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2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念练习含解析新人教A版选修2.doc

2019-2020 学年高中数学第一章导数及其应用 1.5 定积分的概念练习含解析新人 教 A 版选修 2
一、选择题 1.当 n 很大时,函数 f(x)=x 在区间 ? (i=1,2,…,n)上的值可以用 ( , ? n n? ? A.
2

? i ?1 i ?

)近似代替

i n

B. f ?

?1? ? ?n?

C. f ?

?i? ? ?n?

D.

1 n

【答案】C 【解析】f(x)=x 在区间 ? , 上的值可以用区间 ? , 上每一点对应的函数值近似代替,故选 C. ? n n? ? ? n n? ? 2.在求由抛物线 y=x +6 与直线 x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形的面积时,把区间[1,2]等分成 n 个 小区间,则第 i 个区间为( A. ? ) C. i ? 1, i
2 2

? i ?1 i ?

? i ?1 i ?

? i ?1 i ? , ? n n? ?

B. ?

? n ? i ?1 n ? i ? , n ? ? n ?

?

?

D. ? ,

? i i ? 1? ?n n ? ?

【答案】B 【解析】在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个点,将它等分成 n 个小区间[1,

n ?1 n ?1 n ? 2 ],[ , ],…, n n n

2n ? 1 ? n ? i ?1 n ? i ? ? n ? i ?1 n ? i ? ,…,[ ,2],所以第 i 个区间为 ? (i=1,2,…,n). , , ? ? n n ? n ? ? n ? n ?
3.已知 A. C.
2

? f ? x ? dx ? 56 ,则(
3 1

) B. D.

? f ? x ? dx ? 28
1

? f ? x ? dx ? 28
3 2

?

2

1

2 f ? x ? dx ? 56

? f ? x ? dx ?? f ? x ? dx ? 56
2 3 1 2

【答案】D 【解析】由 y=f(x),x=1,x=3 及 y=0 的图象围成的曲边梯形可分拆成两个:由 y=f(x),x=1,x=2 及 y = 0 的 图 象 围 成 的 曲 边 梯 形 和 由 y = f(x) , x = 2 , x = 3 及 y = 0 的 图 象 围 成 的 曲 边 梯 形.∴

? f ? x ? dx ?? f ? x ? dx ?? f ? x ? dx ? 56 ,故选 D.
3 2 3 1 1 2

4.定积分

?

1

0

xdx 与 ?

1

0

xdx 的大小关系是(

)

A. C.

? ?

1

0 1

xdx = ? xdx < ?
1 0

1

0

xdx B. ? xdx > ?
0

1

1

0

xdx

0

xdx

D.无法确定

【答案】C 【解析】在同一坐标系中画出 y= x 与 y=x 的图象如图,由图可见,当 x∈[0,1]时,y= x 的图象在 y =x 的图象上方,由定积分的几何意义知,

?

1

0

xdx < ?

1

0

xdx .

5.下列等式不成立的是( A. B. C. D.
b

)
b b

?a ? ?mf ? x ? ? ng ? x ?? ?dx =m ?a f ? x ?dx +n ?a g ? x ?dx ?
? f ? x ? ? 1? ?dx = ?a f ? x ?dx +b-a a ?
b b b b b a a a

? f ? x ?g ? x ? dx = ? f ? x ? dx? g ? x ?dx

?



?2 π

sin xdx = ?

0

?2 π

sin xdx ? ? sin xdx
0



【答案】C 【解析】利用定积分的性质进行判断,选项 C 不成立. 例如

?

1

0

xdx ?

1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 , ? x dx ? , ? x dx ? , ? x3dx ? ? xdx ? ? x 2 dx .故选 C. 0 0 0 0 0 2 3 4

6.下列命题不正确的是(

)

A.若 f(x)是连续的奇函数,则 B.若 f(x)是连续的偶函数,则

? ?

a

?a a

f ? x ?dx ? 0 f ? x ?dx ? 2? f ? x ?dx
a 0

?a

C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则 D.若 f(x)在[a,b)上连续且 【答案】D
b

? f ? x ?dx ? 0
b a

? f ? x ?dx ? 0 ,则 f(x)在[a,b)上恒正
a

【解析】对于 A,因为 f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以 x 轴上方的面积和 x 轴下方的面积相 等,故积分是 0,所以 A 正确;对于 B,因为 f(x)是偶函数,所以图象关于 y 轴对称,故图象都在 x 轴下方 或上方且面积相等,故 B 正确;C 显然正确;对于 D,f(x)也可以小于 0,但必须有大于 0 的部分,且 f(x)>0

的曲线围成的面积比 f(x)<0 的曲线围成的面积大. 二、填空题 7.已知
2 2 1 7 2 x dx ? x 2 dx ? ,则 ? ? x 2 ? 1?dx =________. , ?0 ? 1 0 3 3 1

【答案】

14 3

【解析】∵

?

2

0

1 2 2 1 7 8 x 2 dx = ? x 2 dx + ? x 2 dx = ? ? , ? 1dx ? 2 , 0 1 0 3 3 3



? ?x
2 0

2

2 2 8 14 ? 1?dx = ? x 2 dx + ? 1dx ? ? 2 ? . 0 0 3 3
2

8.由直线 x=0、x=1、y=0 和曲线 y=x +2x 围成的图形的面积为__________. 【答案】

4 3 1 , n

【解析】将区间[0,1]n 等分,每个区间长度为
2

i i 2 2i ?i? 区间右端点函数值为 y ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? . n n n ?n?
?? i 2 2i ? 1 ? n ? i 2 2i ? 1 n 2 2 ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? ? 3 ? i ? 2 ? n ? n ? i ?1 ? n n ? n i ?1 n i ?1 ?? n
n

?i
i ?1

n



2 n ? n ? 1? 1 1 ? n(n+1)(2n+1)+ 2 ? 3 n 6 n 2



2n 2 ? 3n ? 1 n ? 1 8n 2 ? 9n ? 1 + = , n 6n 2 6n 2

8n2 ? 9n ? 1 1 ? 4 ?4 3 ∴所求面积 S= lim ? lim ? ? ? 2 ? ? . 2 n??? n ??? 6n ? 3 2n 6n ? 3
三、解答题 9.已知

? e dx ? e ?1 , ?
x 0

1

2

1

2 e x dx ? e2 ? e , ? x dx ? 0

2

22 8 dx ? 2 ln 2 .求: ,? 1 x 3

(1)

2? 2 1? x 2 x ; (2) ; (3) e x ? ?dx . e ? 3 x dx e dx ? ? ?1 ? ?0 ?0 x? ?
2

【解析】(1) (2)

?

2

0

e x dx ? ? e x dx ? ? e x dx ? e ? 1 ? e2 ? e ? e2 ? 1 .
0 1 2 2 2 2 0 0 0 0

1

2

? ?e
2 0

x

? 3x2 ?dx = ? e x dx + ? ? 3x 2 ?dx = ? e x dx + 3? x 2 dx =e2-1+8=e2+7.

(3)

?

2

1

2 1 22 ? x 1? 2 x ? e ? ?dx = ?1 e dx + 2 ?1 x dx =e -e+ln2. x? ?

10.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力 F(x)=kx(k 为常数,x 是伸长量),求弹簧从平衡位置拉 长 b 所做的功. 【解析】将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x,则所做的功为 W=F·x. (1)分割: 在区间[0,b]上等间隔地插入 n ? 1 个点,将区间[0,b]等分成 n 个小区间:

? ? n ? 1? b ? ? b ? ? b 2b ? 0, , , ,…, , b? , ? ? b ?n n ? ? ? n? ? ? ? ?
记第 i 个区间为 ?

? ? i ? 1? b i ? b ? , ? ? i ? 1, 2,?, n ? , n ? ? n

其长度为 ?x ?

i ? b ? i ? 1? b b ? ? . n n n

把在分段 ?0, ? , ? , ? ,…, ? ? n? ?n n ? ? (2)近似代替: 由条件知, ?Wi ? F ? (3)求和:

? b?

? b 2b ?

? ? n ? 1? b ? , b ? 上所做的功分别记作 Δ W1,Δ W2,…,Δ Wn. b ?

? ? i ? 1? b ? ? i ? 1? b ? b i ? 1, 2,?, n . ? ? ? ? ?x ? k ? n n ? n ?

Wn ? ? ?Wi ? ?
i ?1 i ?1

n

n

i ? 1? b b kb2 ? k? ? ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? n n n2 ?

kb2 n ? n ? 1? kb2 ? 1 ? ? ? n ? 1?? ?1 ? ? . (4) 取 极 ? ? n2 ? 2 2 ? n?

限:

W ? lim Wn ? lim ? ?Wi ? lim
n ??? n ??? i ?1

n

kb2 ? 1 ? kb2 . ?1 ? ? ? n ??? 2 2 ? n?
kb2 . 2

所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功为