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高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案


2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 【学情分析】 本节以力对物体做功作为背景, 研究平面向量的数量积, 以及对运算律的理解和平面向 量的数量积的灵活应用.但是,学生作为初学者不清楚向量的数量积数数量还是向量,寻找 两向量的夹角又容易想当然.通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的 内容. 利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、 距离和角, 这些刻画几何元素 (点、 线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆.利用数量积运算来反映向量的长度和两个向 量间夹角的关系解决问题,是学生学习本节内容的重点又是难点.由向量的线性运算迁移, 引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡,深入浅出、符合学生的认知规律,也有利于明 确本节课的教学任务,激发学生的学习兴趣和求知欲望. 【教学目标】 (1)懂得平面向量数量积的含义及其物理背景; (2)会进行平面向量数量积的运算; (3)会用数量积判定两个向量的垂直关系; (4)能运用数量积求两个向量夹角的余弦值. 【教学重点】 平面向量数量积的概念和性质及运算律的探究和应用. 【教学难点】 平面向量数量积的定义及对运算律的探究、理解,平面向量数量积的灵活应 用. 【教学过程】 教学流程 问题:回忆物理中“功”的计 算, 它的大小与哪些量有关? 结合向量的学习你有什么想 情 法?若一个物体在力 F 的作 境 用下产生的位移为 s,那么力 一 F 所做的功 W 等于多少? F 师生互动 生:W ? F s cos? (其中 ? 是 F 和 s 的夹角). 师: 功是一个矢量还是标量? 它的大小由哪些量来确定? 显然功是一个标量,它由 力和位移两个向量来确定. 从 中我们得到一个启发: 能否将 s 设计意图 以物理问题为背景, 初步认识向 量的数量积, 为引入向量的数量 积的概念作铺垫. ? 功看成是两个“向量相乘”的 一种运算的结果呢?从而得 出平面向量的“数量积”的概 念. 1、 仿照物理问题建构 “数学 从数学和物理两个角度创设问 模型”,引入“向量数量积” 使学生明白为什么研究 的概念: 已知两个非零向量 a 题情境, 与b , 把数量 a b cos ? 叫做 这种运算, 从而产生强烈的求知 问题:定义向量数量积.弄清 定义中涉及哪些量?它们有 怎样的关系?运算结果是向 量还是数量? a 与 b 的数量积(或内积), 欲望. B a b ,即 a b cos?(其 记作: 中 ? 是 a 与 b 的 夹 b ? O b cos? B1 a A 角). a cos ? ( b cos ? )叫 做向量 a 在 b 方向上( b 在 a 方向上)的投影. 2、 规定: 零向量与任意向量 的数量积为 0. 3、 (1)数量积运算的符号 取 决 于 a 与 b 的 夹 角 情 境 问题: 如何确定两个非零向量 二 的数量积的符号, 什么情况下 值为零? (2)两 ? (? ??0, ? ?) 的大小; 个向量的数量积是一个数, 它 与两个向量的长度及其夹角 有关; (3) a b 符号不能写 成 ab 或 a ? b 的形式; (4) 找向量的夹角时, 应将两向量 的起点平移到同一个点上. 4、 探究其性质: a? b ?a b?0 (1) (a与 b 都是非零向量); 设置情境: 若a b ? 0, 则 向量 a 与 b 至少有一个 是零向量. 类比 a,b 属于 实数时,若 ab=0 等价于 a=0 或 b=0.而且此性质 在解决有关线段垂直问 题时具有很好的作用.

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