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湖南省新田县第一中学高中数学第一章1.2.2函数的单调性与导数练习新人教B版选修22

湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.2 函数的单调性与导 数练习 新人教 B 版选修 2-2
班级___________ 1.在下列结论中,正确的有 ①单调增函数的导数也是单调增函数; ②单调减函数的导数也是单调减函数; ③单调函数的导数也是单调函数; ④导函数是单调的,则原函数也是单调的. A.0 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( B.(0,1)∪(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
3 2

姓名___________学号___________ ( ).

1 2 2.函数 y= x -ln x 的单调减区间是 2 A.(0,1) C.(-∞,1)

).

3.若函数 f(x)=x -ax -x+6 在(0,1)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.[1,+∞) B.a=1 C.(-∞,1] D.(0,1) ( D.(0, 2) ).

).

2 4.当 x>0 时,f(x)=x+ 的单调递减区间是

x

A.(2,+∞)

B.(0,2)

C.( 2,+∞)
2

5.已知函数 y=f(x)的导函数 f′(x)=ax +bx+c 的图象如图所示,则

y=f(x)的图象可能是

(

).

6.函数 y=ln(x -x-2)的递减区间为________. 7. 若三次函数 f(x)=ax +x 在区间(-∞, +∞)内是增函数, 则 a 的取值范围是________. 8.命题甲:对任意 x∈(a,b),有 f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的,则 甲是乙的________条件.
3

2

9.函数 f(x)的导数 y=f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的

1

单调递增区间是________. 10.已知 x>1,证明:x>ln(1+x).

11.已知函数 f(x)=x +ax+8 的单调递减区间为(-5,5),求函数 y=f(x)的递增区间.

3

12.求下列函数的单调区间: 9 (1)y=x+ ;

x

(2)y=ln(2x+3)+x .

2

1.在下列结论中,正确的有 ①单调增函数的导数也是单调增函数;

(

).

2

②单调减函数的导数也是单调减函数; ③单调函数的导数也是单调函数; ④导函数是单调的,则原函数也是单调的. A.0 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

1 解析 分别举反例:①y=ln x;②y= (x>0);

x

③y=2x;④y=x ,故选 A. 答案 A 1 2 2.函数 y= x -ln x 的单调减区间是 2 A.(0,1) C.(-∞,1) B.(0,1)∪(-∞,-1) D.(-∞,+∞) ( ).

2

1 2 1 1 解析 ∵y= x -ln x 的定义域为(0,+∞),∴y′=x- ,令 y′<0,即 x- <0,解 2 x x 得:0<x<1 或 x<-1. 又∵x>0,∴0<x<1,故选 A. 答案 A 3.若函数 f(x)=x -ax -x+6 在(0,1)内单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.[1,+∞) C.(-∞,1]
2 3 2

).

B.a=1 D.(0,1)
2

解析 ∵f′(x)=3x -2ax-1,又 f(x)在(0,1)内单调递减,∴不等式 3x -2ax-1<0 在(0,1)内恒成立,∴f′(0)≤0,且 f′(1)≤0,∴a≥1. 答案 A 4.函数 y=ln(x -x-2)的递减区间为________. 解析 f′(x)= 2x-1 1 ,令 f′(x)<0 得 x<-1 或 <x<2,注意到函数定义域为(-∞, x -x-2 2
2 2

-1)∪(2,+∞),故递减区间为(-∞,-1). 答案 (-∞,-1) 5. 若三次函数 f(x)=ax +x 在区间(-∞, +∞)内是增函数, 则 a 的取值范围是________. 解析 f′(x)=3ax +1, ∴f(x)在 R 上为增函数, ∴3ax +1≥0 在 R 上恒成立. 又 a≠0, ∴a>0. 答案 (0,+∞)
2 2 3

3

6.已知 x>1,证明:x>ln(1+x). 证明 设 f(x)=x-ln(1+x)(x>1),

f′(x)=1-

1 x = ,由 x>1,知 f′(x)>0. 1+x 1+x

∴f(x)在(1,+∞)上单调递增. 又 f(1)=1-ln 2>0, 即 f(1)>0.∵x>1,∴f(x)>0,即 x>ln(1+x). 综合提高 (限时25分钟) 2 7.当 x>0 时,f(x)=x+ 的单调递减区间是

x

(

).

A.(2,+∞) C.( 2,+∞)

B.(0,2) D.(0, 2)
2

2 x -2 (x- 2)(x+ 2) 解析 f′(x)=1- 2= 2 = . 2

x

x

x

由 f′(x)<0 且 x>0 得 0<x< 2,故选 D. 答案 D 8. 已知函数 y=f(x)的导函数 f′(x)=ax +bx+c 的图象如图所示, 则 y=f(x)的图象可能是 ( ).
2

解析 当 x<0 时,由导函数 f′(x)=ax +bx+c<0,知相应的函数 f(x)在该区间上单调 递减;当 x>0 时,由导函数 f′(x)=ax +bx+c 的图象可知,导数在区间(0,x1)内的值 是大于 0 的,则在此区间内函数 f(x)单调递增.只有 D 选项满足题意. 答案 D 9.命题甲:对任意 x∈(a,b),有 f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的,则 甲是乙的________条件. 解析 f(x)=x 在(-1,1)内是单调递增的,但 f′(x)=3x ≥0(-1<x<1),故甲是乙的 充分不必要条件. 答案 充分不必要
3 2 2

2

4

10.函数 f (x)的导数 y=f′(x)的图象如图所示, 则函数 f(x) 的单调递增区间是________. 解析 由图可知当 x∈[-1,0]∪[2,+∞)时,

f′(x)≥0,故函数 f(x)的单增区间为[-1,0]和[2,+
∞). 答案 [-1,0]和[2,+∞) 11.已知函数 f(x)=x +ax+8 的单调递减区间为(-5,5),求函数 y=f(x)的递增区间. 解 f′(x)=3x +a. ∵(-5,5)是函数 y=f(x)的单调递减区间,则-5,5 是方程 3x +a=0 的根,∴a=- 75.此时 f′(x)=3x -75, 令 f′(x)>0,则 3x -75>0,解得 x>5 或 x<-5,∴函数 y=f(x)的单调递增区间为(- ∞,-5)和(5,+∞). 12.(创新拓展)求下列函数的单调区间: 9 (1)y=x+ ;
2 2 2 2 3

x

(2)y=ln(2x+3)+x .

2

9 解 (1)函数 y=x+ 的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}.

x

9 9 ∵y=x+ ,∴y′=1- 2.

x

x

9 当 y′>0,即 x>3 或 x<-3 时,函数 y=x+ 单调递增;

x

当 y′<0,即-3<x<0 或 0<x<3 时, 9 函数 y=x+ 单调递减.

x

9 故函数 y=x+ 的单调递增区间为(-∞,-3),(3,+∞),单调递减区间为(-3,0),

x

(0,3).

? 3 ? 2 (2)函数 y=ln(2x+3)+x 的定义域为?- ,+∞?. ? 2 ?
∵y=ln(2x+3)+x , 2 4x +6x+2 2(2x+1)(x+1) ∴y′= +2x= = . 2x+3 2x+3 2x+3 3 1 当 y′>0,即- <x<-1 或 x>- 时, 2 2 函数 y=ln(2x+3)+x 单调递增;
2 2 2

5

1 当 y′<0,即-1<x<- 时, 2 函数 y=ln(2x+3)+x 单调递减.
2

? 3 ? ? 1 ? 2 故函数 y=ln(2x+3)+x 的单调递增区间为?- ,-1?,?- ,+∞?,单调递减区间为 ? 2 ? ? 2 ? ?-1,-1?. ? 2? ? ?

6