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高二数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义》教案新人教版必修4


高二数学《2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义》教案 新 人教版必修 4 一、内容及其解析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义, 理解定义之后便可引导学生 推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识 点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的 5 个重要性质;平面向量数量积 的运算律. 二.教学目的 1.了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义; 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律,并能运 用性质和运算律进行相关的判断和运算; 三、教学重点难点 重点:平面向量数量积的含义与物理意义,性质与运算律及其应用。 难点:平面向量数量积的概念 四:教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标。 创设问题情景,引出新课 1、提出问题 1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果 是什么? 期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题 2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照 怎样的顺序研究了这种运算的? 期望学生回答:物理模型→概念→性质→运算律→应用 3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向量 数量积的物理背景及其含义 (三)合作探究,精讲点拨 探究一:数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题 3: (1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, 那么力 F 所做的功:W= |F| |S| cosα 。 (2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: F α S -1- ①W(功)是 ②F(力)是 ③S(位移)是 ④α 是 量, 量, 量, 。 (3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 期望学生回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 (1) 数量积的定义: 已知两个非零向量 a 与 b , 它们的夹角为 ? , 我们把数量 ︱ a ︱· ︱ b b︱cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? (2)定义说明: ①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ② “规定”:零向量与任何向量的数量积为零。 (3)提出问题 4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的 因素有哪些? 期望学生回答:线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不仅 和向量 a 与 b 的模有关,还和它们的夹角有关。 (4)学生讨论,并完成下表: ? 的范围 a · b 的符号 0°≤ ? <90° ? =90° 0°< ? ≤180° 例 1 :已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的夹角是 60°时,分别求 a · b . 解:①当 a ∥ b 时,若 a 与 b 同向,则它们的夹角 θ =0°, ∴ a · b =| a |·| b |cos0°=3×6×1=18; 若 a 与b反向,则它们的夹角 θ =180°, ∴ a · b =| a || b |cos180°=3×6×(-1)=-18; -2- ②当 a ⊥ b 时,它们的夹角 θ =90°, ∴ a · b =0; ③当 a 与 b 的夹角是 60°时,有 a

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