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2018年北京昌平高三二模数学(文)试题及答案word版

昌平区 2018 年高三年级第二次统一练习
数学试卷(文科)
2018.5

本试卷共 5 页,共 150 分. 考试时长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集 U = R ,集合 A={x∣x > 1 或 x < - 1 },则 ? U A ? A. (??, ?1)

(1, ??)

B. (??, ?1] [1, ??)

C. (?1,1)

D. [?1,1]

2.下列函数中,在定义域上既是奇函数又是增函数的是 A. y =

1 x

B. y = x3

C.

y = sin x

D. y = lg x

? x ? y ? 0, ? 3. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ?y ? 0 ?
A. 1 B.

1 2

C.

1 4

D.

1 8

4. 设 a ? ( )

1 2

0.2

, b ? log2 3 ,

c ? 2?0.3 ,则
A.

b?c?a

B. C.
输出 y

a?b?c b?a?c
开始

D.

a?c?b
5. 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 入 x 值满足 则输出 y 值的取 ?2 ? x ? 4 , A. [?3, 2] B. [1, 2] C. [ ?4,0) D. [ ?4,0) U [1, 2]
y ? x2 ? 3

输入x

x?2



图,若输

y ? log2 x

值范围是

结束

1

6. 设 x, y ? R ,则 是 的 “|x| ? 1且|y| ? 1 ” “x2 +y 2 ? 2” A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 A. 4
1

B. 5 C. 2 D. 2
2

2 主视图

2 左视图

俯视图

8. 2011 年 7 月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定:公民全月工资、薪金所得不超过 3500 元的 部分不必纳税,超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算: 全月应纳税所得额(含税级距) 不超过 1500 元 超过 1500 元至 4500 元的部分 超过 4500 元至 9000 元的部分 … 税率(%) 3 10 20 …

某调研机构数据显示,希望将个税免征额从 3500 元上调至 7000 元.若个税免征额上调至 7000 元(其它 不变),某人当月工资、薪金所得 8500 元,则此人当月少缴纳此项税款 A. 45 元 B. 350 元 C. 400 元 D. 445 元

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

共 110 分)

1+ i 对应的点的坐标为 i 2 10. 若抛物线 x ? 12 y ,则焦点 F 的坐标是
9. 在复平面内,复数 11. 在 ?ABC 中, a ? 2 , b ?

. . .

π 2 6 , A = ,则 C ? 3 3

12. 能够说明命题“设 a,b,c 是任意实数,若 a ? b ? c ,则

2a ? b ? c ” 是 假 命 题 的 一 组 整 数 a,b,c 的 值 依 次
为 . b

a

2

13. 向量 a,b 在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示, 则向量 a,b 所成角的余弦值是_________;向量 a,b 所张成的平行四边形的面积是__________.

?? x 2 ? 2ax , x ? 1 ? ? 14.已知函数 f ? x ? ? ? a ln x ? x ? 1. ? x ?
①当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 极大值是 ; ____ .

②当 x ? 1 时,若函数 f ? x ? 有且只有一个极值点,则实数 a 的取值范围是

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( ? x)cos( ? x) ? 3sin 2x . (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x) 在区间 [0, π ] 上的最值及相应的 x 值. 2

π 4

π 4

16. (本小题 13 分) 已知数列 { an } 满足 a1 ? 1, a2 ?

1 ,数列 ?bn ? 是公差为 2 的等差数列,且 bn an?1 ? an?1 ? nan . 2

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式; (II)求数列 ?an ? 前 n 项的和 Sn .

17.(本小题 13 分) 为评估大气污染防治效果,调查区域空气质量状况,某调研机构从 A,B 两地区分别随机抽取了 20 天的观测数据,得到 A,B 两地区的空气质量指数( AQI ),绘制如下频率分布直方图:
频率/组距

频率/组距

0.008 0.007

0.008

0.005
0.003

0.003 0.002
3

根据空气质量指数,将空气质量状况分为以下三个等级: 空气质量指数 AQI 空气质量状况
(0,100) [100, 200) [200,300)

优良

轻中度污染

重度污染

(I)试根据样本数据估计 A 地区当年(365 天)的空气质量状况“优良”的天数; (II) 若分别在 A、B 两地区上述 20 天中,且空气质量指数均不小于 150 的日子里随机各抽取一天, 求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.

18.(本小题 14 分) 如图,四边形 ABCD 是正方形,平面 ABCD ? 平面

E

ABEF
F



AF / / BE , AB ? BE , AB ? BE ? 2, AF ? 1 .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 DEF ; (III)求三棱锥 D-FEB 的体积.
D A

B O C

19. (本小题 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的经过点 (0,1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(I)求椭圆 E 的标准方程; (II)过右焦点 F 的直线 l (与 x 轴不重合)与椭圆交于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 y 轴于点

M (0,m) ,求实数 m 的取值范围.

4

20. (本小题 13 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? c , g ( x) ? 8x2 ? 20 x ,方程 f ( x) ? g ( x) 有三个不同实根 x1 , x2 , x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) . (I)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (II)求 c 的取值范围; (III)求证: x1 ? x2 ? 4 .

昌平区 2018 年高三年级第二次统一练习
数学试卷(文科)参考答案 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 A 6 A 7 B 8 C

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (1, ?1) 12. ?1, ?2, ?3 10. (0,3) 13. 11. 14.
5π (或75?) 12
1 ;a ?1 e

4 ; 3 5

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15.(共 13 分) 解:(I) f ( x) ? sin( ? 2 x) ? 3sin 2 x

π 2

? cos2 x ? 3sin 2 x

π ? 2sin(2 x+ ) 6

5

所以 f ( x) 的最小正周期是 π . (II)因为 0 ? x ? π , 所以 0 ? 2 x ? π , 2 所以 π ? 2x+ π ? 7π , 6 6 6 当 x ? π 时, f ( x ) max ? 2 . 6 当 x ? π 时, f ( x)m in ? -1 . 2

-------------------8 分

--------------------13 分

16.(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 bn an?1 ? an?1 ? nan 所以 b1a2 ? a2 ? a1 . 又因为 a1 =1 ,a2 = 所以 b1 =1 . 所以数列 ?bn ? 的通项公式是 bn ? 2n -1 . (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 bn ? 2n -1 --------------------7 分 ,

1 , 2

且 bn an?1 ? an?1 ? nan , . ,

所以 (2n ? 1)an ?1 ? an ?1 ? nan

得到

an ?1 1 ? an 2 .

所以数列 ?an ? 是以 1 为首项,

1 为公比的等比数列. 2
--------------------13 分

1 1 ? ( )n 2 ? 2 ? 21?n 那么数列 ?an ? 前 n 项和 Sn ? . 1 1? 2

17.(共 13 分) 解:(Ⅰ)从 A 地区选出的 20 天中随机选出一天,这一天空气质量状况“优良”的频率为
(0.008 ? 0.007) ? 50 ? 0.75 ,估计 A 地区当年(365 天)的空气质量状况“优良”的频率为 0.75 ,A 地区

当年(365 天)的空气质量状况“优良”的天数约为 365 ? 0.75 ? 274 天 . --------------------4 分 (Ⅱ)A 地 20 天中空气质量指数在 [150, 200) 内,为 20 ? 0.003 ? 50 ? 3 个,设为 a1 , a2 , a3 , 空气质量指数在 [200, 250) 内,为 20 ? 0.001 ? 50 ? 1 个,设为 a 4 ,

6

B 地 20 天中空气质量指数在 [150, 200) 内,为 20 ? 0.002 ? 50 ? 2 个,设为 b1 , b2 , 空气质量指数在 [200, 250) 内,为 20 ? 0.003 ? 50 ? 3 个,设为 b3 , b4 , b5 , 设“A,B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为 C , 则基本事件空间 基本事 ? ? {a1b1 , a1b2 , a1b3 , a1b4 , a1b5 , a2b1 , a2b2 , a2b3 , a2b4 , a2b5 , a3b1 , a3b2 , a3b3 , a3b4 , a3b5 , a4b1 , a4b2 , a4b3 , a4b4 , a4b5 } , 件个数为 n ? 20 , C ? {a4b3 , a4b4 , a4b5 } ,包含基本事件个数为 m ? 3 , 所以 A,B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为 P(C ) ?

3 . 20

--------------------13 分 18.(共 14 分) 证明:(I)因为正方形 ABCD,所以 AC ? BD . 又因为平面 ABEF ? 平面 ABCD, 平面 ABEF I 平面 ABCD=AB, AB ? BE , BE ? 平面 ABEF, 所以 BE ? 平面 ABCD. 又因为 AC ? 平面 ABCD. 故 BE ? AC. 又因为 BE I BD ? B , 所以 AC ? 平面 BDE . (II)取 DE 的中点 G,连结 OG,FG, 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 的中点. 则 OG//BE,且 OG ?
E

--------------------5 分

1 BE . 2 1 BE , 则 AF / /OG 且 2

F G A O B

由 已 知 AF//BE , 且 AF ?

AF ? OG ,

所以四边形 AOGF 为平行四边形,所以 AO//FG, 即 AC//FG. 因为 AC ? 平面 DEF , FG ? 平面 DEF, 所以 AC//平面 DEF. --------------------10 分
D C

(III)因为平面 ABCD ? 平面 ABEF ,四边形 ABCD 是正方形, 平面 ABEF I 平面 ABCD=AB, 所以 AD / / BC , AD ? AB . 由(I)知, BE ? 平面 ABCD, AD ? 平面 ABCD 所以 BE ? AD 所以 AD ? 平面 BEF.

7

所以 V

D ? BEF

1 1 1 4 ? ? S?BEF ? AD ? ? ? BE ? AB ? AD ? . 3 3 2 3

--------------------14 分

19.(共 14 分)

?b ? 1 ? ? c 2 ? ?a ? 2 解:(Ⅰ)由题意,得 ?e ? ? , 解得 ? . a 2 b ?1 ? ? ? ?a 2 ? b2 ? c 2 ?
所以椭圆 E 的标准方程是
x2 ? y2 ? 1 . 2

-------------------5 分

(II)(1)当直线 ?? ? x 轴时,m = 0 符合题意. (2)当直线 ?? 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ?1? , 由?

? y ? k ( x ? 1) ?x ? 2 y ? 2 ? 0
2 2

,得 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ,

由 ? ? (?4k 2 )2 ? 8(1 ? 2k 2 )(k 2 ?1) ? 0 ,得 k ? R. 设 ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 所以 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

4k 2 2(k 2 ? 1) . , x ? x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?2k , 1 ? 2k 2

所以线段 AB 中点 C 的坐标为 ?

? 2k 2 ?k ? , 2 2 ?. ? 1 ? 2k 1 ? 2 k ? k 1? 2k 2 ? ? ? x ? ? ?, 1 ? 2k 2 k ? 1 ? 2k 2 ?

由题意可知, k ? 0 ,故直线 MC 的方程为 y ? 令 x = 0,

y?

k k m? 2 ,即 1 ? 2k 1 ? 2k 2

当 k > 0 时,,得 0 ? m ?

2 k 1 2 ,当且仅当 时“=”成立. k? = ? 2 1 2 1 ? 2k 4 ? 2k k 2 k 1 2 当且仅当 时“=”成立. k?? = ?? 2 , 1 2 1 ? 2k 4 ? 2k k
? ? 2 2? , ? .--------------------14 分 4 4 ?
8

同理,当 k < 0 时, 0 ? m ?

综上所述,实数 m 的取值范围为 ? ?

20. (共 13 分)
2 解:(Ⅰ) f '( x) ? 3x , f '(1) ? 3 ,又 f (1) ? c ? 1 ,

则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? 3x ? c ? 2 . --------------------3 分 (Ⅱ)设 h( x) ? x ? 8x ? 20 x ? c , h '( x) ? 3x ?16x ? 20 ,
3 2 2

令 f '( x) ? 0 ,则 x ? 2, 或 x ?

10 3

当 x 变化时, h '( x) 与 h( x) 的变化情况如下表:

x
h '( x)

(??, 2)

2

(2,

10 ) 3

10 3

(

10 , ?? ) 3

+

0
c ? 16

c?

0
400 27

+

h( x)
所以,当 c ? 16 ? 0, 且 c ?

400 ? 0 时, 27
10 ), 3

? )c? 因 为 h( 0

0 h , ? ( 4? ) c ,?1 故6 存 在 0 x1 ? ( 0 , 2 x2 ? ) (2, ,
3

10 x3 ? ( , 4), 使 得 3

h( 1 x ? )

h( x) 2 ?

h(? x )

0

由 h( x) 的单调性知,当且仅当 c ? ( ?16, ? 即当且仅当 c ? ( ?16, ?

400 ) 时,函数 h( x) 有三个不同的零点, 27

400 ) 时,方程 f ( x) ? g ( x) 有三个不同实根. -------------------9 分 27 10 2 ( III ) 由 ( Ⅱ ) 知 x1 ? ( 0, 2 ) ,x2 ? (2, ), 4 ? x2 ? ( , 2 )? ( 0 , 2h )(,x) 在 (0, 2) 上 单 调 递 增 , 则 3 3
x1 ? x2 ? 4 ? 4 ? x2 ? x1

? h(4 ? x2 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ? u( x2 ) ? h( x2 ) ? h(4 ? x2 ) ? 0 , x2 ? (2,
由 h(4 ? x2 ) ? (4 ? x2 )
3

10 ), 3

? 8(4 ? x2 )2 ? 20(4 ? x2 ) ? c ? ? x23 ? 4x22 ? 4x2 ? c ? 16 ,

u( x2 ) ? h( x2 ) ? h(4 ? x2 ) ? ( x23 ? 8x22 ? 20x2 ? c) ? (?x23 ? 4x22 ? 4x2 ? c ? 16) ? 2( x23 ? 6x22 ? 12x2 ? 8)
设 u( x) ? 2 x ?12x ? 24x ?16 ,则 u '( x) ? 6( x ? 2)
3 2 2

10 10 ) 时, u '( x) ? 0 ,即 u ( x) 在 (2, ) 上单调递增,而 u (2) ? 0 3 3 10 10 所以当 x ? (2, ) 时, u( x) ? u(2) ? 0 ,所以 u( x2 ) ? 0 , x2 ? (2, ) 3 3
所以当 x ? (2,
9

所以 x1 ? x2 ? 4 .

--------------------13 分

10