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双曲线练习题及答案


双曲线相关知识
双曲线的焦半径公式: 1:定义:双曲线上任意一点 P 与双曲线焦点的连线段,叫做双曲线的焦半径。 2.已知双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1 点 P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ;│PF2│=-(ex-a) 点 P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-a 运用双曲线的定义 例 1.若方程 x sin ? ? y cos? ? 1表示焦点在 y 轴上的双曲线,则角 ? 所在象限是( A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
2 2

A. x

2

12

?

y2 ?1 24

B.

y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D. x

2

24

?

y2 ?1 12

3. 设 e1, e2 分别是双曲线 。

x 2 y2 x 2 y2 2 2 2 2 ? ? 1 ? 2 ? 1 的 离 心 率 , 则 e1 +e2 与 e1 · e2 的大小关系是 和 2 2 2 a b b a

4.若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点, 2 a

??? ? ??? ? 则 OP ? FP 的取值范围为 (
A. [3-2 3, ??) 5. 已知倾斜角为 )

)
7 C. [- , ?? ) 4 7 D. [ , ??) 4

B. [3 ? 2 3, ??)

? 的直线 l 被双曲线 x2-4y2=60 截得的弦长|AB|=8 2 ,求直线 l 的方程及以 AB 为 4

直径的圆的方程。

练习 1.设双曲线 A.7

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到点 (5,0) 的距离为 15,则 P 点到 (?5,0) 的距离是( ) 16 9 B.23 C.5 或 23 D.7 或 23
王新敞
奎屯 新疆

例 2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆 点,则此双曲线的方程是( (A)
y x - =1 6 4
2 2

5y 2 x2 + =1 的两个顶点,双曲线的两条准线分别通过椭圆的两个焦 10 32

) 。
y x - =1 4 6
2 2

6. 已知 P 是曲线 xy=1 上的任意一点,F( 2 , 2 )为一定点,l :x+y- 2 =0 为一定直线,求证:|PF| (C)
y x - =1 5 3
2 2

(B)

(D)

y x - =1 3 5

2

2

与点 P 到直线 l 的距离 d 之比等于 2 。

练习 2. 离心率 e= 2 是双曲线的两条渐近线互相垂直的( (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件

) 。

(D)不充分不必要条件

例 3. 已知|θ |<

? ,直线 y=-tgθ (x-1)和双曲线 y2cos2θ -x2 =1 有且仅有一个公共点,则θ 等于( 2 ? ? ? 5? (A)± (B)± (C)± (D)± 6 4 3 12

) 。

7、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ? 2, 0 ? ,右顶点为 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程

?

3, 0 .

?

课堂练习 1、已知双曲线的渐近线方程是 ; 2、焦点为(0,6) ,且与双曲线 x
2

y??

x 2

??? ? ??? ? (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点) ,求 k

, 焦 点 在 坐 标 轴 上 且 焦 距 是 10 , 则 此 双 曲 线 的 方 程 为

的取值范围

2

? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是




1

8、已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 点。 (1)求 a 的取值范围; (2)若以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值;

7.已知方程

y2 x2 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 3? k 2?k



8. 若 双 曲 线

y2 x2 ? =1 与 圆 x2 + y2=1 没 有 公 共 点 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 2 2 9k 4k

9. 求经过点 P(?3,2 7 ) 和 Q(?6 2,?7) ,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程

课后作业
y2 x2 1.双曲线 - =1 的渐近线方程是 ( 36 49 y y x x (A) ± =0 (B) ± =0 36 49 36 49

) (C)
y x ± =0 6 7

(D)

y x ± =0 7 6

10 设函数 f(x)=sinxcosx- 3cos(x+π )cosx(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期; ?π π? ? 3? (2)若函数 y=f(x)的图象按 b=? , ?平移后得到函数 y=g(x)的图象,求 y=g(x)在?0, ?上的最 4? 2 ? ? ?4 大值.

2.双曲线

x2 x2 y2 y2 - =1 与 - =k 始终有相同的( 4 4 5 5



(A)焦点

(B)准线
xx 4 ?

(C)渐近线

(D)离心率 ) 11、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?1.4b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;

3.直线 y=x+3 与曲线 ? (A)0 个

y2 =1 的交点的个数是( 4

(B)1 个

(C)2 个

(D)3 个 ) (B)( 1 ? a , 0), (- 1 ? a , 0)

4.双曲线 x2-ay2=1 的焦点坐标是( (A)( 1 ? a , 0) , (- 1 ? a , 0)

a ?1 a ?1 (C) (- , 0),( , 0) a a
5.设双曲线 是

a ?1 a ?1 (D)(- , 0), ( , 0) a a
L 的距离

x 2 y2 ? ? 1 (b>a>0)的半焦距为 c,直线 l 过(a, 0)、(0, b)两点,已知原点到直线 a 2 b2

3 c,则双曲线的离心率是( 4

) (D)
2 3 3

(A)2

(B) 3 (C) 2

6.若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离是 2 ,则 a+b 的值为( (A)-
1 2

) 。

(B)

1 2

(C)- 或

1 2

1 2

(D)2 或-2

2

课 1、[解析]设双曲线方程为 x 2 ? 4 y 2 ? ? , 当 ? ? 0 时,化为

x2

?
y2

?

y2

?

? 1 ,? 2

5? ? 10? ? ? 20 , 4

故的取值范围为 ( ?1, ?

3 ? 3 ? )?? ? 3 ,1 ? ? 3 ? ?
消去 y ,得 (3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 (1)

4
5? y2 当 ? ? 0 时,化为 ? 10? ? ? ?20 , ? ? 1 ,? 2 ? ? ?? 4 ? 4
综上,双曲线方程为

4、解: (1)由 ?

? y ? ax ? 1 ?3x ? y ? 1
2 2

?3 ? a 2 ? 0 依题意 ? 即 ? 6 ? a ? 6 且 a ? ? 3 (2) ?? ? 0
2a ? x1 ? x 2 ? (3) ? ? 3 ? a2 (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 ? ? x x ? ? 2 (4) 1 2 ? 3 ? a2 ?
∵ 以 AB 为直径的圆过原点 ∴ OA ? OB ∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

x2 y 2 y2 x2 ? ?1或 ? ?1 5 20 20 5

课 2.[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选 B 3、解(1)设双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

2 2 2 2 由已知得 a ? 3, c ? 2 ,再由 a ? b ? 2 ,得 b ? 1

但 y1 y2 ? a 2 x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 由(3) (4) , x1 ? x 2 ? ∴ (a ? 1) ?
2

x2 ? y 2 ? 1. 故双曲线 C 的方程为 3
(2)将 y ? kx ? 2 代入

2a ?2 , x1 x 2 ? 2 3?a 3 ? a2

?2 3 ? a2

x ? y 2 ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 3

2

?a?

2a 3 ? a2

?1? 0

解得 a ? ?1 且满足(2)

?1 ? 3k 2 ? 0 ? 由直线 l 与双曲线交与不同的两点得 ? ? ? 6 2k ? ?

?

?

2

? 36(1 ? 32 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0

即 k2 ?

1 2 且 k ? 1. 3



设 A ? xA , yA ? , B( xA , yB ), ,则

x A ? yB ?

??? ? ??? ? 6 2 ?9 OA ? OB ? 2 得 xA xB ? yA yB ? 2 , ,由 , x y ? A B 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxb ? 2) ? (k 2 ? 1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 . ? 22 k ? 2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1


于是

1 3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 ? 2 ? 0 解此不等式得 ? k 2 ? 3. ,即 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1 1 ? k2 ?1 3

9 设函数 f(x)=sinxcosx- 3cos(x+π)cosx(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期; π? π 3 (2)若函数 y=f(x)的图象按 b=? , ?平移后得到函数 y=g(x)的图象,求 y=g(x)在? ?0,4?上的最大值.大纲文数 ?4 2 ? 18.C9[2011· 重庆卷] 1 1 3 1 3 3 【解答】 (1)f(x)= sin2x+ 3cos2x= sin2x+ (1+cos2x)= sin2x+ cos2x+ 2 2 2 2 2 2 π? 3 2π =sin? ?2x+3?+ 2 .故 f(x)的最小正周期为 T= 2 =π. π? π? 3 3 3 ? ? π? π? ? (2)依题意 g(x)=f? ?x-4?+ 2 =sin?2?x-4?+3?+ 2 + 2 =sin?2x-6?+ 3. π? π ? π π? 当 x∈? ?0,4?时,2x-6∈?-6,3?,g(x)为增函数, π? ?π? 3 3 所以 g(x)在? ?0,4?上的最大值为 g?4?= 2 .

由①+②得

22、已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ?1(n ? N * ).
3

(I)求数列

?an ? 的通项公式; ?bn ? 满足 4b ?1.4b ?1...4b ?1 ? (an ?1)b (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;
1 2 n n



? ? 0 时,化为

y2 ?

?
4

?

5? y2 ? 10? ? ? ?20 , ? 1 ,? 2 ? 4 ??

(II)若数列

22(I) :? an?1 ? 2an ? ( 1 n ?,)N *

综上,双曲线方程为

x2 y 2 y2 x2 ? ?1或 ? ?1 5 20 20 5

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

2、[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑,选 B

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.

x2 y 2 ? ?1 7、解(1)设双曲线方程为 a 2 b2
由已知得

a ? 3, c ? 2 ,再由 a 2 ? b2 ? 22 ,得 b 2 ? 1



an ? 22 ?1(n ? N * ).
故双曲线

(II)证法一:? 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ? 1)bn .

C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 3

? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn .

(2)将

y ? kx ? 2 代入

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,

① ②

?1 ? 3k 2 ? 0 ? 由直线 l 与双曲线交与不同的两点得 ? ? ? 6 2k ? ?

?

?

2

? 36(1 ? 32 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0



即 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0,

k2 ?

③ ④

1 2 且 k ? 1. 3





A? xA , yA ? , B( xA , yB ), ,则
,由

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 即

x A ? yB ?


6 2 ?9 , x A yB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

??? ? ??? ? OA ? OB ? 2 得 xA xB ? yA yB ? 2 ,

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxb ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k (xA ? xB ) ? 2
2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

?9 6 2k 3k 2 ? 7 . ? (k ? 1) ? 22k ?2? 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1
于是

??bn ? 是等差数列。

1 3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 ? 2 ? 0 解此不等式得 ? k 2 ? 3. ,即 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1
1 ? k2 ?1 3



由①+②得

练习题答案
1、[解析]设双曲线方程为

x2 ? 4 y 2 ? ? ,

故的取值范围为

(?1, ?



? ? 0 时,化为

x2

?

?

y2

?

? 1 ,? 2

5? ? 10? ? ? 20 , 4

3 ? 3 ? )?? ? 3 ,1 ? ? 3 ? ?

8、解: (1)由

4

? y ? ax ? 1 2 2 消去 y ,得 (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0 (1) ? 2 2 ?3x ? y ? 1
4

?3 ? a 2 ? 0 依题意 ? 即? 6 ? a ? 6 且 a ? ? 3 (2) ? ? 0 ?
2a ? x1 ? x 2 ? (3) ? ? 3 ? a2 (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 ? ? x x ? ? 2 (4) 1 2 ? 3 ? a2 ?
∵ 以 AB 为直径的圆过原点 ∴

为 x0 ? 3 , 所 以 当 x0 ? 3 时 , O P? F P取 得 最 小 值

???? ????

???? ???? 4 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 , 故 O P? F P的 取 值 范 围 是 3

[3 ? 2 3, ??) ,选 B。
课练 5 答案:y=x±9, (x±12)2+(y±3)2=32 提示:设直线的方程是 y=x+m, 与双曲线的方程 x2-4y2=60 联立,消去 y 得 3x2+8mx+4m2+60=0, |AB|= 2 |x1-

OA ? OB



x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

x2|= 2

16m 2 ? 720 =8 2 ,解得 m=±9, ∴直线 l 的方程是 y=x±9, 当 m=9 时, AB 的中点是(12, 3),∴圆的方程是(x- 9



y1 y2 ? a x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1
2

12)2+(y-3)2=32,同样当 m=-9 时,AB 的中点是(-12, -3), 圆的方程是(x+12)2+(y+3)2=32

由(3) (4) ,

x1 ? x 2 ?

2a 3 ? a2



x1 x 2 ?

?2 3 ? a2
解得

课 练 6 提 示 : 设 P(x, y), |PF|2=(x -

2 )2 + (y -

2 )2, P 点 到 直 线 l 的 距 离 d=

|x ? y? 2| 2

, ∴



(a 2 ? 1) ?

?2 3 ? a2

?a?

2a 3 ? a2

?1? 0

a ? ?1 且满足(2)

x 2 ? 2 2x ? 2 ? y 2 ? 2 2 y ? 2 | PF | 2 = =2, ∴|PF|与点 P 到直线 l 的距离 d 之比等于 2 。 d2 x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 2 x ? 2 2 y ? 2xy 2
课后 6 答案:B 提示:a2-b2=1,

|a ? b| 2

= 2 , 且 a2>b2, a>0, 解得 a+b=

1 2

例 2 答案:A

5y 2 x2 3 10 3 10 + =1 的两个顶点是( 10 , 0), (- 10 , 0), 焦点是(- , 0), ( , 0), 在双曲线中,c= 10 , 10 32 5 5 y2 x2 a 2 3 10 2 = , a =6, b2=4, ∴双曲线的方程是 - =1 5 6 4 c 例 3 答案:B 提示: 将 y=-tgθ (x-1)代入到双曲线 y2cos2θ -x2 =1 中, 化简得 cos2θ x2+2xsin2θ +cos2θ =0, △=0,解得 sinθ =±cos ? θ , ∴θ =± 4 课练 3.答案:e12+e22=e12·e22
提示:椭圆 提示:e12+e22=

c 2 c 2 c 2 (a 2 ? b 2 ) c4 ? = = = e12·e22 2 2 2 2 2 2 a b a b a b

课练 4【答案】B 【解析】因为 F (?2, 0) 是已知双曲线的左焦点,所以 a ? 1 ? 4 ,即 a ? 3 ,所以双曲线方程为
2 2

x2 ? y 2 ? 1 ,设点 3

P ( x0 , y0 ) ,则有

??? ? ??? ? x0 2 x2 ? y0 2 ? 1( x0 ? 3) ,解得 y0 2 ? 0 ? 1( x0 ? 3) ,因为 FP ? ( x0 ? 2, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) ,所以 3 3

??? ? ??? ? x0 2 4 x0 2 3 2 ?1 ? ? 2 x0 ? 1 ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0 ? ? ,因 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 2) ? y0 = x0 ( x0 ? 2) ? 4 3 3
5


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