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第一轮总复习课件(理数):第14讲 函数模型及其应用新课标高中数学


新课标高中一轮总复习

理数

? 第二单元 ?函 数

第14讲
函数模型及其应用

了解指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等函数模型的意义, 并能建立简单的数学模型,利用这 些知识解决应用问题.

1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单 位:元 ) 由 f(m)=1.06×(0.50×[ m ] +1) 给 出,其中 m>0, [ m ]是大于或等于 m 的最 小整数 ( 如[ 4 ] =4, [ 2.7 ] =3, [ 3.8 ] =4). 若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟 的电话费为( C ) 由题设知 × (0.50×[5.5]+1) A.3.71 元 ,f(5.5)=1.06 B.3.97 元 =1,06 ×(0.5 ×6+1)=4.24. 故选 C. C.4.24 元 D.4.77 元

2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了 如下一组数据:
x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01

现准备用下列四个函数中的一个近似地表 示这些数据的规律,其中最接近的一个是( B ) A.y=2x-2 C.y=log2x
1 2 B.y= (x -1) 2 1 x D.y=( ) 2

将各组数据代入验证,选B.

3.某电信公司推出两种手机收费方式: A种 方式是月租20元,B种方式是月租0元.一 个月的本地网内打出电话时间(分钟) 与打出电话费s(元)的函数关系如图, 当打出电话150分钟时,这两种方式的电 话费相差( A ) A.10元 C.30元 B.20元 40 D. 元 3

两种话费相差为Δy, 根据几何关系可得Δy=Δy′, ?y? =12,Δy′=10, 20 所以Δy=10.

4.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车 投入客运,据市场分析,每辆客车营运 的总利润y万元与营运年数x (x∈N*)的关 系为 y=-x2+12x-25 ,则为使其营运年平均 C ) 利润最大,每辆客车营运年数为( A.2 B.4 C.5 D.6

y ? x 2 ? 12 x ? 25 平均利润 x = ≤12-10=2, x 25 当且仅当x= ,即x=5时,等号成立,故选C.
x

函数是描述客观世界变化规律的基本数 学模型,不同的变化规律需要用不同的函数 模型来描述.那么,面临一个实际问题,应当 如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?事实 上,要顺利地建立函数模型,首先要深刻理 解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数 和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型 必须要有清晰的认识 .一般而言,有以下 8种 函数模型:

k ①一次函数模型:f(x)= +b(k、b为常数,k≠0); x k

② 反 比 例 函 数 模 型 : f(x)= +b(k 、 b 为 常 x 数,k≠0); ③二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常 数,a≠0),二次函数模型是高中阶段应用最 为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为 常见的;

④指数型函数模型: f(x)=kax+b(k 、 a 、 b 为常 数,k≠0,a>0且a≠1);

⑤对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m、n、a 为常数,m≠0,a>0且a≠1);
⑥幂函数型模型: f(x)=axn+b(a 、 b 、 n 为常 数,a≠0,n≠0);
k ⑦“勾”函数模型:f(x)=x+ (k为常数,k>0), x

这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一 个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数 模型,

⑧分段函数模型:这个模型实则是以上两种 或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.

典例精讲
题型一 函数模型的选择 例1 扇形的周长为 c(c>0) ,当圆心角为多
少弧度时,扇形面积最大?

(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r>0, c 所以0<r< . 2 c c 1 1 面积S= lr= (c-2r)r=( -r)r(0<r< ), 2 2 2 2 c c2 当r= 4 时, Smax= ,
此时|α|= l =
r

所以当圆心角大小为2 rad时,扇形面积最
c2 大,为 . 16

c ? 2r r

16

=

4r ? 2r=2. r

(方法二)因为c=l+2r=αr+2r,所以r=
1 所以S= αr2=α·( 2 2
c 2 ) = a?2
c2 2(2 a ?

c a ? 2.

=

c 4 2(a ? ? 2) a

c2a 2(a ? 2) 2



4 ? 4) a

c2 = . 16

4 当且仅当α= ,即α=2时,等号成立.

?

所以当圆心角大小为2 rad时,扇形面积最
c2 大,为 16

.

点评 (1) 虽然问“ α 为多少时”,但若
以α为自变量,运算较大且需用到均值不 等式等技巧,而方法一以半径为自变量, 是一个简单的二次函数模型.同样,若以 弧长l为自变量,也是一个二次函数模型. 所以在构造函数过程中,要合理选择自 变量.

(2)一般的,当线绕点旋转时,常 以旋转角为变量.

(3)合理选择是画图象还是分离参 数解决不等式组成立问题 .当图易于作 出时,常用图象解决;当易分离参数 且所得函数的最值易于求解时,可用 分离参数法.

题型二 已知函数模型求参数值
例2 如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2
中,已知开始时木桶1中有a升水,木桶2是 空的,t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰 减曲线y1=ae-mt(其中m是常数,e是自然对 数的底数).假设在经过5分钟时,木桶1和 木桶2的水恰 好相等,求:

(1)木桶2中的水y2与时间t的函数关系;

a (2)经过多少分钟,木桶1中的水是 升? 8

(1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的,而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt, 所以y2=a-ae-mt. (2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m, 解得2e-5m=1?
1

? 8 8 根据题设条件建立方程求解 . a 所以经过15分钟木桶1的水是 .
? In2 t 5

a已知函数模型求参数值,关键是 点评 当y = 时,有 =ae ?t=15(分钟). 8

1 In2 ? ? m=5 ln2.所以y1=ae 5 t . a

题型三 给出函数模型的应用题 例3 经市场调查,某城市的一种小商品在过
去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为 时间 t( 天 ) 的函数 , 且销售量近似满足 g(t)=802t(件),价格近似满足f(t)=20- 1 |t-10|(元). (1) 试 写 出 该 种 商 品 的 日 销 售 额 y 与 时 间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
2

1 (1)y=g(t)· f(t)=(80-2t)· (20- |t-10|) 2 =(40-t)(40-|t-10|)= (30+t)(40-t)(0≤t<10)
(40-t)(50-t)(10≤t≤20). (2)当0≤t<10时,y的取值范围是[1200,1225]. 在t=5时,y取得最大值为1225; 当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1200],

在t=20时,y取得最小值为600.
答:第5天,日销售额y取得最大值为1225元, 第20天,y取得最小值600元.

备选题
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对 用一定量的水清洗一次的效果作如下假定: 用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量 1 的 ,用水越多,洗掉的农药量也越多,但总还 2 有农药残留在蔬菜上 . 设用 x 单位量的水清 洗一次以后,蔬菜上残留的农药量与本次 清洗前残留的农药量之比为函数f(x).

(1)试规定f(0)的值,并解释其实际意义; (2)试根据假定写出函数 f(x)应满足的条件 和具有的性质;

(3)设f(x)= ,现有a(a>0)单位量的水,可 以清洗一次,也可以把水平均分成 2 份 后清洗两次,试问用哪种方案清洗后蔬 菜上残留的农药量比较少?说明理由.

1 1 ? x2

分析

题目中的假定是对 f(x) 的性质的描述, 而确定用哪种方案时,只需比较两种方案 的清洗效果.

(1)f(0)=1, 表示没有用水清洗时,蔬 菜上残留的农药量保持不变. (2)函数f(x)应满足的条件和具有的性质是: 1 f(0)=1,f(1)= , 2 在[0,+∞)上是减函数,且0<f(x)≤1.
(3) 设仅清洗一次 , 蔬菜上残留的农药量为 f1, 清洗两次后,蔬菜上残留的农药量为f2,则
1 f1= 2 1? a
1 1 ,f2= a 2 × 1 ? ( a )2 1? ( ) 2 2 1 =[ 1 ? ( a )2 ]2 2

1 1 a 2]2 因为f1-f2= 1 ? a 2 -[ 1? ( ) 2 1 16 = 2 2 2 (4 ? a ) 1? a

=

a 2 (a ? 2 2)(a ? 2 2) (1 ? a 2 )(4 ? a 2 ) 2

,

所以,当0<a<2 2 时,f1<f2,即清洗一次蔬菜 上残留的农药量较小; 当a= 2 2 时,f1=f2,即两种清洗方法的效果一样; 当a> 2 2 时,f1>f2,即清洗两次蔬菜上残留的农 药量较少.

点评 阅读题目、理解题意是解决应用
题的前提.本题的关键是对f(x)的假定的 理解 . 选择数学模型和方法解决实际应 用问题是核心步骤,因此解应用题时 要根据题目中的数量关系,选择适当 的数学模型和方法加以解决.

方法提炼
1. 理解题意,找出数量关系是 解应用题的前提,因此解题时应认 真阅读题目,深刻理解题意. 2. 建立数学模型,确定解决方 法是解应用题的关键,因此解题时 要认真梳理题目中的数量关系,选 择适当的方法加以解决.

3.函数的应用问题通常是以下几种 类型:可行性问题、最优解问题(即最大 值或最小值问题,如费用最小,效益最 大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用 函数的性质和数学方法. 4.应用题中的函数由于它具有实际 意义,因此函数中的变量除要求使函数 本身有意义外,还要符合其实际意义.

走进高考
浙江卷 ) 如图 , 在长方形 ABCD 学例1(2009·

中 ,AB=2,BC=1,E 为 DC 的 中 点 ,F 为 线 段 EC( 端点除外 ) 上一动点 . 现将△ AFD 沿 AF 折起 , 使平面 ABD⊥ 平面 ABC. 在平面 ABD 内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的 取值范围是( 1 ,1 ). 2

如图,过 K 作 KM⊥AF 于 M 点,连 接DM,易得DM⊥AF,与折前的图形相 比,可知在折前的图中, D、 M、 K三点 共线,且 DK⊥AF ,于是在折前的图中 △DAK∽△FDA,

AK 所以 AD

1 又DF∈(1,2),所以t∈( ,1). 2

1 AD =? ? t= DF . DF

江苏卷 ) 按照某学者的理论,假 学例2 (2009·
设一个人生产某产品的单件成本为 a元,如

果他卖出该产品的单价为m元,则他的满意
m 度为 m?a

n 则他的满意度为 .如果一个人对两种交易 n?a

;如果他买进该产品的单价为n元,

(卖出或买进 )的满意度分别为 h1和h2,则他

对这两种交易的综合满意度为

.2 h1h

现假设甲生产A、B两种产品的单件成

本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A 、 B 两 种 产品的单件成本分别为3元和20元,设产 品 A 、 B 的单价分别为 mA 元和 mB 元,甲 买进A与卖出B的综合满意度为h甲,乙卖 出A与买进B的综合满意度为h乙. (1) 求 h 甲 和 h 乙 关于 mA 、 mB 的表达式;当 mA= 3 mB时,求证:h甲=h乙; 5 3 (2)设mA= mB,当mA、mB分别为多少时, 5 甲、乙两人的综合满意度均最大?最大 的综合满意度为多少?

(3)记(2)中最大的综合满意度为h0,试问能否 适当选取mA、mB的值,使得h甲≥h0和h乙 ≥h0同时成立,但等号不同时成立?试说明 理由. (1)证明:h甲=
mA mB ? h乙= mA ? 3 mB ? 20
mA mB ? mA ? 12 mB ? 5

,

(mA∈[3,12],mB∈[5,20]).
3 5

证明:当mA=
h甲=

mB时,
=
mB 2 ( mB ? 20)( mB ? 5)

3 mB mB 5 ? 3 mB ? 3 mB ? 5 5

,

h乙=

所以h甲=h乙.
3 5 (2)当mA=

3 mB mB 5 ? 3 mB ? 3 mB ? 20 5

=

mB 2 ( mB ? 5)( mB ? 20)

,

mB时,
2

1 20 5 (1 ? )(1 ? ) mB mB

h =

1 1 1 由mB∈[5 ,20 ],得 ∈[ , ]. mB 20 5 1 1 故当m = ,即mB=20,mA=12时,甲、乙两 B 20

mB 甲 ( mB ? 20)( mB ? 5)

=

=

1 100( 1 2 1 ) ? 25 ?1 mB mB

,

人的综合满意度最大,为 10 .
5

(3)由(2)知h0= 由h甲=

10 . 5 10 ,得 5

3 1 5 令m =x, =y,则x、y∈[ 4 mB A

mA mB ? ≥ h = 0 mA ? 12 mB ? 5

,1],即(1+4x)(1+y)≤ 5.
5 . 2 2

mA mB · mB ? 5 ≤ m A ? 12

5 . 2

同理,由h乙≥h0=

另一方面,由于x、y∈[ ,1],1+4x、 4 1+4y∈[2,5],1+x、1+y∈[ 5 ,2],
4 5 5 则(1+4x)(1+y)≥ ,(1+x)(1+4y)≥ , 2 2 1

10 ,得(1+x)(1+4y)≤ 5 1

当且仅当x=y= 4 ,即mA=mB时,取等号. 所以不能适当选取mA、mB的值,使得h甲≥h0和h 乙≥h0同时成立,但等号不同时成立.

本节完,谢谢聆听


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