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第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式


第5讲

两角和与差及二倍角的三角函数公式

1.两角和与差的三角函数 cosαcosβ-sinαsinβ cos(α+β)=______________________( Cα+β); cosαcosβ+sinαsinβ cos(α-β)=_____________________( C );
α-β

sinαcosβ+cosαsinβ sin(α+β)=_______________________( Sα+β);
sin(α-β)=_______________________( Sα-β); sinαcosβ-cosαsinβ tanα+tanβ 1-tanαtanβ tan(α+β)=____________( Tα+β); tanα-tanβ tan(α-β)=____________( 1+tanαtanβTα-β).

2.二倍角的三角函数 cos2α=_____________ cos2α-sin2α =_____________ 2cos2α-1 =____________ 1-2sin2α ; 2sinαcosα ; sin2α=___________ 2tanα tan2α=___________. 1-tan2α 3.降次公式
1+cos2α 1-cos2α 2 2 cos2α=_________ ;sin2α=_________.

4.辅助角公式

asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ).

其中 cosφ=

a b , sin φ = 2 2 2 2, a +b a +b

b tanφ=a,角 φ 称为辅助角.

1.在△ABC 中,sinA· sinB<cosA· cosB,则这个三角形的形状 是( B ) A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

? 3?π 1 ? ? 2.若 sinα=5 2<α<π ,tanβ=2,则 tan(α-β)的值是( B ) ? ?

A.2

B.-2

2 C.11

1 D.5

3 θ 1 θ 3.若 cos2=2,sin2=- 2 ,则角 θ 的终边所在的象限是

第三象限 . __________
3 1 θ θ θ θ 解析:∵sinθ=2sin2cos2=- 2 ,cosθ=cos22-sin22=-2, ∴角 θ 的终边在第三象限.

7 -25 4.已知角α的终边过点(3,-4),则 cos2α=______.

4 16 7 解析:sinα=-5,cos2α=1-2sin2α=1-2×25=-25.
3 5.(2010 年全国)已知 α 为第二象限的角,sinα=5,则 tan2α -24 =______. 7

3 4 解析:因为 α 为第二象限的角,又 sinα=5,所以 cosα=-5, sinα 3 2tanα 24 tanα=cosα=-4,所 tan2α= =- 7 . 1-tan2α

考点1

两角和与差的正弦和余弦

?π ? 4 5 例 1:已知 sinα=5,α∈?2,π?,cosβ=-13,β 是第三象限 ? ?

角,求 cos(α-β)的值.
?π ? 4 ? ? 解析:∵α∈ 2,π ,sinα=5, ? ?

∴cosα=- 1-sin α=-

2

?4?2 3 ? ? 1- 5 =-5. ? ?

5 ∵cosβ=-13,β 是第三象限角, ∴sinβ=- 1-cos β=-
2

? 5 ?2 12 1-?-13? =-13. ? ?

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
? 3? ? 5 ? 4 ? 12? 33 =?-5?×?-13?+5×?-13?=-65. ? ? ? ? ? ?

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.已知sinα求cosα, 已知cosβ求sinβ,都要用到公式sin2α+cos2α=1,要注意角α, β的象限,也就是符号问题.

【互动探究】
1.已知
? ?π 5π? π? 4 ? ? sin α-3 =5,α∈?2, 6 ?,求 ? ? ? ?

cosα.

? ?π 5π? π? 4 解:由 sin?α-3?=5,α∈?2, 6 ?,得 ? ? ? ? ? π? 3 π ?π π? α-3∈?6,2?,cos?α-3?=5, ? ? ? ? ? π? π 而由 α=?α-3?+3得 ? ? ?? ? ? π ? π? π? π π? π ? ? ? ? ? ? ? α - +3 =cos α-3 cos -sin α-3?sin cosα=cos 3 3 ? ? ? ? ? 3 ?? ?

3 1 4 3 3- 4 3 =5×2-5× 2 = 10 .

考点2

两角和与差的正切

例2:化简或求值:

tan42° +tan18° 1+tan15° (1)tan15° ;(2) ;(3) . 1-tan42° tan18° 1-tan15°
解析:(1)tan15° =tan(60° -45° ) tan60° -tan45° 3-1 = = =2- 3. 1+tan60° tan45° 1+ 3 tan42° +tan18° (2) =tan(42° +18° )=tan60° = 3. 1-tan42° tan18°

(3)因为 1=tan45° , 1+tan15° tan45° +tan15° 所以 = =tan(45° +15° )= 3. 1-tan15° 1-tan45° tan15°

本题(1)体会正用(直接)公式;(2)体会逆(反)用公 式;(3)创造条件(变形)逆用公式.

【互动探究】
3 2.计算:tan20° +tan40° + 3tan20° tan40° =____.

tan20° +tan40° 解析:∵tan(20° +40° )= , 1-tan20° tan40° ∴ 3- 3tan20° tan40° =tan20° +tan40° . 移项可得:tan20° +tan40° + 3tan20° tan40° = 3.

考点3

二倍角公式的应用

例 3:已知:f(x)=2cos2x+ 3sin2x+a(其中 a∈R). (1)若 x∈R,求 f(x)的最小正周期; (2)若
? π π? f(x)在?-6,6?上最大值与最小值之和 ? ?

3,求 a 的值.

解析:f(x)=1+cos2x+ 2π (1)最小正周期 T= 2 =π.

? π? 3sin2x+a=2sin?2x+6?+a+1. ? ?

? π π? π ? π π? (2)∵x∈?-6,6?,∴2x+6∈?-6,2?. ? ? ? ? ? π? 1 ∴-2≤sin?2x+6?≤1. ? ?

∴f(x)max=2+a+1,f(x)min=-1+a+1, ∴2a+3=3.即 a=0.

利用二倍角公式(降幂公式)、辅助角公式(二合一公 式)将三角函数式由多项转化为一项是化简的最终目标.求三角函 数在某区间的最值(范围)时,不要只代两端点,要注意结合图象.

【互动探究】
3.(2010 年浙江)函数
? π? 2 2 f(x)=sin ?2x-4?的最小正周期是__. ? ?

π

考点4
例 4:已知函数

三角函数公式的综合应用

? ? π? π? ? π ? ? ? ? f(x)=cos 2x-3 +2sin x-4?· sin?x+4?. ? ? ? ? ? ?

(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数
? π π? f(x)在区间?-12,2?上的值域. ? ?

? ? π? π ? ? π? 解析:(1)∵f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?· sin?x+4? ? ? ? ? ? ?

1 3 =2cos2x+ 2 sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx) 1 3 =2cos2x+ 2 sin2x+sin2x-cos2x 1 3 =2cos2x+ 2 sin2x-cos2x
? π? ? =sin 2x-6?, ? ?

2π ∴周期 T= 2 =π.

π π kπ π 由 2x-6=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +3(k∈Z). kπ π ∴函数图象的对称轴方程为 x= 2 +3(k∈Z).
? π π? π ? π 5π? (2)∵x∈?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?. ? ? ? ? ? ? ?π π? π? π π? ∵f(x)=sin?2x-6?在区间?-12,3?上单调递增,在区间?3,2? ? ? ? ? ? ?

上单调递减, π ∴当 x=3时,f(x)取最大值 1.

? π? 又∵f?-12?=- ? ?

3 π 1 2 <f(2)=2,

π 3 ∴当 x=-12时,f(x)取最小值- 2 . ∴函数
? ? π π? f(x)在区间?-12,2?上的值域为?- ? ? ? ? 3 ?. 2 ,1?

【互动探究】

4.已知 α,β 为锐角且 cosα=

1 1 ,cosβ= ,为了求 α+β 10 5

cos(α+β) 更 的值,先要求 sin(α+β)或 cos(α+β),你认为选_____________
3π 4 好.最后求得 α+β 等于______.

1.本讲公式较多,对公式的掌握,一方面是熟悉各组公式间 的内在联系,从整体上把握公式的特点;另一方面是要注意公式
的逆用和变形.公式的应用包括:正用、反用与变用,如tanα±

tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ)等.
2.在处理三角函数问题时,三个统一中(角的统一、函数名统 一、次数统一),角的统一是第一位. 3.合一变换与降次都是常用的方法,合一变换的目的是把一 个角的两个三角函数的和转化为一个角的一个三角函数.降次的 目的,一方面把一个角变为原来的两倍.另外一方面是为了次数 的统一.

1.在对三角函数式进行恒等变换的过程中,要深刻理解“恒

等”的含义,不能改变自变量的取值范围.要注意和、差、倍角
的相对性,还要注意“1”的灵活应用. 2.已知三角函数值求角时,要先确定所求角的范围,再选择 在该范围内具有单调性的某一三角函数求解,否则容易出现增根.
如若 α∈(0,π),则选余弦函数;若
? π π? α∈?-2,2?,则选正弦函数. ? ?


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