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2012高三数学一轮复习单元练习题:三角函数(Ⅴ)


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高三数学单元练习题:三角函数(Ⅴ)
第Ⅰ卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 ? 1.使 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 cos( 2 x ? ? ) 为奇函数,且在 [ 0 , ] 上是减函数的 ? 的一个值
4

是 A. ?
?
3

( B. ?
?
6



C.

2? 3

D.

5? 6

2.果 ? A1 B1 C 1 的三个内角的余弦值分别等于 ? A 2 B 2 C 2 的三个内角的正弦值,则 A. ? A1 B1 C 1 和 ? A 2 B 2 C 2 都是锐角三角形 B. ? A1 B1 C 1 和 ? A 2 B 2 C 2 都是钝角三角形 C. ? A1 B1 C 1 是钝角三角形, ? A 2 B 2 C 2 是锐角三角形 D. ? A1 B1 C 1 是锐角三角形, ? A 2 B 2 C 2 是钝角三角形 3.设函数 f ( x ) ? sin 3 x ? | sin 3 x |, 则 f ( x ) 为 A.周期函数,最小正周期为
2? 3





( B.周期函数,最小正周期为 D.非周期函数 (
?
3



C.周期函数,数小正周期为 2?

4. ? ABC 中,若 cos A ? cos B ? sin C ,则 ? ABC 的形状是 A.等腰三角形 5.函数 f(x)= B.等边三角形 的值域是
2 ?1 2 2 ?1 2



C.等腰直角三角形 D.直角三角形 ( )

sin x cos x 1 ? sin x ? cos x

A.[- 2 -1,1]∪[-1,
2 2 2 2

2 -1]

B.[-

,

]
2 ?1 2

C.[-

-1,

-1]

D.[-

2 ?1 2

,-1 ) ∪(-1,

]

6.对任意的锐角 α ,β ,下列不等关系中正确的是 A.sin(α +β )>sinα +sinβ C.cos(α +β )<sinα +sinβ B.sin(α +β )>cosα +cosβ D.cos(α +β )<cosα +cosβ





7.在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=a∶(a+1)∶2a,则 a 的取值范围是 A.a>2 B.a>
1 2
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C.a>0

D.a>1

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?
3

8.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? ( ) A.
2 3

,

?
4

]上的最小值是-2,则? 的最小值等于

B.

3 2

C.2

D.3

9.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范 围是 A. (1,2) 10.函数 y=A(sin?x? ( ) A. y ? ? 4 sin( B. y ? 4 sin(
?
8

( B. (2,+∞) +?)(?>0, | ? |?
?
2



C.[3,+∞ )

D. (3,+∞)

,x?R)的部分图象如图所示,则函数表达式为

?
8

x?

?
4

)

4 -2 o -4

y

x?

?
4

)

C. y ? ? 4 sin( D. y ? 4 sin(
?
8

?
8

x?

?
4

)

6

x

x?

?
4

)

2 2 11.设 a,b>0,且 2a+b=1,则 2 ab -4a -b 的最大值是

( D. 2 -1



A. 2 +1

B.

2 ?1 2

C.

2 ?1 2

12.已知 f ( x ) ? a cos

2

x ? b sin x cos x ?

a 2

的最大值是

1 2

,且 f (

?
3

)?

3 4

,则 f ( ? (

?
3

)?



A.

1 2

B. ?

3 4

C. ? 第Ⅱ卷

1 2



3 4

D. 0 或 ?

3 4

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。
知? s? i c n o 且 则 ? ? c n 为 o ss 值 ? 13. 已 s , , i的 1 ?? ? ? ?? ? 84 2

14.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45? 距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔船沿 北偏东 105? 方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 海里,则舰艇到 达渔船的最短时间是___________.
s 15 . 已 知 向 量 a ? ( 2 c o?
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?

? , 2 ? i n ?) , s b

? 3 c o s? , , s i n 角 为 60 ( 3 其夹 )

?

,则直线

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x cos ? ? y sin ? ? 1 2

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2 2

=0 与圆 ( x ? cos ? ) ? ( y ? sin ? ) ?

1 2

的位置关系是_____

__

_ 。
2 2 2

16. 已知 f (? ) ? sin ? ? sin (? ? ? ) ? sin (? ? ? ) , 其中 ? , ? 为参数, 0 ? ? ? ? ? ? , 且 当? ? ,? ? 时, f (? ) 是一个与 ? 无关的定值。

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分)。 17. (12 分)在△ABC 中, 已知 y ? 2 ? cos C cos ? A ? B ? ? cos
2

C.

(I)若任意交换 A , B , C 的位置, y 的值是否会发生变化?试证明你的结论; (Ⅱ)求 y 的最大值. 18. 分) (12 已知函数 f ( x ) ? 4 sin (
2

?
4

? x ) ? 2 3 cos 2 x ? 1且给定条件

P :"

?
4

? x ?

?
2

".

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小值; (Ⅱ)若又给条件 q: f(x)-m|<2”且 P 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围 “| 19. (12 分)为进行科学实验,观测小球 A、B 在两条相交成 60? 角的直线型轨道上运动的情 况,如图(乙)所示,运动开始前,A 和 B 分别距 O 点 3m 和 1m,后来它们同时以每 分钟 4m 的速度各沿轨道 l 1 、 l 2 按箭头的方向运动。问: (I)运动开始前,A、B 的距离是多少米?(结果保留三位有效数字) 。 (Ⅱ)几分钟后,两个小球的距离最小?
l2 B’ B

A

A’

O

l1

图(乙)

20. (12 分)已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角 A、 B、C 的大小. 21. (12 分) 。函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)在 x∈(0,7π )内取到一个最大值和一个 最小值,且当 x=π 时,y 有最大值 3,当 x=6π 时,y 有最小值-3. (I)求此函数解析式; (Ⅱ) 是否存在实数 ω , 满足 Asin(ω 若
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?m

2

? 2 m ? 3 +φ )>Asin(ω

?m

2

? 4 +φ )?

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存在,求出 m.若不存在,说明理由. 22. (14 分)某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一座铁塔如图所示,塔及所在的山崖可视 为图中的竖线 OC,塔高 BC?80(米),山高 OB?220(米),OA?200(米),图中所示的山 坡可视为直线 l 且点 P 在直线 l 上, l 与水平地面的夹角为?, tan ? ?
1 2

t 试问,此人

距山崖的水平地面多高时,观看塔的视角?BPC 最大(不计此人的身高)?

参考答案 一、选择题 1.C;2.D;3.A;4.C;5.D;6.D;7.B;8.B;9.B;10.A;11.C;12.D; 二、填空题 13. ?
3 2

;14.

2 3

小时;15.相离;16. ? ?

?
3

,? ?

2 3

? ;

三、解答题 17. (I)∵
? 2? 1 2

y ? 2 ? cos C cos ? A ? B ? ? cos

2

C ? 2 ? cos ? A ? B ? cos ? A ? B ? ? cos 2 C

?cos
2

2 A ? cos 2 B ? ? cos
2

2

C ? 2?
2

1 2

?2 cos
2

2

A ? 1 ? 2 cos
2

2

B ? 1 ? cos

?

2

C

? 3 ? cos

A ? cos

B ? cos

2

C ? sin

A ? sin

B ? sin

C



∴ 任意交换 A , B , C 的位置, y 的值不会发生变化. (II)将 y 看作是关于 cos C 的二次函数. y
1 1 ? ? ? ? ? cos C ? cos ? A ? B ? ? ? cos 2 4 ? ?
2 2

? 2 ? cos C cos ? A ? B ? ? cos

2

C

?A ? B ? ? 2 .
2

所以,当 cos

C ?

1 2

cos ? A ? B ? ,且 cos

? A ? B ? 取到最大值 1 时,也即 A ?

B ? C ?

?
3

时,

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y 取得最大值

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9 4



也可有如下简单解法:
y ? 2 ? cos C cos ? A ? B ? ? cos
2

C

? 2 ? cos C ? cos C

2

?

9

1? ? ? ? cos C ? ? 4 ? 2?

2

?

9 4

.

18.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? 2[1 ? cos(
? 4 sin( 2 x ?

?
2

? 2 x )] ? 2 3 cos 2 x ? 1 ? 2 sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 1

?
3

)?1 ?

又∵ 即

?
4

? x ?

?
2

?
6

? 2x ?

?
3

?

2? 3

3 ? 4 sin( 2 x ?

?
3

)?1? 5

∴ymax=5, ymin=3 (Ⅱ)∵ | f ( x ) ? m |? 2 又∵P 为 q 的充分条件 ∴?
?m ? 2 ? 3 ?m ? 2 ? 5
? m ? 2 ? f ( x) ? m ? 2

解得 3 ? m ? 5

19.解: (1)小球开始运动前的距离为:
AB ? 3
2

?1

2

? 2 ? 3 ? 1 ? co s 6 0 ? ?

7 ? 2 .6 5 ( m )

(2)设 t 分钟后,小球 A、B 分别运动到 A’、B’处,则 A A ' ? 4 t , B B ' ? 4 t . 当
0? t? 3 4


6 0? ? 4 8 t
2


o s

? A ' B '?

2

? ?3 ? 4 t?
? 3 4

2

? ?1 ? 4 t ?
2

2

? 2 ? ? 3 ? 4 t ? ? ?1 ? 4 t ? ? c
2 2

? 24 t ? 7

当t

时, ? A ' B '? ? ? 4 t ? 3 ? ? ?1 ? 4 t ? ? 2 ? ? 4 t ? 3 ? ? ?1 ? 4 t ? ? cos 1 2 0 ? ? 4 8 t 2 ? 2 4 t ? 7
2

故 ? A ' B '? ? 48 t 2 ? 24 t ? 7 ( t ? 0 )
? ? A ' B '?
2

1? ? ? 4 8? t ? ? ? 4?

2

? 4 ( t ? 0)

?当t ?

1 4

, ? A ' B '? m in ? 2 ? m ?



1 4

分钟后两个小球的距离最小。

20.解法一 由 sin A (sin B ? cos B ) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B ) ? 0 .
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所以 sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0 . 即 sin B (sin A ? cos A ) ? 0 . 因为 B ? ( 0 , ? ), 所以 sin B ? 0 ,从而 cos A ? sin A . 由 A ? ( 0 , ? ), 知 A ?
?
4 . 从而 B ? C ?

3 4 3 4

? .

由 sin B ? cos 2 C ? 0 得 sin B ? cos 2 ( ? ? B ) ? 0 . 即 sin B ? sin 2 B ? 0 .亦即 sin B ? 2 sin B cos B ? 0 . 由此得 cos B ?
1 2 ,B ?

?
3

,C ?

5? 12

. 所以 A ?

?
4

, B ?

?
3

,C ? 3? 2

5? 12

.

解法二:由 sin B ? cos 2 C ? 0 得 sin B ? ? cos 2 C ? sin( 由 0 ? B 、 c ? ? ,所以 B ? 即 B ? 2C ?
3? 2 或 2C ? B ?

? 2 C ).

3? 2

? 2C 或 B ? 2C ?

?
2

.

?
2

.

由 sin A (sin B ? cos B ) ? sin C ? 0 得 sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B ) ? 0 . 所以 sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0 . 即 sin B (sin A ? cos A ) ? 0 . 由 A ? ( 0 , ? ), 知 A ? 再由 2 C ? B ? 21.解:(1)∵A=3
?? ? 2? T ? 1 5
1 2

因为 sin B ? 0 ,所以 cos A ? sin A.
3 4 5? 12

?
4

. 从而 B ? C ?

? ,知 B+2C=
.

3? 2

不合要求.
?
3 ,C ? 5? 12 .

? ,得 B ?
T 2

?
3

,C ?

所以 A ?

?
4

, B ?

=5π ? T=10π
1 5

?
2

? ?? ?

?
2

? ? ?

3? 10

? y ? 3 sin(

1 5

x?

3? 10

)

(2)∵ω
1 5

?

而 y=sint 在(0, ∴ω
?m
2

? 2 m ? 3 +φ 3? ? 2 ? ( m ? 1) ? 4 ? ? (0, ) 10 2 3? ? 2 ? ( m ? 1) ? 4 ? ? (0, ) 10 2 ?
2

?m

)上是增函数
?m
2

? 2 m ? 3 +φ >ω

? 4 +φ ?

?m

2

? 2m ? 3 > ? m

2

?4

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22.解:如图所示,建立平面直角坐标系,则 A ( 200 , 0 ) , B ( 0 , 220 ) , C ( 0 ,300 ) .

y

直线 l 的方程为 y ? ( x ? 200 ) tan ? ,即 y ? 设点 P 的坐标为 ( x , y ) ,则 P ( x , 由经过两点的直线的斜率公式
x ? 200 k PC ? 2 x x ? 200 k PB ? 2 x ? 220 ? ? 300 ? x ? 800 2x x ? 640 2x

x ? 200 2


B

C

x ? 200 2

) ( x ? 200 )

P ?
o A

x





由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得
160 tan BPC ? k PB ? k PC 1 ? k PB k PC ? 64 x 2x ? 2 x ? 800 x ? 640 x ? 288 x ? 160 ? 640 1? ? 2x 2x

? x?

64 160 ? 640 x ? 288

( x ? 200 )

要使 tan BPC 达到最大,只须 x ? 由均值不等式 x ?
160 ? 640 x

160 ? 640 x

? 288 达到最小. 160 ? 640 x

? 288 ? 2 160 ? 640 ? 288 .当且仅当 x ?



上式取等号.故当 x ? 320 时 tan BPC 最大. 这时,点 P 的纵坐标 y 为 y ?
320 ? 200 2 ? 60 .

由此实际问题知, 0 ? ? BPC ?

?
2

,所以 tan BPC 最大时, ? BPC 最大.故当此人距

水平地面 60 米高时,观看铁塔的视角 ? BPC 最大.

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