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2018-2019高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 第1课时 二倍角的三角函数课件 苏教版必修4_图文

第3章 §3.2 二倍角的三角函数 第1课时 二倍角的三角函数 学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式 变形运用. 内容索引 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 知识点 二倍角公式 思考1 根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式,你能推 导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗? 答案 sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α; cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α=cos2α-sin2α; tan 2α=tan(α+α)=1-2tatnanα2α . 答案 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1,你能否只用 sin α或cos α表示cos 2α? 答案 cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1; 或cos 2α=cos2α-sin2α=(1-sin2α)-sin2α=1-2sin2α. 答案 梳理 (1)倍角公式 ①sin 2α= 2sin αcos α .(S2α) ②cos 2α= cos2α-sin2α =1-2sin2α = 2cos2α-1.(C2α) 2tan α ③tan 2α= 1-tan2α .(T2α) (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式 1+cos 2α= 2cos2α ,1-cos 2α= 2sin2α , 1+cos α= 2cos2α2 ,1-cos α= 2sin2α2 . [思考辨析 判断正误] 1.sin α=2sin α2cos α2.( √ ) 2.cos 4α=cos22α-sin22α.( √ ) 3.对任意角 α,tan 2α=1-2tatnanα2α.( × ) 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义.如 α=π4及 α=π2,上式均无 意义. 提示 答案 题型探究 类型一 给角求值 例1 求下列各式的值: (1)cos 72°cos 36°; 解 cos 36°cos 72°=2sin 36°cos 2sin 36°cos 36° 72°=2sin47si2n°c3o6s°72°=s4isnin14346°°=14. (2)13-23cos215°; 解 13-23cos215°=-13(2cos215°-1)=-13cos 30°=- 63. 解答 1-tan275° (3) tan 75° ; 解 1-tan275° 1-tan275° tan 75° =2·2tan 75° =2·tan 1150°=-2 3. (4)sin110°-cos 3 10°. 解 sin110°-cos 310°=cossi1n01°-0°co3ss1in0°10°=2????21cossin1100°-°co2s31s0in°10°???? 4?sin = 30°cos 10°-cos 30°sin 2sin 10°cos 10° 10°?=4ssiinn2200°°=4. 解答 反思与感悟 对于给角求值问题,一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关 系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦 公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件, 使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 跟踪训练1 求下列各式的值: (1)cos 2π 7 cos 4π 7 cos 67π; 2π 2π 4π 6π 4π 4π 6π 解 2sin 原式= 7 cos 7 cos 2π 7 cos 7 sin = 7 cos 7 cos 2π 7 2sin 7 2sin 7 8π 6π ππ 2π sin = 7 cos 2π 7 sin = 7cos 2π 7= sin 72π=18. 4sin 7 4sin 7 8sin 7 解答 (2)sin150°+cos 350°. 解 原式=cossi5n05°+0°co3ss5in0°50°=2????2112c×os2s5i0n°+50°2c3ossin505°0°???? =12sin 80°=21sin 80°=4. 2sin 100° 2sin 80° 解答 类型二 给值求值 例2 已知tan α=2. (1)求 tan????α+π4????的值; 解 tan????α+π4????=1t-antαan+αttaann π 4π=1-2+2×1 1=-3. 4 (2)求sin2α+sin sin 2α αcos α-cos 2α-1的值. 解 sin2α+sin sin 2α αcos α-cos 2α-1=sin2α+s2isninαcαocsosα-α 2cos2α =tan2α2+tatnanαα-2=4+2×2-2 2=1. 解答 反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径: ①对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢. ②对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢, 以便将题设条件代入结论. (2)一个重要结论:(sin θ±cos θ)2=1±sin 2θ. 64 跟踪训练 2 若 tan α=34,则 cos2α+2sin 2α= 25 . 解析 cos2α+2sin cos2α+4sin αcos 2α= cos2α+sin2α α 1+4tan α = 1+tan2α . 把 tan α=34代入,得 cos2α+2sin 2α=11++4????×34???

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