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2017届广东省惠州市高三第一次调研考试数学理试题(含解析)


惠州市 2017 届高三第一次调研考试



学(理科)

注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自 己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知 A ? {1, 2, 4,8,16} , B ? { y | y ? log2 x, x ? A} ,则 A ? B ? ( A. {1, 2} B. {2, 4,8} C. {1, 2, 4} D. {1, 2, 4,8} ) )

2.若复数 z 满足 z (1 ? i) ?| 1 ? i | ?i ,则 z 的实部为(

A.

2 ?1 2

B. 2 ? 1

C.1

D.

2 ?1 2


x?2 ? ? x ? 2? ?3 3.函数 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? 1 ,则 a 的值是( 2 ? ?log 3 ( x ? 1) ? x ? 2 ?

A.2 4.将函数 y ?

B.1

C.1 或 2

D.1 或﹣2

? 2 (sin x ? cos x) 图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单 2 2
) C. y ? ? sin(2 x ?

位,所得函数图象的解析式是( A. y ? cos

x 2

B. y ? sin( ?

x 2

3? ) 4

?
4

)

D. y ? sin(2 x ?

3? ) 4

5.已知圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? a 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦长为 6,则实数 a 的值为(
2 2



A.8

B.11

C.14

D.17

6.执行如图的程序框图,则输出 S 的值为( A.2 B. ? 3

开始



1 C. ? 2
a b

1 D. 3

k ? 1, S ? 2
1? S 1? S


7.设 a ? 0 , b ? 0 ,若 2 是 4 和 2 的等比中项,

S ?

2 1 则 ? 的最小值为( a b
A. 2 2 B.8

k =k ? 1

) C.9 D.10

k ? 2016?

输出

8.某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半 个圆弧,则该几何体的表面积为( A. 19 ? ? cm2 C. 10 ? 6 2 ? 4? cm2 )
2

S
2cm 2cm 正视图 2cm
1cm

结束

3cm 侧视图

B. 22 ? 4? cm

D. 13 ? 6 2 ? 4? cm2

9.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 1 10 2 26 4 35 5 49 俯视图

3cm

? 约等于 9,据 此模型预报广告费用为 6 万元时, ??x?a ? 的b 根据上表可得回归方程 ? y ?b
销售额约为( A.54 万元 ) 。 B.55 万元 C.56 万元 D.57 万元

10.已知三棱锥 S ? ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, AB ? 2 ,

SA ? SB ? SC ? 2 ,则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是(
A.



3 3

B.1

C. 3

D.

3 3 2

11.双曲线 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 实轴的两个顶点为 A, B ,点 P 为双曲线 M 上除 a 2 b2


A、B 外的一个动点,若 QA ? PA且QB ? PB ,则动点 Q 的运动轨迹为(
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

2 12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的且以 2 为周期的偶函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x .

如果函数 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? m) 有两个零点,则实数 m 的值为(



A. 2k (k ? Z )

B. 2 k 或 2 k ?

1 (k ? Z ) 4

C.0

D. 2k 或2k ?

1 (k ? Z ) 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答。 第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°,则 (a ? 2b) ? (a ? b) =________. 14.已知 ( x ?

?

?

?

?

?

?

? ?

a 5 ) 的展开式中含 x 2 的项的系数为 30,则 a ? ________. x

3

?y ? x ? 15.设 m ? 1 ,变量 x , y 在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值为 2 , ?x ? y ? 1 ?
则 m ? ________. 16.已知数列 {an },{bn } 满足 a1 ?

b 1 , an ? bn ? 1, bn?1 ? n 2 (n ? N * ) ,则 b2017 ? ______. 2 1 ? an

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 3cos( B ? C) ?1 ? 6cos B cos C . (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为 2 2 ,求 b, c 边长.

18. (本小题满分 12 分) 4 月 23 日是世界读书日,惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动。为了 解本校学生课外阅读情况, 学校随机抽取了 100 名学生对其课外阅读时间进行调查。 下面是 根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间 ( 单
0.030 位:分钟)的频率分布直方图,且将日均课外阅读 0.025 0.020 0.015 0.010 O 30 40 50 60 70 80

频率 组距

时间 / 分钟

时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”,低于 60 分钟的学生称为“非读书迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面 2×2 列联表,并据此判断是否有 99%的把握认为“读书迷” 与性别有关? 非读书迷 男 女 合计 (Ⅱ)将频率视为概率,现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取 1 人,共抽 取 3 次,记被抽取的 3 人中“读书迷”的人数为 X ,若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列、数学期望 E ( X ) 和方差 D( X ) . 读书迷 15 45 合计

附: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,n ? a ?b ?c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

P( K 2 ? k0 )

k0

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PC ? 底 面 ABC D, 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ,

AB ? AD , AB / /CD , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , E 是 PB 上的点.
(Ⅰ)求证:平面 EAC ⊥平面 PBC ; (Ⅱ)若 E 是 PB 的中点,且二面角 P ? AC ? E 的余弦值

P E A D
C

6 为 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3

B

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A(?1, 0) , B(1, 0) ,直线 AM 与直线 BM 相交于点 M ,直线 AM 与直线 BM 的斜率分别记为 k AM 与 k BM ,且 k AM ? kBM ? ?2 . (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过定点 F (0,1) 作直线 PQ 与曲线 C 交于 P, Q 两点, ?OPQ 的面积是否存在最 大值?若存在,求出 ?OPQ 面积的最大值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ( x ? 1) (a ? R) . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求证: ? x ? (1, 2) ,不等式

1 1 1 ? ? 恒成立. ln x x ? 1 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图, AB 是 ? O 的直径,弦 CD 与 AB 垂直,并与 AB 相交于点 E ,点 F 为弦 CD 上异于点 E 的任意一点,连接 BF 、 AF 并延长交 ? O 于点 M , N . (Ⅰ)求证: B, E , F , N 四点共圆; (Ⅱ)求证: AC ? BF ? BM ? AB .
2 2

C

A M

E O F D

B
N

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:极坐标和参数方程】 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的倾斜角为 ? 且经过点 P(?1, 0) .以原点 O 为极点,以 x

轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线 C 的极 坐标方程为 ? ? 6? cos? ? 5 ? 0 .
2

(Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 ? 的取值范围; (Ⅱ)设 M ( x, y) 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 设函数 f ( x) ?| ax ?1| . (Ⅰ)若 f ( x) ? 2 的解集为 [?6, 2] ,求实数 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 时,若存在 x ? R ,使得不等式 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 7 ? 3m 成立, 求实数 m 的取值范围.

惠州市 2017 届高三第一次调研考试


题号 答案 1 C 2 A

学(理科)参考答案与评分标准
3 A 4 A 5 B 6 A 7 C 8 C 9 D 10 A 11 C 12 D

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。

1.C 【 解 析 】 由 已 知 可 得 B ? {log2 1,log2 2,log2 4,log2 8,log2 16} ? {0,1, 2,3, 4} , 所 以

A ? B ? {1, 2, 4} ,所以选 C.
2. 【解析】 由 z(1 ? i) ?|1 ? i | ?i ? 2 ? i , 得z ?

2 ?i ( 2 1 ( )? i ) i?2 1 2 ? 1 ? ? ? 1? i 1 ( 1 ( )? i) ? i 2 2

?

i,

则 z 的实部为

2 ?1 ,故选 A. 2

考点:复数的代数运算 3. 【解析】若 a ? 2 ,则由 f (a) ? 1 得, 3a ?2 ? 1,∴ a ? 2 .此时不成立.

2 若 a ? 2 ,则由 f (a) ? 1 得, log3 (a ?1) ? 1 ,∴ a ? 2 ,故选 A.

考点:函数的零点;函数的值. 4. 【解析】将函数 y ?

2 ? (sin x ? cos x) ? sin( x ? ) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 4

2 倍,可得函数 y ? sin( x ?

1 ? ? ) 的图象;再向左平移 个单位,所得函数图象的解析式为 2 4 2 1 ? 1 y ? sin( x ? ) ? cos x ,故选:A. 2 2 2

考点:三角函数的图象变换.

2, 半径 5 .【 解 析 】 圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? a , 圆 心 ? ?2 , ?
d? ?2 ? 2 ? 2 2 ? 2 .再由弦长公式可得 a ? 2 ? 9 ? 11 ;故选 B.

a .故弦心距

考点:直线与圆的位置关系. 6. 【解析】 k ? 1, s ? ?3; k ? 2, s ? ? ; k ? 3, s ?

1 2

1 ; k ? 4, s ? 2, 以 4 作为一个周期,所以 3

k ? 2016, s ? 2 ,故选 A
7. 【解析】 因为 4a ? 2b ? 2 , 所以 2a ? b ? 1 , ?

2 a

1 ?2 1? ?b a? ? ? 2a ? b ? ? ? ? ? 5 ? 2 ? ? ? ? 9 b ?a b? ?a b?

当且仅当

b a 1 ? 即 a ? b ? 时“=”成立,故选 C 2 a b

考点:基本不等式;等比数列的性质. 8. 【解析】几何体是一个组合体,包括一个三棱柱和半个圆柱,三棱柱的是一个底面是腰为 2 的 等 腰 直 角 三 角 形 , 高 是 3 , 其 底 面 积 为 : 2? ? 2? 2 ? 4 , 侧 面 积 为 :

1 2

1 1,高是 3,其底面积为: 2 ? ? 1? ? ? ? , 3 ? 2 2? 3? 2? 6 2 ?;圆柱的底面半径是 6 2
侧面积为: 3 ? ? ? 3? ; ∴组合体的表面积是 π+6 2 +4+6+3π=4π+10+6 2 故选 C. 9. 【解析】? x ?

1? 2 ? 4 ? 5 10 ? 26 ? 35 ? 49 ? 3, y ? ? 30 ,中心点为 ? 3,30? , 4 4

? ?a ? ? 3? ? 代入回归方程得 30 ? 27 ? a y ? 9x ? 3? x ? 6 时 ? y ? 57
考点:回归方程 10 . 【 解 析 】 因 为 三 棱 锥 S ? ABC 的 底 面 是 以 AB 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ,

SA ? SB ? SC ? 2 , ? S 在面 ABC 内的射影为 AB 中点 H ,? SH ? 平面 ABC ,? SH 上任意一点到 A, B, C
的距离相等.

? SH ? 3 , CH ? 1,在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO ,则 O 为 S ? ABC 的外接球
球心.

? SC ? 2 ,? SM ? 1 , ?OSM ? 30? ,? SO ?
距离,故选 A. 考点:球内接多面体;点到面的距离的计算. 11.【解析】设 P(m, n), Q( x, y ), 双曲线M:

2 3 3 ,即为 O 到平面 ABC 的 , OH ? 3 3

x2 y 2 ? ? 1 ,实轴的两个顶点 A(?a,0), B(a,0) a 2 b2

QA ? (? x ? a, ? y), PA ? (?m ? a, ?n) ∵ QA ⊥ PA , ∴ ? ?x ? a ?? ?m ? a ? ? ny ? 0 , 可 得
m?a ? ? ny , x?a
ny n2 y 2 两式相乘可得 m 2 ? a 2 ? 2 x?a x ? a2

同理根据 QB⊥PB,可得 m ? a ? ?

∵点 P(m, n) 为双曲线 M 上除 A、B 外的一个动点,?

m2 n2 ? ? 1, a 2 b2

b2 2 整理得 n ? 2 (m ? a 2 ) a
2

x 2 b 2y 2 ? 2 ? 1 故选:C. a2 a
2

12. 【解析】设 ?1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 , f ( ? x) ? ? ? x ? ? x 2 ? f ( x ) , 综上, f ( x) ? x2 , x ?? ?1,1? , f ( x) ? ? x ? 2k ? , x ?? 2k ?1, 2k ? 1? ,
2

由于直线 y ? x ? a 的斜率为 1,在 y 轴上的截距等于 a ,在一个周期 ??1,1? 上,a ? 0 时 满

1 时,在此周期上直线和曲线相切,并和曲线在下一个区间上图象有一个交 4 1 点, 也满足条件. 由于 f ( x ) 的周期为 2, 故在定义域内, 满足条件的 a 应是 2k ? 0或2k ? , 4
足条件, a ? ? k∈Z.故选 D. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

2017 2018 ? ? ?2 ?2 ? ? 13 .【 解 析 】 ? a ? 4, b ? 2 , 且 a 与 b 夹 角 为 120? , ? a ? 16, b ? 4 ,
13. 12 14. ?6 15. 1 ? 2 16.

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? cos120?

? ? ? ?2 ? ? ? ? ?? ? 1? ? 4 ? 2 ? ? ? ? ? ?4 , a ? 2b ? a ? b ? a 2 ? a ? b ? 2b ? 12 ,故答案为 12 . ? 2?

?

??

?

考点:1、平面向量模与夹角;2、平面向量的数量积. 14. 【 解 析 】 Tr ?1 ? C ( x )
r 5 5? r

1.6 1.4 1.2 1

a r 5 3 (? ) , ? r ? ,? r ? 1 , 2 2 x

z=x+my

0.8 0.6 y 0.4 0.2

y=mx B y=x A

C (?a) ? 30, a ? ?6
1 5

z ? x ? my 经过点 B 时, 15. 【解析】作出可行域如图所示,当直线 3 2.5 2 1.5 1

0.5

O
0.2 0.4 0.6

0.5

1

1.5

2

z 有最大值,此时点 B 的坐标为 (

1 m , ), m ?1 m ?1

x+y=1

1 m 0.8 z? ? m? ? 2 ,解之得 m ? 1 ? 2 或 m ? 1 ? 2 (舍去) ,所以 m ? 1 ? 2 . 1 m ?1 m ?1
考点:线性规划. 16 . 【解析】∵ an ? bn ? 1 , a1 ?
1.2 1.4

x

bn 1 1 1 b ? ,∴ b1 ? ,∵ bn ?1 ? ,∴ 2 ,∴ n ?1 1 ? an 2 ? bn 2 2

1 1 ? 1 ? 1 ? ?1 ,又∵ b1 ? ,∴ ? ?2 .∴数列 ? ? 是以﹣2 为首项,﹣1 b1 ? 1 bn?1 ? 1 bn ? 1 2 ? bn ? 1? 1 ?
为公差的等差数列, ∴

1 n 2017 2017 ? ?n ? 1 ,∴ bn ? .则 b2017 ? .故答案为: . bn ? 1 n ?1 2018 2018

考点:数列递推式. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)由 3cos( B ? C) ?1 ? 6cos Bcos C , 得 3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? ?1 ,...............2 分 即 cos( B ? C ) ? ? ,

1 3

.......................................3 分

在 ?ABC 内, cos A ? ? cos( B ? C ) ? (Ⅱ)∵ 0 ? A ? ? , cos A ? 由 S?ABC ? 2 2 ,得

1 ......................................5 分 3

1 2 2 ,∴ sin A ? , 3 3

1 bc sin A ? 2 2 ,即 bc ? 6 ..........................6 分 2

由余弦定理,得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,.............................7 分 ∴ 9 ? (b ? c)2 ? 2bc(1 ? cos A) ? (b ? c)2 ?16 , ∴ b ? c ? 5 ..................................................................9 分 由?

?b ? c ? 5 ?b ? 2 ?b ? 3 ,得 ? 或? .............................................12 分 ? bc ? 6 ? c ? 3 ?c ? 2

考点:1、三角恒等变换;2 余弦定理、 ;3、正弦定理的应用. 18. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)2×2 列联表如下: 非读书迷 男 女 合计 易知 K 2 的观测值 k ? 40 20 60 读书迷 15 25 40 合计 55 45 100

100 ? (40 ? 25 ? 15 ? 20)2 ? 8.249 ....................4 分 60 ? 40 ? 55 ? 45

因为 8.249>6.635,所以有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关...............5 分 (Ⅱ)由频率分布直方图可知从该校学生中任意抽取 1 名学生恰为 “ 读书迷 ” 的概率为

2 ,..............6 分 5
由题意可知 X ? B (3, ) , X 的所有可能取值为 0,1,2,3,......................7 分

2 5

3 27 P ( X ? 0) ? C30 ( )3 ? , 5 125 2 3 36 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ? , 5 5 125
X 的分布列为 X
0 1

54 1 2 3 2 P ( X ? 1) ? C3 ( )( ) ? , 5 5 125 8 3 2 3 P( X ? 3) ? C3 ( ) ? ...........9 分 5 125

2

3

P

27 125

54 125

36 125

8 125

..................................................................10 分

2 6 ? ................................................11 分 5 5 2 2 18 D( X ) ? 3 ? ? (1 ? ) ? ......................................12 分 5 5 25 E( X ) ? 3?
19. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)证明:? PC ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD,? AC ? PC ,.......................1 分

AB ? 2 , AD ? CD ? 1 ,? AC ? BC ? 2
? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,? AC ? BC ...........................................2 分
又 BC ? PC ? C , PC ? 面 PBC , BC ? 面 PBC ...................3 分

? AC ? 平面 PBC ,.................................................................4 分
∵ AC ? 平面 EAC ,? 平面 EAC ? 平面 PBC ...........................5 分

(Ⅱ)以 C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则 C(0,0,0) , A (1,1,0) , B (1,-1,0)

z
P E A

1 1 a 设 P (0,0, a ) (a ? 0) ,则 E ( , ? , ) , 2 2 2 1 1 a CA ? (1,1,0) , CP ? (0,0, a) , CE ? ( ,? , ) ,.......6 分 2 2 2
取 m =(1,-1,0) 则 m ? CP ? m ? CA ? 0 ,? m 为面 PAC 的法向量 设 n ? ( x, y, z ) 为面 EAC 的法向量,则 n ? CA ? n ? CE ? 0 , 即?

x
C

B

y D
??

? x ? y ? 0, ,取 x ? a , y ? ?a , z ? ?2 ,则 n ? (a,?a,?2) ,.............. 8 分 ? x ? y ? az ? 0

依题意, cos ? m, n ? ?

m?n mn

?

a a ?2
2

?

6 ,则 a ? 2 ...............9 分 3

于是 n ? (2,?2,?2) .........................................10 分

设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? PA, n ? ?

PA ? n PA n

?

2 , 3

即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 20. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)设 M ? x, y ? ,则 k MA ? 所以

2 ............................12 分 3

y y , k MB ? ? x ? ?1? , x ?1 x ?1

y y y2 ? ? ?2 所以 x 2 ? ? 1? x ? ?1? (未写出范围扣一分)............4 分 x ?1 x ?1 2

(Ⅱ)由已知当直线 PQ 的斜率存在,设直线 PQ 的方程是 y ? kx ? 1 ,........5 分

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 联立 ? ,消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? 2kx ? 1 ? 0 ,.....................6 分 2 ? y ? kx ? 1 ?
2 2 2 因为 ? ? 4k ? 4 k ? 2 ? 8 k ? 1 ? 0 ,所以 k ? R ,...............7 分

?

? ?

? ?

?

设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , x1 ? x2 ? ?

2k 1 , x1 x2 ? ? 2 k ?2 k ?2
2

......................8 分

1 1 S?OPQ ? ? OF ? x1 ? x2 ? 2 2

? x1 ? x2 ? ? 4x1 ? x2 ? 2 ?
2

k 2 ? 1 ........10 分 k2 ? 2

? 2?

1 k 2 ?1 ? 1 k 2 ?1

?

2 2 当且仅当 k ? 0 时取等号,

?OPQ 面积的最大值为 2 . 2

.......................................12 分

考点:1、求曲线的方程;2、椭圆的方程;3、利用基本不等式求最值. 21. (本小题满分 12 分)
/ 【解析】 (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ( x ) ?

x?a x2

....................3 分

①若 a ? 0, f / ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增 ...................4 分 ②若 a ? 0 ,当 x ? (0, a) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, a ) 单调递减. 当 x ? (a, ??) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x ) 在 (a, ??) 单调递增..................6 分

1 1 1 ? ? 等价于 ( x ? 1) ln x ? 2( x ?1) ? 0 ………………7 分 ln x x ? 1 2 ( x ? 1) 1 / ? 2 ? ln x ? ? 1 ………………9 分 令 F ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ,则 F ( x) ? ln x ? x x 1 由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时 f min ( x) ? f (1) ? 0 ,? f ( x) ? f (1) ,即 ln x ? ?1 ? 0 ................10 x
(Ⅱ)?1 ? x ? 2 ? 分 所以 F / ( x) ? 0 ,则 F ( x) 在 (1, 2) 上单调递增,所以 F ( x) ? F (1) ? 0 即 有1 ? x ? 2 时

1 1 1 ? ? ln x x ? 1 2

………………………………………………………12 分

考点:导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值、最值及分类讨论、转化与化归 的数学思想

22.(本小题满分 10 分) 【解析】证明 (Ⅰ)连接 BN ,则 AN ? BN ,……………2 分 又 CD ? AB, 则 ?BEF ? ?BNF ? 90? ,.......4 分 即 ?BEF ? ?BNF ? 180? ,则 B, E , F , N 四点共圆...............5 分 (Ⅱ)由直角三角形的射影定理可知 AC 2 ? AE ? AB, 相似可知: .................6 分

C

A M

E O F D

B
N

BF BE ? , BA BM

BF ?BM ? BA?BE ? BA? ( BA ? EA) ,

BF ? BM ? AB 2 ? AB ? AE .........................………………………8 分
? BF ? BM ? AB2 ? AC 2 ,即AC 2 ? BF ? BM ? AB2 .............................10 分

23.(本小题满分 10 分) 【解析】 (Ⅰ)将 C 的极坐标方程 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 化为直角坐标为

x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 ,.........1 分
直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t cos ? (t为参数) ………………...................2 分 ? y ? t sin ?

将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得 t 2 ? 8t cos ? ? 12 ? 0 .......………3 分 直线与曲线有公共点,?? ? 64cos2 ? ? 48 ? 0 得 cos ? ?

3 3 或 cos ? ? ? 2 2

? ? 5? ? ?? ? [0, ? ),?? 的取值范围为 [0, ] ? ? , ? ? .............……………………5 分 6 ? 6 ?
(Ⅱ)曲线C的方程 x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0化为( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 , 其参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2cos ? (? 为参数) ................………………………7 分 ? y ? 2sin ?

M ( x, y) 为曲线 C 上任意一点,

?? ? ? x ? y ? 3 ? 2cos ? ? 2sin ? ? 3 ? 2 2 sin ?? ? ? ..........9 分 4? ?
x ? y 的取值范围是 [3 ? 2 2,3 ? 2 2] ...........................………………………10 分

24.(本小题满分 10 分) 【解析】 (Ⅰ)显然 a ? 0 ,…………………………………………………………1 分

1 3 1 3 , ] , ? ? ?6, ? 2 ,无解;…………3 分 a a a a 1 3 1 1 3 当 a ? 0 时,解集为 [ , ? ] ,令 ? ? 2, ? ?6 , a ? ? , 2 a a a a 1 综上所述, a ? ? .……………………………………………………5 分 2
当 a ? 0 时,解集为 [ ? (Ⅱ)当 a ? 2 时,

1 ? ? 2 x ? 4, x ? ? ? 4 ? 1 3 ? 令 h( x) ? f (2x ?1) ? f ( x ?1) ? 4x ?1 ? 2x ? 3 ? ?6 x ? 2, ? ? x ? …………7 分 4 2 ? 3 ? ? 2 x ? 4, x ? 2 ?
由此可知, h( x) 在 (??, ? ) 单调减,在 ( ?

1 4

1 3 3 , ) 和 ( , ??) 单调增, 4 2 2

则当 x ? ?

1 7 时, h( x) 取到最小值 ? ,………………………………8 分 4 2

由题意知, ?

7? 7 ? ? 7 ? 3m ,则实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ……………10 分 2? 2 ?


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