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山东省德州市2015届高三下学期3月一模考试数学(文)试题含答案


数学(文科)试题
2015.3 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1-2 页,第Ⅱ卷 3-4 页,共 150 分,测试时间 120 分钟. 注意事项: 选择题为四选一题目,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷上.

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,把正确答案涂在答题卡上. 1.设复数 z 的共轭复数为 z ,若 (2 ? i ) z ? 3 ? i ,则 z ? z 的值为 A.1 B.2 C.

2

D.4

2.设全集 U ? ?x ? N | x ? 6? ,集合 A ? ?1,3? , B ? ?3,5? ,则 A.{2,4} C. B.

?2,4,6? ?0, 2, 4,6?

?0,2,4?

D.

3. “ ? p 为假命题”是“ p ? q 为真命题”的 A. 充分不必要条件 C.充要条件
0.5

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
e

4.若 a=2 ,b=ln2,c=0.5 , (e 是自然对数的底) ,则 A.a<b<c C.a>c>b B.b>a>c D.a>b>c

5.执行如图所示的程序框图,若输入数据 n ? 3, a1 ? 1, a2 ? 2,

a3 ? 3 ,则输出的结果为
A. 4 C.2 6.若函数 f ( x) ? a
2 x ?4

B.3 D.1

, g ( x) ? loga x (a ? 0且a ? 1) 且 f (2) ? g (2) ? 0 .

则函数 f ( x ) , g ( x) 在同一坐标系中的大致图象是

7.棱长为 2 的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图 所示,那么被截去的几何体的体积是

14 3 10 B. 3
A. C. 4 D. 3 8 .已知抛物线 y 2 ? 8x 与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的一个交点为 M,F 为抛物线的焦点,若 2 a

MF ? 5 ,则该双曲线的渐近线方程为
A.5x±3y=0 C.4x±5y=0 9. 已知 D 是不等式组 ?
2 2

B.3r±5y=0 D.5x±4y=0

?x ? 2 y ? 0 所确定的平面区域,则 ?x ? 3y ? 0

圆 x ? y ? 4 与 D 围成的区域面积为 A. c.

? 2

B.

?

3? 4 3? D. 2

10. 已 知 函 数

f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 其 导 函 数 为

f '( x) , 且 x<0 时 ,

2 f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒成立,则 f (1), 2014 f ( 2014), 2015 f ( 2015) 的大小关系为
A.

2015 f ( 2015) ? 2014 f ( 2014) ? f (1)

B. 2015 f ( 2015) ? f (1) ? 2014 f ( 2014) C. f (1) ? 2015 f ( 2015) ? 2014 f ( 2014) D.

f (1) ? 2014 f ( 2014) ? 2015 f ( 2015)

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.某校对全校 1600 名男女学生的视力状况进行调查, 现用分层抽样的方法抽取一个容量 是 200 的样本,已知女生比男生少抽 10 人,则该校的女生人数是__________人. 12.已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60? , c ? (1 ? t )a ? tb ,若 b ? c ? 0 ,则 t ? ________ 13.要制作一个容积为 9m , 高为 1m 的无盖长方体容器, 已知该容器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是________元. 14.将函数 f ( x) ? 2sin(? x?)(? ? 0) 的图象向右平移 图象,若 y ? g ( x) 在 ? 0, ? 上为增函数,则 ? 4?
3

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的 3?

? ??

? 的最大值为__________.

15.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 给出定义:设 f '( x) 是 f ( x ) 的导函 数,叫 f ( x ) 的一阶导数, f ''( x) 叫 f ( x ) 的二阶导数,若方程 f ''(x ) 有实数解 x0 ,则称 “拐点” , 有个同学经过研究发现任何一个三次函数都有 “拐 点” , ( x0 , f ( x0 )) 为函数 f ( x) 的 任何一个三次函数都有对称中心且 “拐点” 就是对称中心. 设 g ( x) ? 则 g(

1 3 1 5 x ? x 2 ? 3x ? , 3 2 12

1 2 2014 ) ? g( ) ? ? ? ? ? g( ) ? ______. 2015 2015 2015

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 CDEF 为 正方形,ABCD 为等腰梯形, AB / /CD, BD ? 2 3, AB ? 2 AD ? 4 ,

AE ? BD .
(I)求证:BD ? 平面 ADE; (Ⅱ)点 M 为 BD 的中点,证明:BF∥平面 ECM. 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别是 a,b,c,满足 2 AB ? AC ? a2 ? (b ? c)2 . (I)求角 A 的大小; (Ⅱ)求 sin A ? sin B ? sin C 的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小. 18.(本小题满分 12 分) 某商业区停车场临时停车按时段收费, 收费标准为: 每辆汽车一次停车不超过 1 小时收 费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙二 人在该商业区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (I)若甲停车不超过 1 小时的概率为

??? ? ??? ?

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求甲停车 1 小 4 12

时以上且不超过 2 小时的概率 5 (Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和超过 36 元 的概率. 19.(本小题满分 12 分)单调递增数列 ?an ? 的前行项和为 Sn ,且满足 4Sn ? an 2 ? 4n . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)数列

?bn ? 满足:

1 an ?1 ? log 2 bn ? log 2 an 。求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 2

20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于

3 ,它的一个顶点恰好在抛物线 x2 ? 8 y 的准线上. 2
(I)求椭圆 C 的标准方程 5 (Ⅱ)点 P(2, 3), Q(2, ? 3) 在椭圆上,A、B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点. (2)当 A、B 运动时,满足 ?APQ ? ?BPQ ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理 由. 21.(本小题满分共 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? m ln x, h( x) ? x2 ? ax ? 1(a ? 0)
2 (I)设 A 是函数 f ( x) ? x ? m ln x 上的定点,且 f ( x ) A 点的切线与 y 轴垂直,求 m

的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)若存在实数 m 使函数 f ( x ) , h( x) 在公共定义域上具有相同的单调性, 求证 m ? ? a3 ? 6a ?

1 3

22 . 3


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