (3) p :对任意 x ? Z , x 2 的个位数字不等于 3.
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7. 判断下列命题的真假,写出下列命题的否定: (1)每条直线在 y 轴上都有截矩; (2)每个二次函数都与 x 轴相交;

(3)存在一个三角形,它的内角和小于 180? ;

(4)存在一个四边形没有外接圆.


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