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河北省衡水中学11-12学年高一下学期期末考试(数学理)

2011—2012 学年度第二学期期末考试 高一年级数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答

案的序号填涂在答题卡上) 1、已知向量 a ? ( 2 , t ), b ? (1, 2 ), 若 t ? t 1 时, a ∥ b ; t ? t 2 时, a ? b ,则( A. t 1 ? ? 4 , t 2 ? ? 1 2、若 a 、 b 、 c ? R , A.
1 a ? 1 b

?

?

?

?

?

?

)

B. t 1 ? ? 4 , t 2 ? 1

C. t 1 ? 4 , t 2 ? ? 1 )

D. t 1 ? 4 , t 2 ? 1

a ?b

,则下列不等式恒成立的是 (
a ? c b
2

B.
c

2

?1

?1

开始

C. a 2 ? b 2

D. a | c |? b | c |
?

i ? 1, s ? 1

3、 下列函数中, 在区间(0, )上为增函数且以 ? 为周期的函数是(
2

)

i ? i ?1
s ? 2 ( s ? 1)

A. y ? sin

x 2

B. y ? sin x D. y ? ? cos 2 x ) D.190 )

C. y ? ? tan x



i ? 5?

4、如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.22 5、在△ABC 中,若 A.等腰三角形 C.等腰直角三角形
a b
2 2


输出s

B.46
? a b
2 2

C. 9 4
2 2

? c ? c

?b ? a

2 2

,则△ABC 是(

结束

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形


第 4 题图


6、如图:是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,
5 3 6 7 3 8 9 1 1 2 3 4 4 2 5 5 6 7 3 7 8

-1-

4

则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 ( A.62 7、函数 y ? ta n (
?
4



B.63
x?

C.64

D.65

?
2

)(0 ? x ? 4 ) 的图象与 x 轴交于 A 点,

过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B , C 两点, 则 (O B ? O C ) ? O A ? ( A.4 B.10 C.6
??? ? ???? ??? ?

第 6 题图

) D. 8
y ?1 x ?1

?y ? 0 ? 8、实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ?2x ? y ? 2 ? 0 ?

,则 t ?

的取值范围是 (



A.

? 1 ? ? ? 2 ,1 ? ? ?

B.

? 1 ? ?? 2 , ?? ? ? ?
2

C.

1? ? ? ? 1, 3 ? ? ?

D.

? 1 1? ?? 2 , 3 ? ? ?

9、在区间 (1, 2 ) 上,不等式 ? x ? mx ? 4 ? 0 有解,则 m 的取值范围为( A. m ? ? 4 B. m ? ? 4 C. m ? ? 5 D. m ? ? 5
b a



10、锐角三角形 A B C 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 B ? 2 A ,则 ( ) A. ( 2 , 3 ) B. ( 2 , 2 )
? ?

的取值范围是

C. ( 0 , 2 )
1 2

D. ( 0 , 3 )
3 2
? ?

11、已知 ? ABC 的面积为 S ,且 AB ? AC ? 1, 若 是( ) A. (
?
6 ,

? S ?

,则 AB , AC 夹角的取值范围

?
4

)

B. (

?
6

,

?
2

)

C. (

?
3

,

?
2

)

D. (

?
4

,

?
3

)

12、已知△ABC 的面积为 1,设 M 是△ A B C 内的一点(不在边界上),定义 f ( M ) ? ( x , y , z ) ,
1
1 x 4 y

其中 x , y , z 分别表示△ M B C ,△ M C A ,△ M A B 的面积, f ( M ) ? ( x , y , ) , 若 则
2

?

的最小值为( A.8 B.9

) C.16 D.18

-2-

第Ⅱ卷(非选择题
二、

共 90 分)

填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)
2

13、设关于的一元二次不等式 ax

? bx ? 1 ? 0 的解集为 ( ? 1,

1 3

) ,则 a ? b ?



14、不等式

2x 3x
2

2 2

? 5x ? 1 ? 7x ? 2

? 1 的解集是______________.

15、方程 2 x ? 8 x ? a ? 0 在区间 (1, 4 ) 上有两个不同的根,则 a 的取值范围是___________.
? ? ? ?

16、已知在四边形 ABCD 中,AB=AD=4,BC=6,CD=2, 3 AB ? AD ? 4 CB ? CD ? 0 ,求三角形 ABC 的外接圆半径 R 为 三、 .

解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

写在答题纸的相应位置) 17、 (本小题满分 10 分) 求值:
3 ta n 1 2 ? ? 3 s in 1 2 ? ( 4 c o s 1 2 ? ? 2 )
2

.

18、 (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10, AC=14,DC=6,求 AB 的长.

19、 (本小题满分 12 分)

-3-

某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式 分成五组:第一组 ?13 ,14 ) ;第二组 ?14 ,15 ) ??第五组 ?17 ,18 ? .下图是按上述分组方法得到的 频率分布直方图. (I)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人 数; (II)设 m 、 n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m , n ? [13 ,14 ) ? [17 ,18 ], 求事 件“ m
? n ? 1
频率 组距 0.38 0.32

”的概率.

0.16

0.08 0.06

O

13

14

15

16

17

18



19题 图

20、 (本小题满分 12 分)

已知向量 a

?

? 1 ? (sin x , ? 1) b ? ( 3 cos x , ? ) 2
f (x)

,函数

? ? ? f ( x) ? (a ? b ) ? a ? 2

(1)求函数

的值域;
? 2 3

(2)已知 a , b , c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边, a 和△ABC 面积的最大值。

,且

f ( A ) ? 1 ,求

A

21、 (本小题满分 12 分) 某人上午 7:00 时,乘摩托车以匀速 v 千米/时 ( 4 ?
v ? 20)

从 A 地出发到相距 50 千米的 B 地

-4-

去,然后乘汽车以匀速 w 千米/时 (3 0 ?

w ? 100)

自 B 地向相距 300 千米的 C 地驶去,要求

在当天 16:00 时至 21:00 时这段时间到达 C 地. 设汽车所需要的时间为 x 小时, 摩托车所 需要的时间为 y 小时. (1)写出满足上述要求的 x , y 的约束条件; (2)如果途中所需的经费为 p ,且 p ? 1 0 0 ? 3(5 ? x ) ? 2 (8 ? y ) (元) ,那么 v , w 分别 是多少时所要的经费最少?此时需花费多少元?

22、 (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? a x ? x ? a , a ? R 。
2

(1) 若不等式 f ( x ) ? ( a ? 1) x ? ( 2 a ? 1) x ? 3 a ? 1 对任意实数 x ? [ ? 1,1] 恒成立, 求实数 a 的
2

取值范围; (2)若 a ? 0 ,解不等式 f ( x ) ? 1 。

-5-

-6-

2011—2012 学年度第二学期期末考试 高一年级数学(理科)试卷答案
一、CBDCD 二、13、-1; CDACA 14、 ? x |
? ? 1

DD
? ? x ? 2? ; 3 ?
1 sin 12 ? ? 3 sin 12 ? ? 3 cos 12 ? sin 24 ? ? ( 2 cos
2

15、(6,8);

16、

2

21 3

(

3 sin 12 ? cos 12 ? 2 ( 2 cos

? 3) ?
2

17、解:原式=

12 ? ? 1 )

12 ? ? 1 )

2 3( ?

1

cos 12 ? ) 2 3 sin( 12 ? ? 60 ? ) 2 2 ? ? ?4 3 1 sin 24 ? ? cos 24 ? sin 48 ? 2

sin 12 ? ?

3

18、 cos ?

解: 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,
AD ? DC
2 2

由余弦定理得
1 2

? AC

2

=

100 ? 36 ? 196 2 ? 10 ? 6

2 A D ?D C

? ?

,? 3 分

? ? ADC=120°, ? ADB=60°

??? 6 分

在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得
AB s in ? A D B ? AD s in B

,

???9 分
3 2 2 2 ? 5 6 .

?

AB=

A D ?s in ? A D B s in B

?

1 0 s in 6 0 ? s in 4 5 ?

10 ? ?

??? 12 分

19、解: (1)由直方图知,成绩在 [1 4 ,1 6 ) 内的人数为: 50 ? 0 . 16 ? 50 ? 0 . 38 ? 27 (人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人??????..4 分 (2)由直方图知,成绩在 [1 3,1 4 ) 的人数为 5 0 ? 0 .0 6 ? 3 人,?????5 分 设为 x , y , z ;成绩在 [1 7 ,1 8 ) 的人数为 5 0 ? 0 .0 8 ? 4 人,?????6 分 设为 A,B,C,D. 若 m , n ? [1 3,1 4 ) 时,有 x y , x z , yz 3 种情况;

-7-

若 m , n ? [1 7 ,1 8) 时,有 A B , A C , A D , B C , B D , C D 6 种情况; 若 n , m 分别在 [1 3,1 4 ) 和 [1 7 ,1 8 ) 内时, A x y z xA yA zA B xB yB zB C xC yC zC D xD yD zD

共有 12 种情况。??????????????8 分 所以基本事件总数为 21 种, ?????10 分

事 件 “ | n ? m |? 1 ” 所 包 含 的 基 本 事 件 个 数 有 12 种 . ∴ P ( | n ? m |? 1 ) =
4 7

??????????????12 分

20、

所以 f ( x ) 的值域为 [ ? 1,1]

所以 b c ? 1 2 ? 2 b c , b c ? 1 2 ,当且仅当 b ? c ? 2 3 时取等号 此时 S ? A B C ?
1 2
50 y

b c sin A ? 3 3

所以 ? A B C 面积的最大值为 3 3
? 300 x

21、解: (1)依题意得: v ?

,w

,又 4 ? v ? 2 0 , 3 0 ?

w ? 100



-8-

? 3 ? x ? 10 ? 所以 ? 5 ? y ? 2 5 ? 2 ? 2 ?9 ? x ? y ? 14 ?

,所以满足条件的点的范围是图中阴影部分:

(2)? p ? 1 0 0 ? 3 ? (5 ? x ) ? 2 ? (8 ? y ) ,
? 3 x ? 2 y ? 131 ? p ,

作出一组平行直线 3 x ? 2 y ? t (t 为参数) , 由图可知,当直线 3 x ? 2 y ? t 经过点 (1 0 , 4 ) 时, 其在 y 轴上截距最大, 此时 p 有最小值,即当 x ? 1 0, y ? 4 时, p 最小, 此时 v ? 1 2 .5, w ? 3 0, p m in ? 9 3 元 ? 22、解: (1)原不等式等价于 x ? 2 ax ? 2 a ? 1 ? 0 对任意的实数 x ? [ ? 1,1] 恒成立,
2

设 g ( x ) ? x ? 2 ax ? 2 a ? 1 ? ( x ? a ) ? a ? 2 a ? 1
2 2 2

1 ○当 a ? ? 1 时, g

min

( x ) ? g ( ? 1) ? 1 ? 2 a ? 2 a ? 1 ? 0 ,得 a ? ? ;
( x) ? g (a ) ? ? a
2

2 ○当 ? 1 ? a ? 1 时, g 3 ○当 a ? 1 时, g 综上 a ? 1 ?
2

min

? 2 a ? 1 ? 0 ,得 ? 1 ?

2 ? a ? 1;

min

( x ) ? g (1) ? 1 ? 2 a ? 2 a ? 1 ? 0 ,得 a ? 1 ;

2

(3) a x ? x ? a ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)( a x ? a ? 1) ? 0 因为 a ? 0 ,所以 ( x ? 1)( x ? 所以当 ? 当a ? ? 当a ? ?
1 2
1 2 1 2
2

a ?1 a

) ? 0 ,因为 1 ? ( ?

a ?1 a

)?

2a ? 1 a

? a ? 0 时, 1 ? ?

a ?1 a

, 解集为{x| 1 ? x ? ?

a ?1 a

} ;

时, ( x ? 1) ? 0 ,解集为 ? ; 时, 1 ? ?
a ?1 a

, 解集为{x| ?

a ?1 a

? x ? 1}

-9-

- 10 -


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