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陕西师大附中高三数学第八次模拟考试试题 理

2007 年陕西师大附中高三第八次模拟考试数学试题(理科)
一、选择题: 1.复数 z ? (1 ? i)2 ? i 等于( A. ?2 B. 2 ) C. 2i ) D. ? 2i

2.在等差数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 8, a2 ? 3 , 则公差 d =(

A. 1 B. ?1 C. ?1 D. ?2 3.从 8 名男生,4 名女生中选出 6 名学生组成课外活动小组,如果按性别比例分 层抽样,则不同的抽取方法种数为( )
2 A. C84C4 3 3 B. C8 C4 6 C. C12 2 D. A84 A4

4.在△ABC 中, ?C ? 90 , 若 AC ? 3 , BC ? 4 , 则 cos( A ? B) 的值为( A. 3 5 B. 4 5 C. 24 25 D. 7 25

)

5.一条直线与平面所成的角为 ? (0 ? ? ? 线所成角中最大角是( ) ? A. B. ? 2

?
2

) , 则此直线与这个平面内任意一条直

C. ? ? ?

D. ?

?x ? y ? 0 ? 6. 在平面直角坐标系中 , 不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 (a为常数) 表示的平面区域面积 ?x ? a ?

是 9, 那么实数 a 的值为( A. 3 2 ? 2

) C. ?5 D. 1

B. ?3 2 ? 2

7.如果 f ?( x ) 是二次函数, 且 f ?( x ) 的图象开口向上,顶点坐标为 (1, ? 3) , 那么曲 线 y ? f ( x) 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是( A. (0,
2? ] 3

)

? 2? B. [0, ) [ , ? ) 2 3

? 2? C. [0, ] [ , ? ) 2 3
y M O

? 2? D. [ , ] 2 3
P N

8.如图, 直线 MN 与双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的左 a 2 b2

右 线
Fx

两支分别交于 M 、N 两点, 与双曲线 C 的右准

相交于 P 点, F 为右焦点,若 | FM |? 2 | FN | ,又 NP ? ? PM (? ? R) , 则实数 ? 的值 为( A.
1 2

) B. 1 C. 2 D.
1 3

9. 平面上点 P 与不共线三点 A 、B 、C 满足关系式: PA ? PB ? PC ? AB , 则下列 结论正确的是( ) B. P 在 AB 上,且 AP ? 2 PB D. P 点为 ?ABC 的重心

A. P 在 CA 上,且 CP ? 2PA C. P 在 BC 上,且 BP ? 2 PC

10. ?ABC 的 AB 边在平面 ? 内, C 在平面 ? 外, AC 和 BC 分别与面 ? 成 30 和 45 的角,且面 ABC 与 ? 成 60 的二面角, 那么 sin ?ACB 的值为( A. 1 B. )

1 3

C.

2 2 3

D. 1 或

1 3

11.如图, 在杨辉三角形中, 斜线 l 的 上方从 1 按箭头所示方向可以构成 一个“锯齿形”的数列: 1, 3, 3, 4, 6,5,10,…,记此数列的前 n 项之 和为 Sn ,则 S21 的值为( A.66 C.295 B.153 D.361 )

12.关于函数 f ( x)(x ? R) 有下列描述: ① y ? f ( x) 可以由 y ? f ( x ? 1) ? 2 按向量 a ? (?1, 2) 平移得到; ② 函数 y ? f ( x) 如果满足 f (4 ? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 是周期函数; ③ 函 数 y ? f ( x) 如 果 对 任 意 x1、 x2? , R 都有( x ? 1
y ? f ( x) 在 R 是增函数;

) x 2(

( f 1? x )

,则 ( f 2x ? )) 0

④ 函数 y ? f ( x) 如果对任意的 x ? R 都有 f (a ? x) ? f (a ? x) ,则 y ? f ( x) 必为偶

函数。 其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.①②④ 二、填空题: x 2 1 13.二项式 ( ? )9 展开式中 的系数为________ 2 x x

D.②③④ .

14. 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ,g ( x) ? 3 ? x , 构造函数 y ? F ( x) , 定义如下: 当 f ( x) ? g ( x) 时, F ( x) ? g ( x) ;当 f ( x) ? g ( x) 时, F ( x) ? f ( x) ,则 F ( x) 的最大值为__________. 15.不等式
x ?1 ? 1 的解集为_________ 2 x ? 1? | x |

.

16. 过定点 P(1, 4) 作直线交抛物线 C : y ? 2x2 于 A、B 两点, 过 A 、 B 分别作抛物 线 C 的切线交于点 M , 则点 M 的轨迹方程为_________ 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? .

? 3 sin 4 x ? a sin 2 x 在 x ? 时取得最大值. 6 cos 2 x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求实数 a 的值. 18. (本小题满分 12 分) 一袋中装有分别标记着 1、2、3、4 数字的 4 个球, 从这只袋中每次取出 1 个 球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为 ? . (Ⅰ)求 ? ? 3 时 的概率; (Ⅱ)求 ? 的概率分布列及数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 边 长 为
D C B

1

的 正 方 体

E A

A B C ?D 1

E为 中, C D AD 中点, 1 A 1B 1
D1 A1 B1 C1

(Ⅰ) 求二面角 E ? AC 1 1?D 1 的平面角的余弦值; (Ⅱ)求四面体 B ? AC 1 1 E 的体积. 20. (本小题满分 12 分)

x2 已知直线 l : y ? 2x ? 3 与椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 交于 P 、 Q 两点, 以 PQ 为 a

直径的圆过椭圆 C 的右顶点 A . (Ⅰ)设 PQ 中点 M ( x0 , y0 ) , 求证: x0 ? (Ⅱ)求椭圆 C 的方程. 21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)已知函数 m( x) ? ax2e? x (a ? 0) ,求证:函数 y ? m( x) 在区间 [2, ?? ) 上为减函 数; (Ⅱ)已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax, g ( x) ? ex ,若在 (0, ?? ) 上至少存在一点 x0 , 使得
3 ; 2

f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围.
22.(本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? t, a2 ? t ,前 n 项和为 Sn ,且
2

Sn?2 ? (t ? 1)Sn?1 ? tSn ? 0(n ? N * ) .
(Ⅰ)证明数列 ?an ? 为等比数列并求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)当 (Ⅲ)若
1 ? t ? 2 时,比较 2n ? 2? n 与 t n ? t ? n 的大小; 2 1 2an 1 1 ? t ? 2 , bn ? ,求证: ? ? 2 2 1 ? an b1 b2

?

n ? 1 ? 2n ? 2 2 . bn

陕西师大附中 2007 年高三第八次模拟考试 (理科)数学试题参考答案
一、选择题: 1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 二、填空题: 13. -252 三、解答题: 17. 解:(Ⅰ) ∵ x 要满足 cos 2 x ? 0 , 从而 2 x ? k? ? ∴ f ( x) 的定义域为 {x | x ? (Ⅱ)∵ f ( x) ?
1 ? k? ? , (k ? Z )} 2 4

6.D

7. B 8.A

9.A

10.D

11.D

12.B

14. 2

1 15. (? , ??) 3

16. y ? 4 x ? 4

?
2

(k ? Z )

(4 分)

3 sin 4 x a ? a sin 2 x ? 2 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) cos 2 x 2

∴ f ( x) ?

3 sin 4 x a ? a sin 2 x ? 2 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) cos 2 x 2

(8 分)

π ? a ? a ∵x= 时, f ( x) 取到最大值, 则 2 3 sin ? cos ? 12 ? ( ) 2 6 3 2 3 2 ∴3?

a a ? 12 ? ( )2 , 求得 a ? ?4 4 2

(12 分)

18.解:(Ⅰ) ? ? 3 表示取出的三个球中数字最大者为 3
1 3 ①三次取球均出现最大数字为 3 的概率 P 1 ? ( ) 4 1 2 6 ②三取取球中有 2 次出现最大数字 3 的概率 P2 ? C32 ( ) 2 ( ) ? 4 4 64 1 2 12 1 ( )( ) 2 ? ③三次取球中仅有 1 次出现最大数字 3 的概率 P3 ? C3 4 4 64 19 ∴ P(? ? 3) ? P . 6分 1?P 2 ?P 3 ? 64

(Ⅱ)在 ? ? k 时, 利用(Ⅰ)的原理可知:
1 1 k ?1 3k 2 ? 3k ? 1 1 1 k ?1 2 P(? ? k ) ? ( )3 ? C32 ( )2 ( ) ? C3 ( )( ) ? ,( k =1,2,3,4) 4 4 4 4 4 64

? 的概率分布为:

?
P

1 2 3 1 7 19 64 64 64

4 37 64

E? =1×

1 7 19 37 55 +2× +3× +4× = . 64 64 64 64 16

12 分

19.解: (Ⅰ)在边长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , E 为 AD 中点, 在 A1D1 上取
M , 连 接 EM , 则 ?EMF 为 二 面 角 中 点 F . 连 接 EF 过 F 作 FM ? AC 1 1 于点

E? A 1C 1? D 1的平面角.
在 ?AC 1 1D 1 中, FM ?

4分

1 2 , B1 D1 ? 4 4
1 3

又 EF ? FM , EF ? 1 ∴ tan ?EMF ? 2 2 , 从而 cos ?EMF ?
1 ∴二面角 E ? AC . 1 1?D 1 的余弦值为 3

8分
1 , 2

(Ⅱ)在平面 ABCD 内,延长 BA 到 N 点, 使 AN ? 故 NE || AC 1 1 , ∴ NE || 面BAC 1 1. ∴ VB ? A1C1E ? VE ? A1BC1 ? VN ? A1C1E ? VC1 ? A1BN ?

1 1 3 1 ? ( ? ?) ?1 ? 3 2 2 4

12 分

x2 2 ? 1 (a ? 1 20. 解 : ( Ⅰ ) 设 直 线 l : y ? 2 x ? 3 与 椭 圆 C : 2 ? y 交) 于 a

P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 右顶点 A(a , 0) , 将 y ? 2x ? 3 代入 x2 ? a2 y 2 ? a2 ? 0 中整理
得 (4a2 ?1) x2 ? 4 3a2 x ? 2a2 ? 0

? 4 3a 2 x1 ? x2 ? 2 (1) ? ? 4a ? 1 ∴? 2 ? x x ? 2a (2) 1 2 ? 4a 2 ? 1 ?

∵ M ( x0 , y0 ) 为 PQ 中点

3 x1 ? x2 2 3a 2 3 3 ∴ x0 ? ,故 x0 ? . ? 2 ? ? 2 2 2 4a ? 1 2 2(4a ? 1)

6分

(Ⅱ)依题意: PA QA ? 0 , 则 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? y1 y2 ? 0 又 y1 ? 2x1 ? 3 , y2 ? 2x2 ? 3 故 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? (2x1 ? 3)(2x2 ? 3) ? 0 由①②代入③ 得: 4a4 ? 4 3a3 ? a2 ? 3 ? 0 ∴ (a ? 3)(4a2 ? a ? 3) ? 0 , ∵ a ? 1 ,则 4a2 ? a ? 3 ? 0 故 a ? 3 故所椭圆方程为
x2 ? y 2 ? 1. 3

3 ○

12 分

21. 解:(Ⅰ)∵ m?( x) ? axe? x (2 ? x) , 而 ax ? 0 , ∴当 x ? 2 时, m?( x) ? 0 , 因此 m( x) 在[2,+∞)上为减函数. (Ⅱ)记 n( x) ? 4分

f ( x) ax 2 ? 2ax , 则 n?( x) ? (?ax2 ? 2a)e? x , ? x g ( x) e

当 x ? 2 时 n?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 2 时, n?( x) ? 0 故 n( x) 在 x ? 2 时取极大值,同时也为最大值 ∴ n( x)max ? n( 2) ?

2a ? 2 2a e
2

8分

依题意, 要在(0,+∞)上存在一点 x0 , 使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立. 即使 n( x0 ) ? 1 只需 n( 2) ? 1 ,即

2a ? 2 2a e
2

? 1,∴ a ?

2 ?1 e 2

2

因此, 所求实数 a 的取值范围为 (

2 ?1 e 2

2

, ??) .

12 分

22. 解: (Ⅰ)由 Sn?2 ? (t ? 1)Sn?1 ? tSn ? 0 , 得 (t ? 1)Sn?1 ? Sn?2 ? tSn ,即 an?2 ? tan?1 , 而 a1 ? t, a2 ? t
2

∴数列 ?an ? 是以 t 为首项,t 为公比的等比数列.∴ an ? t n .
n ?n n ?n n n (Ⅱ)∵ (t ? t ) ? (2 ? 2 ) ? (t ? 2 )[1 ? (

4分

1 n 1 ) ]且 ?t ?2 2t 2



1 1 ? ?1 4 2t

∴ t n ? 2n ? 0 且 1 ? (

1 n ) ?0 2t

n n ∴ (t ? 2 )[1 ? (

1 n ) ]? 0 2t
9分

∴ t n ? t ? n ? 2n ? 2? n (Ⅲ)∵
1 1 n ?n ? (t ? t ) bn 2 ? 1 ) ? (2 ? 22 ? ?2n ) ? (2?1 ? 2?2 ? ?2? n ) bn

∴ 2(

1 1 ? ? b1 b2

? 2(2n ?1) ? 1 ? 2? n ? 2n?1 ? (1 ? 2? n ) ? 2n?1 ? 2 2? n


1 1 ? ? b1 b2

?

n ? 1 ? 2n ? 2 2 bn

14 分