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高中数学经典解题技巧和方法--等差数列等比数列跟踪训练题

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高中数学经典的解题技巧和方法(等差数列、等比数列)

跟踪训练题

一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,总分 36 分)

1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,a3=3,则 S4=( )

(A)12

(B)10

(C)8

(D)6

2.设数列{xn}满足 log2xn+1=1+log2xn,且 x1+x2+x3+…+x10=10,则 x11+x12+x13+…+x20 的值为( )

(A)10×211

(B)10×210

(C)11×211

(D)11×210

3.已知正数组成的等差数列{an},前 20 项和为 100,则 a7·a14 的最大值是(

)

(A)25

(B)50

(C)100

(D)不存在

5 4.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 4 ,则 S5 =( )

A.35

B.33

C.31

D.29

5. 设?an? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X ,Y , Z ,则下列等式中恒成立
的是( )

A、 X ? Z ? 2Y

B、Y ?Y ? X ? ? Z ?Z ? X ?

C、Y 2 ? XZ

D、Y ?Y ? X ? ? X ?Z ? X ?

6.(2010·潍坊模拟)已知数列{an}是公差为 d 的等差数列,Sn 是其前 n 项和,且有 S9<S8=S7,则下列说法

不正确的是

()

A.S9<S10

B.d<0

C.S7 与 S8 均为 Sn 的最大值

D.a8=0

二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,总分 18 分)

7.将正偶数划分为数组:(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),…,则第 n 组各数的和是 .

(用含 n 的式子表示)

8.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则 a2 009=_______;a2 014=_______.

9.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(10,a10)的直线的斜率为_______.

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三、解答题(10、11 题每小题 15 分,12 题 16 分,总分 46 分)

? ? 10.数列?an? 的通项

an

?

?n

?

1?

? ??

10 11

n
? ? ?

n?N?

试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的

项数;若没有,说明理由

11.在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,则 am,am+2,am+1 成等差数列.

(1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真?并给出证明.

12.已知数列{an}中,前 n 项和为 S n , a1 ? 5 ,并且 Sn?1 ? Sn ? 2an ? 2n?2 ( n ? N ? ),

(1)求 a2 , a3 的值;

bn
(2)设

?

an ? ? 2n

,若实数 ?

使得数列{bn }为等差数列,求 ? 的值。

{ (3)在(2)的条件下,设数列 bn

1 ? bn

?1

}

的前

n

项和为

T

n

,求证:

Tn

?

1 5

参考答案

一、选择题

1. 【解析】选 C.S4=

=2×(1+3)=8.

2. 【解析】选 B.∵log2xn+1-log2xn=1,

∴{xn}为等比数列,其公比 q=2,

又∵x1+x2+…+x10=10,∴x11+x12+…+x20=q10(x1+x2+…+x10)=210×10.

3. 【解析】选 A.∵S20=

×20=100,∴a1+a20=10,

∵a1+a20=a7+a14,∴a7+a14=10. ∵an>0,∴a7·a14≤(

)2=25.

4. 【解析】选 C

5

1

由 a2 ? a3 ? 2a1 ? a1 ? a4 ? 2a1 ? a4 ? 2 ,又 a4 ? 2a7 ? 2? 4 得 a7 ? 4

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1

q3 ? a7 ? 4 ? 1

所以,

a4 2 8 ,?

q?1

a1

?

a4 q3

?

2 1

? 16

2,

8,

16[1? (1)5 ]

S5 ?

2 1? 1

? 31

2

5. 【解析】选 D,设等比数列?an? 的公比为 q (q ? 0) ,由题意, X ? a1 ? a2 ? ? an

Y ? a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ? an?2 ? ? a2n

Z ? a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ? an?2 ? ? a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ? ? a3n

Y ?

?X X

?q Z?X ,Y

? q ,所以Y (Y ? X ) ? X (Z ? X ) ,故 D 正确。

6. 【解析】选 A 由题意知 d<0,a8=0,所以 a10 ? a9 ? a8 ? 0.? S10 ? S9 ? a10 ? S9.
二、填空题

1? 2 ? 3 ? ? (n ?1) ? n(n ?1) .

7. 【解析】前 n ?1组共有偶数的个数为

2 故第 n 组共有 n 个偶数,且第一

个偶数是正偶数数列?2n?

的第

n(n ?1) 2

?1项,即2

?[

n(n ?1) 2

?1]

?

n2

?

n

?

2



n(n2 ? n ? 2) ? n(n ?1) ? 2 ? n3 ? n.

所以第 n 组各数的和为

2

答案: n3 ? n.

8. 【解析】依题意,得 a2 009=a4×503-3=1,a2 014=a2×1 007=a1 007=a4×252-1=0. 答案:1

0

9. 【解析】∵a4=15,S5=55. ∴55=

=5a3,∴a3=11. ∴公差 d=a4-a3=15-11=4.

a10=a4+6d=15+24=39. ∴P(3,11),Q(10,39) kPQ= 三、解答题

=4.答案:4

10. 【解析】方法 1:

an?1

? an

?

?n

?

2?

? ??

10 11

n?1
? ??

?

?

n

?

1?

? ??

10 11

n
? ??

?

?

10

n
?

?? 11 ??

?

9?n 11

∴当 n<9 时, an?1 ? an ? 0?an?1 ? an

当 n ? 9 时 an?1 ? an ? 0?an?1 ? an ,

当 n>9 时, an?1 ? an ? 0?an?1 ? an ,

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故 a1 ? a2 ? ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 ? ,

∴数列

?an

?

中最大项为

a9



a10

.其值为

10

?

? ??

10 11

?9 ??

,其项数为

9



10

? ? 方法2

an

?

?n

?

1?

? ??

10 11

?n ??

n?N?

,

? ???aann

? ?

an?1 an?1

?

?
?? n
? ?
???? n

?

1?

? ??

10 11

?n ??

?

1?

? ??

10 11

?n ??

? ?

?n ?n

?

2?

? ??

10 11

?n ??

?1

?

1?

? ??

10 11

?n ??

?1

?

?n ??n

? 9, ? 10.

n ? N ?,?n ? 9或10.

∴数列

?an

?

中最大项为

a9



a10

.其值为

10

?

? ??

10 11

9
? ? ?

,其项数为

9



10

11. 【解析】(1)在等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成 等差数列. (2)设数列{an}的首项为 a1,公比为 q.由题意知:2am+2=am+am+1, 即 2a1qm+1=a1qm-1+a1qm. ∵a1≠0,q≠0,∴2q2-q-1=0,

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12. 【解析】(1)由 Sn?1 ? Sn ? 2an ? 2n?2 ( n ? N ? )得

Sn?1 ? Sn ? 2an ? 2n?2 即 an?1 ? 2an ? 2n?2 ( n ? N ? ) ∵ a1 ? 5 ∴ a2 ? 2a1 ? 21?2 ? 10 ? 8 ? 18

a3 ? 2a2 ? 22?2 ? 36 ? 16 ? 52

b1
(2)由条件

?

a1 ? ? 2

?

5?? 2

b2

?

a2 ? ? 22

? 18 ? ? 4

b3

?

a3 ? ? 23

?

52 ? ? 8

∵{bn }为等差数列∴ 2b2 ? b1 ? b3

2 ? 18 ? ? ? 5 ? ? ? 52 ? ?



4

2

8

解得 ? ? 0

bn


?

an 2n



b1

?

5 2

b2


?

9 2

∴ b2 ? b1 ? 2 ,

即数列{bn }是公差为 d

?

2 ,首项为 b1

?

5 2

的等差数列

bn
(3)由(2)得

?

5 2

?

(n

?1) ? 2

?

4n ?1 2

(n?

N?)

1?

4

?1?1

∴ bn ? bn?1 (4n ? 1)(4n ? 5) 4n ? 1 4n ? 5

1 ? 1 ??? 1

∴ Tn = b1b2 b2b3

bn bn ?1

(1 ? 1) ? (1 ? 1 ) ??? ( 1 ? 1 )

= 5 9 9 13

4n ?1 4n ? 5

1? 1 ?1 = 5 4n ? 5 5



Tn

?1 5

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