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等差数列教案(教师版)


第 1 课时
一、知识要点

等差数列

1.等差数列的定义: .等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一 项的 差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常 用字母“d”表示) ⑴.公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;
王新敞
奎屯 新疆

⑵.对于数列{ an },若 an - a n ?1 =d (与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N ,则此数列是 等差数列,d 为公差
王新敞
奎屯 新疆

?

2.等差数列的通项公式: an

? a1 ? (n ? 1)d 【或 an ? am ? (n ? m)d 】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差
王新敞
奎屯 新疆

是 d,则据其定义可得: a2 ? a1 ? d 即: a2 ? a1 ? d
a3 ? a2 ? d 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d

a4 ? a3 ? d 即: a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d

?? 由此归纳等差数列的通项公式可得: an ? a1 ? (n ? 1)d

二、经典例题
例 1.若 a≠b,数列 a,x1,x 2 ,b 和数列 a,y1 ,y2 ,b 都是等差数列,则 ( A. )

x2 ? x1 ? y 2 ? y1
D.

3 4

B.

2 3

C.1

4 3


例 2. 在等差数列 ?an ? 中, 公差 d =1, 则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 = ( a4 ? a17 =8, A.40 B.45 C.50 D.55 例 3.等差数列 ?an ? 的前三项为 x ?1, x ? 1, 2x ? 3 ,则这个数列的通项公式为 ( ) A. an ? 2n ? 1 B. an ? 2n ? 1 C. an ? 2n ? 3 D. an ? 2n ? 5 )

1 例 4.等差数列{an}中,已知 a1= ,a2+a5=4,an=33,则 n 为( 3 A.48 B.49 C.50 D.51 ;

例 5.等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ?

例 6.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______



例 7.已知等差数列的首项为 31,若此数列从第 16 项开始小于 1,则此数列的公差 d 的取 值范围是 A.(-∞,-2) B.[-

15 , -2] 7

C.(-2, +∞)
2

D.(—

15 ,-2) 7


变式 1.a1, a2, a3, a4 成等差数列, 且 a1, a4 为方程 2x -5x -2= 0 的两根, 则 a2+a3 等于 ( (A)-1 (B)、

5 2

(C)-

5 2

(D)不确定

变式 2.等差数列 ?an ? 中,首项 a1= ( (A) ) d>

1 ,a8>6,a7≤6,则此数列的公差 d 的取值范围是 2
(C)

11 14

(B)

d<

11 12

11 11 <d< 14 12

(D) 、

11 11 <d≤ 14 12

变式 3.已知命题甲是“△ABC 的一个内角 B 为 60°”,命题乙是“△ABC 的三个内角 A、B、 C 成等差数列”,那么( ) A.甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 B.甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 C、甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是必要条件

3. 等差数列的性质 1: 已知 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq , 注意: am ? an ? a p ?q 例如: a2 ? a5 ? a4 ? a3 , a2 ? a5 ? a7 在等差数列 ?an ? 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k , ? 为 等差数列,公差为 kd . 例 8.已知数列 {an } 为等差数列, a1 ? 20, a8 ? 54 ,求 a4 ? a5 , a9 的值。

例 9.已知数列 {an } 为等差数列, a2 ? 2, a8 ? 24 ,求 S9 的值。

变式 4.等差数列{an}中,若 a2+a4+a9+a11=32,则 a6+a7= (A)9 (B)12 (C)15

( (D) 、16

)

性质 2:在等差数列 {an } 中, Sn 为前 n 项和, S 2 n 为前 2n 项和, S3n 为前 3n 项和,则 Sn 、

S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 也是等差数列。
例 10.等差数列 {an } 中,前 n 项和为 10,前 2n 项和为 40,求数列前 3n 项和为多少?

例 11.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260



3、等差数列的前 n 和公式: Sn ?

n(a1 ? an ) n( n ? 1) d , S n ? na1 ? 2 2

例 12:设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=________. 例 13.在等差数列{an}中,S5=28,S10=36,则 S15 等于( A 24 B.44 C.64 D.80 )

例 14、数列 {an } 中, an ? an ?1 ? =_, n = ;

3 15 1 (n ? 2, n ? N * ) , an ? ,前 n 项和 Sn ? ? ,则 a1 2 2 2

例 15、首项为 18,公差为-3 的等差数列,前 n 项和 Sn 取最大值时,n 等于( A.5 或 6 B.6 C.7 D 6或7



变式 5.已知数列{an}的通项公式为 an=2n-49,则 Sn 达到最小值时,n 的值是 ( ) (A)23 (B) 、24 (C)25 (D)26 )

变式 6.已知数列{an}满足 a1=2,an+1-an+1=0,(n∈N),则此数列的通项 an 等于 ( 2 (A)n +1 (B)n+1 (C)1-n (D)、3-n 变式 7.已知数列的通项公式是 an=2n-47,那么当 Sn 取最小值时,n=_____

练习 1.数列 ?an ? 是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负。 (1)求数列公差; (2)求前 n 项和 s n 的最大值; (3)当 sn ? 0 时,求 n 的最大值。

练习 2.在等差数列{an}中,Sm=Sn,则 Sm+n 的值为 (A)0 (B)Sm+Sn (C)2(Sm+Sn)





1 (D) ( S m ? S n ) 2
( )

练习 3.在等差数列{an}中,Sp=q,Sq=q,Sp+q 的值为 2 2 2 2 (A)p+q (B)-(p+q) (C)p -q (D)p +q

4.等差数列解答题综合运用
【例 1】 等差数列前 10 项的和为 140, 其中, 项数为奇数的各项的和为 125, 求其第 6 项. 解 依题意,得

10(10 ? 1) ? d = 140 ?10a1+ 2 ? ? ?a1+a 3 +a 5 +a 7 +a 9 = 5a1+20d = 125
解得 a1=113,d=-22.

∴ 其通项公式为 an=113+(n-1)·(-22)=-22n+135 ∴a6=-22×6+135=3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素 a1、d,再求其他的.这种先求

出基本元素,再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法.在本课中 如果注意到 a6=a1+5d,也可以不必求出 an 而

?2a 1 + 9d = 28 直接去求a 6 ,所列方程组化简后可得 ? 相减即得a 1 +5d = 3, ?a 1 + 4d = 25
即 a6=3.可见,在做题的时候,要注意运算的合理性.当然要做到这一点, 必须以对知识的熟练掌握为前提. 【例 2】 在两个等差数列 2,5,8,?,197 与 2,7,12,?,197 中, 求它们相同项的和. 解 由已知,第一个数列的通项为 an=3n-1;第二个数列的通项为 bN=5N -3 若 am=bN,则有 3n-1=5N-3

即 n=N+

2( N ? 1) 3

若满足 n 为正整数,必须有 N=3k+1(k 为非负整数). 又 2≤5N-3≤197,即 1≤N≤40,所以 N=1,4,7,?,40 n=1,6,11,?,66 ∴ 两数列相同项的和为 2+17+32+?+197=1393 【例 3】 选择题:实数 a,b,5a,7,3b,?,c 组成等差数列,且 a+b+ 5a+7+3b+?+c=2500,则 a,b,c 的值分别为 [ ] A.1,3,5 B.1,3,7 C.1,3,99 D.1,3,9

解 C由题设2b = a+5a ? b = 3a
又∵ 14=5a+3b, ∴ a=1,b=3 ∴首项为 1,公差为 2

n( n ? 1) d 2 n( n ? 1) ∴ 2500 = n+ ·2 ∴n=50 2 又S n = na 1 +

∴a50=c=1+(50-1)·2=99 ∴ a=1,b=3,c=99 【例 4】 在 1 和 2 之间插入 2n 个数,组成首项为 1、末项为 2 的等差数列, 若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为 9∶13,求插入的数的个数. 解 依题意 2=1+(2n+2-1)d ①

( n ? 1) n d 2 ( n ? 1) n 后半部分的和S′ ·( -d) n+1 = (n+1) ·2 + 2 前半部分的和S n+1 =(n+1) +
nd ) S 2 ? 9 由已知,有 n ?1 ? nd S′ 13 n ?1 ( n ? 1)(2 ? ) 2 nd 1? 9 2 化简,得 ? nd 13 2? 2 5 解之,得 nd = ④ 11 ( n ? 1)(1 ?
由①,有(2n+1)d=1 ⑤

② ③

由④,⑤,解得d =
∴ 共插入 10 个数.

1 ,n = 5 11

【例 5】 在等差数列{an}中,设前 m 项和为 Sm,前 n 项和为 Sn,且 Sm= Sn,m≠n,求 Sm+n.

1 解 ∵S m+n =(m+n)a 1 + (m+n)(m+n-1)d 2 1 =(m+n)[a 1 + (m+n-1)d] 2
且 Sm=Sn,m≠n

1 1 ∴ma 1 + m(m-1)d=na 1 + n(n-1)d 2 2 d 整理得(m-n)a 1 + (m-n)(m+n-1) = 0 2

1 即(m-n)[a 1+ (m+n-1)d] = 0 2 1 由m≠n,知a 1+ (m+n-1)d=0 2
∴Sm+n=0 【例 6】 Tn. 已知等差数列{an}中,S3=21,S6=64,求数列{|an|}的前 n 项和

分析 等差数列前n项和S n = na 1 +

n( n ? 1) d,含有两个未知数a 1 , 2

d,已知 S3 和 S6 的值,解方程组可得 a1 与 d,再对数列的前若干项的正负性 进行判断,则可求出 Tn 来.

解 设公差为d,由公式S n =na 1 + ?3a 1 +3d = 21 得? ?ba 1 +15d = 24
解方程组得:d=-2,a1=9 ∴an=9+(n-1)(n-2)=-2n+11

n( n ? 1) d 2

由a n =- 2n+11> 0 得n<

11 = 5.5,故数列{a n }的前5项为正, 2

其余各项为负.数列{an}的前 n 项和为:

S n = 9n+

n( n ? 1) ( - 2) = -n 2 +10n 2

∴当 n≤5 时,Tn=-n2+10n 当 n>6 时,Tn=S5+|Sn-S5|=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn ∴Tn=2(-25+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50
2 ? ?Tn = -n +10n 即? 2 ? ?n -10n+50

n≤5 n> 6

n∈N *

说明

根据数列{an}中项的符号,运用分类讨论思想可求{|an|}的前 n 项和.

【例 7】 在等差数列{an}中,已知 a6+a9+a12+a15=34,求前 20 项之和.

解法一

由 a6+a9+a12+a15=34

得 4a1+38d=34

又S 20 = 20a 1 +
=20a1+190d

20×19 d 2

=5(4a1+38d)=5×34=170

解法二 S 20 =

(a 1 + a 20 ) ×20 = 10(a 1 +a 20 ) 2

由等差数列的性质可得: a6+a15=a9+a12=a1+a20 S20=170 【例 8】 已知等差数列{an}的公差是正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4, ∴a1+a20=17

求它的前 20 项的和 S20 的值. 解法一 设等差数列{an}的公差为 d,则 d>0,由已知可得

?(a 1 + 2d)(a 1 +bd) =-12 ? ?a 1 + 3d+a 1 +5d = - 4

① ②

由②,有 a1=-2-4d,代入①,有 d2=4 再由 d>0,得 d=2 ∴a1=-10 最后由等差数列的前 n 项和公式,可求得 S20=180 解法二 由等差数列的性质可得:

a4+a6=a3+a7 即 a3+a7=-4 又 a3·a7=-12,由韦达定理可知: a3,a7 是方程 x2+4x-12=0 的二根 解方程可得 x1=-6,x2=2 ∵ d>0 ∴{an}是递增数列

∴a3=-6,a7=2

d=

a7 ? a3 = 2 ,a 1 =-10,S 20 =180 7?3
等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若

【例 9】

Sn a 2n ? ,则 100 等于 Tn 3n ? 1 b100
[ ]

A.1 C. 199 299
分析 该题是将

B.

2 3 200 D. 301

a 100 Sn 2n 与 ? 发生联系,可用等差数列的前n项 b 100 Tn 3n ? 1 n(a 1 + a n ) 和公式S n = 把前n项和的值与项的值进行联系. 2 n( a 1 ? a n ) n( b1 ? b n ) ,Tn ? 2 2 S a ? an a ? an 2n ∴ n ? 1 ∴ 1 ? Tn b1 ? b n b1 ? b n 3n ? 1 解法一 ∵S n ?
∵2a100=a1+a199,2b100=b1+b199



a 100 a 1 ? a 199 2×199 199 = = = 选C. b100 b1 ? b199 3×199 +1 299
利用数列{an}为等差数列的充要条件:Sn=an2+

解法二 bn



Sn 2n ? Tn 3n ? 1

可设 Sn=2n2k,Tn=n(3n+1)k

a n S n ? S n ?1 2 n 2 k ? 2( n ? 1) 2 k ∴ ? ? b n Tn ? Tn ?1 n(3n ? 1) k ? ( n ? 1)[3( n ? 1) ? 1]k 4n ? 2 2n ? 1 ? 6n ? 2 3n ? 1 2 ×100 ? 1 199 ? ? 3×100 ? 1 299 ?



a 100 b 100

说明

该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件 Sn=an2+bn,由

已知

Sn 2n ? ,将S n 和Tn 写成什么?若写成S n = 2nk,Tn = (3n+1)k, Tn 3n ? 1

k 是常数,就不对了. 【例 10】 解答下列各题: (1)已知:等差数列{an}中 a2=3,a6=-17,求 a9; (2)在 19 与 89 中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数 列各项之和为 1350,求这几个数; (3)已知:等差数列{an}中,a4+a6+a15+a17=50,求 S20; (4)已知:等差数列{an}中,an=33-3n,求 Sn 的最大值. 分析与解答

(1)a 6 = a 2 + (6- 2)d d=

? 17 ? 3 = -5 4

a9=a6+(9-6)d=-17+3×(-5)=-32 (2)a1=19,an+2=89,Sn+2=1350

(a1 + a n+2 )(n + 2) 2 2 ×1350 ∴n+ 2 = = 25 n = 23 19 + 89 35 a n+2 = a 25 = a 1+ 24d d = 12 ∵S n+2 =
故这几个数为首项是 21
(3)∵a4+a6+a15+a17=50 又因它们的下标有 4+17=6+15=21 ∴a4+a17=a6+a15=25

11 1 35 ,末项是86 ,公差为 的 23个数. 12 12 12

S 20 =

(a 1 + a 20 ) ×20 ? 10×(a 4 ? a 17 ) ? 250 2

(4)∵an=33-3n ∴a1=30

Sn =

(a 1 + a n ) ·n (63 ? 3n) n 3 63 ? ? ? n2 ? n 2 2 2 2 2 3 21 3× 21 ? ? (n ? ) 2 ? 2 2 8

∵n∈N,∴当 n=10 或 n=11 时,Sn 取最大值 165. 【例 11】 求证:前 n 项和为 4n2+3n 的数列是等差数列.

证 设这个数列的第 n 项为 an,前 n 项和为 Sn. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 ∴an=(4n2+3n)-[4(n-1)2+3(n-1)] =8n-1 当 n=1 时,a1=S1=4+3=7 由以上两种情况可知,对所有的自然数 n,都有 an=8n-1 又 an+1-an=[8(n+1)-1]-(8n-1)=8 ∴这个数列是首项为 7,公差为 8 的等差数列. 说明 这里使用了“an=Sn-Sn-1”这一关系.使用这一关系时,要注意,它

只在 n≥2 时成立.因为当 n=1 时,Sn-1=S0,而 S0 是没有定义的.所以,解题时, 要像上边解答一样,补上 n=1 时的情况. 【例 12】 证明:数列{an}的前 n 项之和 Sn=an2+bn(a、b 为常数)是这个数 列成为等差数列的充分必要条件.

证 ?
由 Sn=an2+bn,得 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =an2+bn-a(n-1)2-b(n-1)

=2na+b-a a1=S1=a+b ∴对于任何 n∈N,an=2na+b-a 且 an-an-1=2na+(b-a)-2(n-1)a-b+a =2a(常数) ∴{an}是等差数列.

?
若{an}是等差数列,则

S n =na 1 +

n( n ? 1) d 2 (1 ? n) ·n = d· +n(a 1 -d) 2 d d = n 2 ? n( a 1 ? ) 2 2
d d = a,则a 1 - = b,即 2 2

若令

Sn=an2+bn 综上所述,Sn=an2+bn 是{an}成等差数列的充要条件. 说明 由本题的结果,进而可以得到下面的结论:前 n 项和为 Sn=an2+bn+c

的数列是等差数列的充分必要条件是 c=0.事实上,设数列为{un},则:

充分性 c = 0 ? S n =an 2 +b n ? {u n }是等差数列. 必要性 {u n }是等差数列 ? S n =an 2 +bn ? c=0.
【例 13】 等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n(m>n),求前 m+n 项和 Sm+n. 解法一 设{an}的公差 d

按题意,则有

n( n ? 1) ? S = na + d=m ① n 1 ? ? 2 ? ?S =ma + m( m ? 1) d=n ② 1 ? 2 ? m ( m ? n)( m ? n ? 1) ①-②,得(m-n) ·a 1 + ·d = n-m 2

即a 1 + ∴S m? n

m ? n ?1 d = -1 2 ( m ? n)( m ? n ? 1) ? ( m ? n) a 1 ? ·d 2 m ? n ?1 ? ( m ? n)(a 1 ? ·d ) 2

=-(m+n) 解法二 设 Sx=Ax2+Bx(x∈N)
2 ? ?Am +Bm=n ? 2 ? ?An +Bn=m

① ②

①-②,得 A(m2-n2)+B(m-n)=n-m ∵m≠n ∴ A(m+n)+B=-1

故 A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n) 即 Sm+n=-(m+n) 说明 a1,d 是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素,再

解决其它问题,但本题关键在于求出了a 1 +
差数列,由例 22,故可设 Sx=Ax2+Bx.(x∈N)

m ? n ?1 d=-1,这种设而不 2

解的“整体化”思想,在解有关数列题目中值得借鉴.解法二中,由于是等

【例 14】 在项数为 2n 的等差数列中,各奇数项之和为 75,各偶数项之和 为 90,末项与首项之差为 27,则 n 之值是多少? 解 ∵S 偶项-S 奇项=nd ∴nd=90-75=15 又由 a2n-a1=27,即(2n-1)d=27

?nd=15 ? ? (2n-1)d= 27

∴n = 5

【例 15】 在等差数列{an}中,已知 a1=25,S9=S17,问数列前多少项和 最大,并求出最大值. 解法一 建立 Sn 关于 n 的函数,运用函数思想,求最大值.

根据题意:S17 = 17a 1 +

17 ×16 9 ×8 d,S 9 = 9a 1 + d 2 2

∵a1=25,S17=S9 解得 d=-2

∴S n = 25n+

n( n ? 1) ( - 2) = -n 2 + 26n = - (n-13) 2 +169 2

∴当 n=13 时,Sn 最大,最大值 S13=169 解法二 因为 a1=25>0,d=-2<0,所以数列{an}是递减等

?a n ≥ 0 差数列,若使前n项和最大,只需解 ? ,可解出n. ?a n+1 ≤ 0
∵a1=25,S9=S17

∴ 9 × 25+

9 ×8 17 ×16 d = 17 × 25+ d,解得d = - 2 2 2

∴an=25+(n-1)(-2)=-2n+27

?- 2n+ 27 ≥ 0 ?n≤13.5 ∴? ?? ∴n = 13 ?- 2(n+1) + 27 ≥ 0 ?n≥12.5
即前 13 项和最大,由等差数列的前 n 项和公式可求得 S13=169. 解法三 利用 S9=S17 寻找相邻项的关系.

由题意 S9=S17 得 a10+a11+a12+?+a17=0 而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14 ∴a13+a14=0,a13=-a14 ∴S13=169 最大. 解法四 根据等差数列前 n 项和的函数图像,确定取最大值时的 n. ∴a13≥0,a14≤0

∵{an}是等差数列

∴可设 Sn=An2+Bn 二次函数 y=Ax2+Bx 的图像过原点,如图 3.2-1 所示

∵S9=S17,

∴ 对称轴x =

9 + 17 = 13 2

∴取 n=13 时,S13=169 最大

5.


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