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2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(20)三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用


课时作业(二十) [第 20 讲 三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 及三角函数模型的简单应用]

[时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 x π? 3 + 的振幅是________;周期是________;频率是________;相位是 1.函数 y= sin? 2 ?2 6? ________;初相是________. 2.函数 y=|tanx|的最小正周期是________. π? 3.为得到函数 y=cos? ?x+3?的图象,只需将函数 y=sinx 的图象向左平移________个单 位长度. 4.下列函数中,图象的一部分符合图 K20-1 的是________.

π x+ ?; ①y=sin? ? 6? π? ③y=cos? ?4x-3?; 能力提升

图 K20-1 π 2x- ?; ②y=sin? 6? ? π? ④y=cos? ?2x-6?.

π π ωx- ? 的最小正周期为 ,其中 ω>0 ,则 ω = 5 . [2012· 北京东城区调研 ] f(x) = cos ? 6? ? 5 ________. π? 6.函数 y=2sin? ?2x-3?的对称中心是________;对称轴方程是________;单调增区间 是________. 7. [2012· 中山模拟] 把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动 2 012 个单位 1 长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到的图象所表示的 2 函数是________. π? 2 8. 已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图 K20-2 所示, f? 则 f(0)=________. ?2?=-3,

图 K20-2 9.[2011· 苏北四县市二模] 一个匀速旋转的摩天轮每 12 min 转一周,最低点距地面 2 m,最高点距地面 18 m,P 是摩天轮轮周上一定点,从 P 在最低点时开始计时,则 16 min 后 P 点距地面的高度是________ m. 4π ? 10 .如果函数 y = 3cos(2x + φ) 的图象关于点 ? ? 3 ,0? 中心对称,那么 |φ| 的最小值为 ________. 11.下列五个命题:①y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π;②终边在 y 轴上的角的集合 ? ? kπ x= ,k∈Z ?;③在同一坐标系中,y=sinx 的图象和 y=x 的图象有三个公共点;④ 是?x? 2 ? ? ?

π? π π y=sinx- 在[0,π]上是减函数;⑤把 y=3sin? ?2x+3?的图象向右平移6个单位得到 y=3sin2x 2 的图象.其中真命题的序号是________. π? π 12.将函数 f(x)=2sin? ?ωx-3?(ω>0)的图象向左平移3ω个单位,得到函数 y=g(x)的图 π? 象.若 y=g(x)在? ?0,4?上为增函数,则 ω 的最大值为________. 13.如图 K20-3,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx +φ)+b(ω>0,|φ|<π). (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

图 K20-3

x x 14. 用五点作图法画出函数 y= 3sin +cos 的图象, 并说明这个图象是由 y=sinx 的图 2 2 象经过怎样的变换得到的.

15.某港口水的深度 y(m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作 y=f(t),下面是某 日水深的数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t时 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 y米 经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Asinωx+b 的图象. (1)试根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时船底离海底的距离为 5 m 或 5 m 以上时是安全的(船舶停靠 时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 m,如果该船希望在 同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?

π? 16.[2012· 温州模拟] 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,|φ|<2?的一段图象如图 K20 -4 所示. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调减区间,并指出 f(x)的最大值及取到最大值时 x 的集合; (3)把 f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?

图 K20-4

课时作业(二十) 【基础热身】 3 1 1 π π 1. 4π x+ [解析] 根据函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中的各个量的几 2 4π 2 6 6 何意义、物理意义作结论. 2.π [解答] 函数 y=|tanx|的图象如图:

故函数 y=|tanx|的最小正周期为 π. π 5π 5π ?x+π?=cos?x-π+5π?, x- ?, 3. [解析] 因为 y=sinx=cos? 而 y = cos 故向左平移 2 3 2 6 ? ? ? ? ? ? 6 6 个单位长度. 4.④ [解析] 用三角函数图象所反映的周期确定 ω,再由最高点确定函数类型.从而 π π? 求得解析式.由图象知 T=4? ?12+6?=π,故 ω=2,排除①、③. π π 又当 x= 时,y=1,而②中,当 x= 时,y=0,故选④. 12 12 【能力提升】 2π π 5.10 [解析] T= = ?ω=10. ω 5 k π π 5π kπ 5π ? ? π ? 6.? ? 2 +6,0?(k∈Z) x= 2 +12(k∈Z) ?-12+kπ,12+kπ?(k∈Z) π π π [解析] 对称中心的横坐标满足 2x- =kπ(k∈Z); 对称轴方程满足 2x- =kπ+ (k∈Z); 3 3 2 π π π 单调递增区间是不等式 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z)的解区间. 2 3 2 7.y=sin(2x+2 012) [解析] y=sinx 向左平移 2 012 个单位长度,y=sin(x+2 012)错误! y=sin(2x+2 012). 2 2π 8. [解析] 由图象可得最小正周期为 , 3 3 2π 2π π 7π ? 于是 f(0)=f? ? 3 ?,又因为 3 与2关于12对称, 2π? ?π?=2. 所以 f? =- f 3 ? ? ?2? 3 9.14 [解析] 每 12 min 转一周,故 16 min 转一圈又三分之一周,又圆周半径为 8,故 此时点 P 距离地面高度为 2+8+8×sin30° =14(m). 4π ? π 4π 10. [解析] ∵函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? ? 3 ,0?中心对称,∴2× 3 +φ=kπ 6 π 13π π + (k∈Z),∴φ=kπ- (k∈Z),由此易得|φ|min= . 2 6 6 4 4 2 11.①⑤ [解析] y=sin x-cos x=(sin x-cos2x)(sin2x+cos2x)=-cos2x,故函数的最 π ? ? 小正周期为 π,从而①正确.终边在 y 轴上的角的集合是?x|x=kπ+2,k∈Z?,从而②不正 ? ? π ? 确;因为当 x∈? ?0,2?时,sinx<x,故在同一坐标系中,y=sinx 的图象和 y=x 的图象有一 π? 个公共点,从而③不正确;y=sin? ?x-2?在[0,π]上是增函数,从而④不正确;由于 y=3sin2x ? π π?? =3sin? ?2?x+6-6??,故⑤正确.

π π ?? ? 12.2 [解析] 函数 g(x)的解析式为 g(x)=2sin? ?ω?x+3ω-3ω??=2sinωx.函数 g(x)包含 π π? ? π? ? π? 坐标原点的单调递增区间是 ? ?-2ω,2ω?.若函数 y=g(x)在?0,4?上为增函数,则?0,4??

?- π , π ?,只要 π ≥π,得 ω≤2.所以 ω 的最大值为 2. ? 2ω 2ω? 2ω 4
13.[解答] (1)由题中图所示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃). (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象, 1 2π π ∴ · =14-6=8,解得 ω= . 2 ω 8 1 1 由题图知 A= (30-10)=10,b= (30+10)=20. 2 2 π ? 这时 y=10sin? ?8x+φ?+20. 3π 将 x=6,y=10 代入上式,可得 φ= . 4 π 3π? 综上,所求曲线的解析式为 y=10sin? ?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14]. x π? 14.[解答] (1)列表:将函数解析式化简为 y=2sin? ?2+6?,列表如下: x π + 2 6 x x π? y=2sin? ?2+6? 0 - 0 π 3 π 2 2 π 3 2 π 5 π 3 0 3π 2 8 π 3 -2 2π 11 π 3 0

π ? ?2π ? ?5π ? ?8π ??11π ? (2)描点:描出点? ?-3,0?,? 3 ,2?,? 3 ,0?,? 3 ,-2?? 3 ,0?; (3)连线:用平滑的曲线将这五个点连接起来,最后将其向两端伸展一下,得到图象如 下图.

π π x+ ?的图象, 该图象由 y=sinx 的图象先向左平移 个单位得到 y=sin? 再将横坐标伸长 6 ? ? 6 x π? 为原来的 2 倍(纵坐标不标), 最后将纵坐标变为原来的 2 倍(横坐标不变), 得到 y=2sin? ?2+6? 的图象. 2π 15.[解答] (1)由已知数据,易知函数 y=f(t)的周期 T=12,振幅 A=3,b=10,∴ω= T 2π π = = , 12 6 π ∴y=3sin t+10. 6 (2)由题意,该船进出港时, 水深应不小于 5+6.5=11.5(m), π π 1 ∴3sin t+10≥11.5,∴sin t≥ , 6 6 2 π π 5π 解得 2kπ+ ≤ t≤2kπ+ (k∈Z), 6 6 6 即 12k+1≤t≤12k+5(k∈Z),在同一天内,取 k=0 或 k=1,∴1≤t≤5 或 13≤t≤17. ∴该船可在当日凌晨 1 时进港,下午 17 时出港,在港口内最多停留 16 个小时.

3 π 15π 16.[解答] (1)由图知 A=3, T=4π- = , 4 4 4 2 2 ? ∴T=5π,∴ω= ,∴f(x)=3sin? ?5x+φ?. 5 8π ? ∵f(x)的图象过点(4π,-3),∴-3=3sin? ? 5 +φ?, 8π π 21π ∴ +φ=2kπ- (k∈Z),∴φ=2kπ- (k∈Z), 5 2 10 2 π? π π ∵|φ|< ,∴φ=- ,∴f(x)=3sin? ?5x-10?. 2 10 π 2 π 3π (2)由 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ (k∈Z)得, 2 5 10 2 3π 5kπ+ ≤x≤5kπ+4π(k∈Z), 2 3π ? ∴函数 f(x)的单调减区间为? ?5kπ+ 2 ,5kπ+4π?(k∈Z). 函数 f(x)的最大值为 3,取到最大值时 x 的集合为 ? ? ? 3π ?x x=5kπ+ ,k∈Z ?. 2 ? ? ? 2 x π? (3)解法一:f(x)=3sin? ? 5 -10? π 2x π ?? ?2x 3π? - =3cos?2-? ? ? 5 10??=3cos? 5 - 5 ? 3π 2 x- ??, =3cos?5? ? ? 2 ?? 3π 故至少需左移 个单位才能使所对应函数为偶函数. 2 2x π ? 2 π π 5kπ 3π 解法二:f(x)=3sin? ? 5 -10?的图象的对称轴方程为5x-10=kπ+2,∴x= 2 + 2 ,当 k 3π 3π =0 时,x= ,k=-1 时,x=-π,故至少左移 个单位才能使所对应的函数为偶函数. 2 2 2x π π 3π 解法三:函数 f(x)在原点右边第一个最大值点为 - = ,∴x= ,把该点左移到 y 5 10 2 2 3π 轴上,需向左平移 个单位. 2


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