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高三数学《立体几何》存在性问题及三视图问题习题精选


高三数学《立体几何》存在性问题及三视图问题习题精选
1 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 2,中心为 O,设 PA⊥平面 ABCD,EC∥PA,且 PA=2.(1)当 CE 为多少时,PO⊥平面 BED; (2)在(1)情形下,求二面角 E—PB—A 的余弦值.: 解:以 A 为原点,直线 AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴建立空 间直角坐标系 (1)则 P(0,0,2) ,O(1,1,0) ,D(2,0,0) ∵EC∥PA,∴可设 E(2,2,z)则 PA ? (1,1,?2), ED ? (0,?2,?z) ∵ △ PBD 为 等 腰 三 角 形 , ∴ PO ⊥ BD , 故 要 使

PO ? ED,即PO ? ED ? 0 ,……4 分
∴-2+2z = 0,∴z = 1,即 OE = 1 时,PO⊥平面 BED.……………………………6 分 (2)∵AD⊥平面 PAB,? AD 是平面 PAB 的一个法向量,且 AD ? (2,0,0) 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PBE 的一个法向量 由 PB ? (0,2,?2), BE ? (2,0,1) 由 n ? BE, n ? PB, 得 : ? 解得: y ? z , x ? ?

?2 y ? 2 z ? 0 ?2 x ? z ? 0

z 2

取 z = 2,则 x =-1,y =2,?n ? (?1,2,2). ? cos ? n, AD ?? 故二面 E—PB—A 的余弦值为 ? .

n ? AD | n | ? | AD |

??

1 3

1 3

2 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D 为 AC 的中点. (Ⅰ)求证:AB1//面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 C1—BD—C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P,使得 CP⊥面 BDC1?并证明你的结论.

用心

爱心

专心

(I)证明: 连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD ∵BCC1B1 是矩形,∴O 是 B1C 的中点.又 D 是 AC 的中点, ∴OD//AB1.∵AB1 ? 面 BDC1,OD ? 面 BDC1 ∴AB1//面 BDC1. (II)解:如力,建立空间直角坐标系,则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) ,C(0,3,0) ,A(2,3,0) D(1,3,0) , 设 n =(x1,y1,z1)是面 BDC1 的一个法向量,则

?n ? C1 B ? 0 ?3 y ? 2 z1 ? 0 1 1 ? , 即? 1 取n ? (1,? , ) .…………6 分 ? 3 2 ?n ? C1 D ? 0 ? x1 ? 3 y1 ? 0, ?
易知 C1C =(0,3,0)是面 ABC 的一个法向量.

? cos ? n, C1C ??

n ? C1C | n | ? | C1C |

?

2 ?1 2 ? ? ∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为 7 7 7 ?3 6

(III)假设侧棱 AA1 上存在一点 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,使得 CP⊥面 BDC1.

?y ? 3 ?CP ? C1 B ? 0 ?3( y ? 3) ? 0 ? ? 则? ,即? ,? ? 7 ?CP ? C1 D ? 0 ?2 ? 3( y ? 3) ? 0 ? y ? . ? 3 ?
∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1. 3 如图,已知四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 4 的正方形,S 在底面上的射影 O 落在正方形 ABCD 内,且 O 到 AB、AD 的距离分别为 2 和 1.(I)求证 AB? SC 是定值; (II)已知 P 是 SC 的中点,且 SO=3,问在棱 SA 上是否存在一点 Q,使得异面直线 OP 与 BQ 所成的角为 90°?若存在,请给出证明,并求出 AQ 的长;若不存在,请说明 理由.

用心

爱心

专心

解:法一: (I)以 O 为坐标原点,以 OS 所在直线为 Oz 轴,过 O 且平行于 AD 的直线为 Ox 轴.过 O 且平行于 AB 的直线为 Oy 轴,建立如图所示空间直角坐标系……1 分 设 S(0,0,z) (z>0,z∈R) 则 AB ? (0,4,0), SC ? (?2,3,?z)

? AB ? SC ? (0,4,0) ? (?2,3,?z) ? 12 即 AB? SC 为定值.
(II)由(I)建立的空间直角坐标系可知 A(2,-1,0) ,B(2,3,0)C(-2,3,0) , S(0,0,3)P(-1,

3 3 , ) 设 点 Q ( x , y , z ), 则 存 在 λ 使 2 2

即( x ? 2, y ? 1, z ) ? ? (?2,1,3) ? x ? 2 ? 2? ? x ? 2 ? ?2? ? ?? 即? y ? ? ? 1 ?????10分 ?y ?1 ? ? ? z ? 3? ? ? Q(2 ? 2? , ? ? 1,3? ) 3 3 则OP ? BQ ? (?1, , ) ? (?2? , ? ? 4,3? ) ? 0 2 2 AQ ? ? AS 3 9 即2? ? (? ? 4) ? ? ? 0 2 2 3 即8? ? 6 ? 0 ? ? ? ????????11分 4 ……………………12 分 1 1 9 由0 ? ? ? 1知点Q在棱SA上, 且Q( ,? , ) 2 4 4 3 3 2 2 3 | AQ |? | AS |? 2 ? 1 ? 32 ? 14 4 4 4
法二: (I)证明:在△SDC 内,作 SE⊥CD 交 CD 于 E,连结 OE……1 分 ∵SO⊥平面 ABCD ∴SO⊥CD ∴CD⊥平面 SOE ∴OE//AD ∴DE=1 从而 CE=3 ∴SO⊥OE

? AB ? SC ? DC ? SC ?| DC || SC | cos?SCE ?| DC | ? | EC |? 4 ? 3 ? 12 即 AB? SC 为
定值. 4. 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,BC=AC=2,AA1=4,D 为棱 CC1 上的一动点, M、N 分别为△ABD、△A1B1D 的重心. (Ⅰ)求证:MN⊥AB;
用心 爱心 专心

(Ⅱ)若二面角 C—AB—D 的正切值为 2 , 求二半平面 ABD、A1B1D 所成锐二面 角的余弦值; (Ⅲ)若点 C1 在平面 A1B1D 上的射影正好为 N, 试判断 C 在平面 ABD 上的射影是否为 M? 并说明理由. .解: (I)以 C1 为原点,C1A1 为 x 轴,C1B1 为 y 轴,C1C 为 z 轴建立坐标系. 设 C1D=a(0≤a≤4),由题意有 C1(0,0,0) 1(2,0,0) 1(0,2,0) ,A ,B ,C(0,0,4) ,A(2,0,4) B(0,2,4) ,D(0,0,a).………………………………………………1 分 ∵M、N 分别为△ABD,△A1B1D 的重心,

2 2 8?a 2 2 a ?M( , , ), N ( , , ),??????? 2分 3 3 3 3 3 3 8 ? MN ? (0,0,? ) ? AB ? (?2,2,0),??????3分 3 ? AB ? MN ? 0,? AB ? MN ,? AB ? MN .??? 4分
(注:也可以不用向量证法) (II)平面 ABC 法向量 n1 =(0,0,1) ,设平面 ABD 的法向量 n2 =(x1,y1,z1) ,则

? AD ? n 2 ? 0, ? 即 ? ? AB ? n 2 ? 0, ? ?(?2,0, a ? 4) ? ( x1 , y1 , z1 ) ? 0, ??????? 5分 ? ?(?2,2,0) ? ( x1 , y1 , z1 ) ? 0. a?4 a?4 令z1 ? 1, 得n 2 ? ( , ,1).?????? 6分 2 2
设二面角 C—AB—D 的大小为θ ,则由 tan? ?

2 , 得 cos? ?

3 3

? cos? ?

| n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 |

? (

1 a?4 2 a?4 2 ) ?( ) ?1 2 2
爱心 专心

?

3 , 3

用心

解得 a=2, (a=6 舍去) ,∴ n2 =(-1,-1,1).……………………………………7 分 设平面 A1B1D 的法向量

? A1 D ? n3 ? 0, ? n3 ? ( x, y, z ),则? ? A1 B1 ? n3 ? 0, ? ?(?2,0,2) ? ( x, y, z ) ? 0, ?? 2 x ? 2 z ? 0, 即? 得? ?????8分 ∴ 半 平 面 ABD , ?(?2,2,0) ? ( x, y, z ) ? 0, ?? 2 x ? 2 y ? 0. 令z ? 1, 则n3 ? (1,1,1).
A1B1D 所成锐二面角的余弦值为:

| n 2 ? n3 | | n2 || n3 |

?

| ?1 ? 1 ? 1 | 3? 3

?

1 . 3

(III)若点 C1 在平面 A1B1D 上的射影正好为 N,则

C1 N ? A1 D,即C1 N ? A1 D ? 0, 2 2 a 即( , , ) ? (?2,0, a) ? 0 3 3 3
解得 a=2(a=-2 舍去). ∵D 为 CC1 的中点,根据对称性知 C 在平面 ABD 上的射影正好为 M.……12 分 5. 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AD, AB= 2 AD, E 是线段 PD 上的点,F 是线段 AB 上的点,且 (I)判断 EF 与平面 PBC 的关系,并证明; (II)当λ =1 时,证明 DF⊥平面 PAC; (III)是否存在实数λ ,使异面直线 EF 与 CD 所成角为 60°? 若存在,试求出λ 的值;若不存在,请说明理由. (本小题满分 12 分) 解: (I)EF∥平面 PBC. 证明如下 作 FG∥BC 交 CD 于 G,连结 EG,则

PE BF ? ? ? (? ? 0). ED FA

BF CG PE BF ? ? ? ?? FA GD ED FA PE CG ? ∴ ∴PC∥EG 又 FG∥BC,BC∩PC=C,FG∩GE=G. ED GD ∴平面 PBC∥平面 EFG.又 EF ? 平面 EFG∴EF∥平面 PBC
用心 爱心 专心

(II)λ =1,则 F 为 AB 的中点又 AB= 2 AD

AF=

1 AB 2

∴ 在

Rt △ FAD



Rt △ ACD



tan?AFD ?

AD ? AF

AD 2 AD 2

? 2

tan?CAD ?

CD ? AD

2 AD ? 2 AD
又∵PA⊥平面 ABCD,DF ? 平面 ABCD ∴ PA ⊥

∴∠AFD=∠CAD ∴AC⊥DF DF. ∴DF⊥平面 PAC

(III)建立如图所示空间填角坐标系,设 PA=AD=1,则 A(0,0,0) ,B( 2 ,0,0) , D(0,1,0) ,C( 2 ,1,0) ,P(0,0,1)又

PE BF ? ? ? (? ? 0) ED FA

2 ? F( ,0,0) ……………………8 分 1? ?
设 E(0, y0 , z 0 ) 则

PE ? (0, y 0 , z 0 ? 1), ED ? (0,1 ? y 0 ,? z 0 ) PE ? ? (? ? 0)即PE ? ? ED ED ? (0, y 0 , z 0 ? 1) ? ? (0,1 ? y 0 ,? z 0 ) 又

? ? ? y0 ? 1 ? ? ? ?? ?z ? 1 ? 0 1? ? ?
2 ? 1 ? EF ? ( ,? ,? ) 1? ? 1? ? 1? ?



E (0,

1 ) 1? ? 1? ? ,

?

CD ? (? 2,0,0) 假设存在实数λ ,使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60°,则

用心

爱心

专心

2 | 1? ? cos60? ? ? ? | EF || CD | ?2 ? 3 ? 2 1? ? | EF ? CD | |?

2

?2 ? 3

?

1 2

??2 ? 5

?? ? 5 ∴存在实数 ? ? 5 使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60°

6. 如图,四棱锥P—ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA = AD = CD = 2AB = 2,M为PC的中点. (1)求证:BM∥平面PAD; (2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?
2

若存在,确定N的位置,若不存在,说明理由; (3)求直线PC与平面PBD所成的角的正弦值.

0

0

7

0

.解: (1)取 PD 的中点 E,连 EM、AM, ∵M 是 PC 的中点,∴EM 四边形, ∴BM∥AE,∴BM∥平面 PAD.

4

1 CD 又 AB 2

0

9

1 CD ∴AB 2

EM,

∴ABME 是平行

(2)以 A 为原点,以 AB,AD,AP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系 则 B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),∴M(1,1,1) BD ? (?1,2,0), PB ? (1,0,?2) , 设 N (0, y, z ) 则 MN (?1, y ? 1, z ? 1) ,若 MN⊥平面 PBD 则 MN⊥BD,MN⊥PB.

?MN ? BD ? 0 ?1 ? 2( y ? 1) ? 0 1 1 1 1 ? ?? ?? ? y ? , z ? ,? N (0, , ). 2 2 2 2 ?MN ? PB ? 0 ?? 1 ? 2( z ? 1) ? 0 ? 1 1 ∴在平面 PAD 内存在一点 N (0, , ) 、使 MN⊥面 PBD 2 2 1 1 (3)设平面 PBD 的法向量为 n ,令 n ? MN ? (?1,? ,? ), PC ? (2,2,?2) , 2 2
? cos ? PC, n ?? ? 2 ?1?1 6 ?2 3 2 ??
2 2 ,∴直线 PC 与面 PBD 所成角正弦值为 3 3

用心

爱心

专心

与三视图有关
1. (本小题满分 12 分) 直三棱柱 A1B1C1—ABC 的三视图如图所示,D、E 分别为棱 CC1 和 B1C1 的中点。

(1)求点 B 到平面 A1C1CA 的距离; (2)求二面角 B—A1D—A 的大小; (3)在 AC 上是否存在一点 F,使 EF⊥平面 A1BD,若存在确定其位置,若不存在,说明 理由. 20.解: (1)由已知得:CA=CB=CC1=2,∠ACB=90° ∴BC⊥AC ∴BC⊥平面 A1C1CA ∴点 B 到平面 A1C1CA 的距离为 2 (2)如图建立空间直角坐标系 则 B(0,2,0)D(0,0,1)A1(2,0,2)

? A1 D ? (?2,0,?1) A1 D(?2,2,?2)
设平面 A1DB 的法向量为 n1 (1, x, y) 则?

?? 2 ? y ? 0 ? y ? ?2 ?? ?? 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ? x ? ?1

n1 ? (1,?1,?2)
而平面 ACC1A1 的法向量为 n2 (0,1,0) ? cos ? n1 ? n2 ??

?1 6

∴二面角 B—A1D—A 的大小

用心

爱心

专心

为 arccos

6 6

(3) 存在 F 为 AC 的中点, EF⊥平面 A1BD 设 F x, 0)由 E 1, 得 EF ? ( x,?1,?2) 使 ( 0, , (0, 2) 若 EF⊥平面 A1BD,则 EF // n1 由 n1 ? (1,?1,?2) 得 x=1 ∴F 为 AC 的中点∴存在 F 为 AC 的中点,使 EF⊥平面 A1BD 2. (本小题满分 12 分) 一个多面体的三视图及直观图如图所示,M、N 分别是 A1B、B1C1 的中点。 (Ⅰ)求证:MN⊥平面 A1BC; (Ⅱ)求异面直线 AM 和 CA1 所成的角; (Ⅲ)求二面角 A —A1B—C 的大小. 解:由三视图可知,在这个多面体的直观图中,AA1⊥平面 ABC。 且 AC⊥BC,AC=BC=CC1=a (Ⅰ)连结 AC1,AB1,因为 BC⊥平面 ACC1A1,所以 BC⊥AC1。 在正方形 ACC1A1 中,A1C⊥AC1 又因为 BC∩A1C=C,所以 AC1⊥平面 A1BC 由矩形性质得,AB1 过 A1B 的中点 M, 在△AB1C1 中,由中位线性质得 MN//AC1, 得 MN⊥平面 A1BC (Ⅱ)由题意 CB,CA,CC1 两两垂直,故以 C 为原点, CB,CA,CC1 所在直 线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 又 AC=BC=CC1=a,则 B(a,0,0)B1(a,0,a) ,A(0,a,0) , C(0,0,0) 1(0,0,a) ,C , A1(0,a,a) ,则 M ( ,

a a a , ) 2 2 2

a a a ? AM ? ( ,? , ), CA1 ? (0, a, a) 2 2 2 ? AM ? CA1 ? 0
∴异面直线 AM 和 CA1 所成的角为 90° (Ⅲ)AB 中点 E 的坐标为(

a a , ,0) 2 2
用心 爱心 专心

a a AC1 ? (0,?a, a), 易知CE ? ( , ,0) 为平面 AA1B 的法向量. 2 2
又 AC1⊥平面 A1BC,故 AC1 为平面 A1BC 的法向量 设二面角 A—A1B—C 为θ ,则

| cos? |?| cos ? CE , A1C ?|?|

CE ? AC1 | CE || AC1 |

|?|

?

a2 2

2 a ? 2a 2

|?

1 2

由题意可知, ?为锐角,所以 ? 60?,即二面角为 — A1 B — C为60? ……12 分 ? A 3. 某几何体的三视图如图所示,P 是正方形 ABCD 对角线的交点,G 是 PB 的中点。 (Ⅰ)根据三视图,画出该几何体的直观图; (Ⅱ)在直观图中,①证明:PD//面 AGC; ②证明:面 PBD⊥AGC ③求面 PAB 与面 PBC 的夹角的余弦值。

2 , 4 解: (Ⅰ)该几何体的直观图如图所示。 …………3 分 , 6 (2)①证明:连结 AC,BD 交于点 O,连结 OG,因为 G 为 PB 的中点, O 为 BD 的中点,所以 OG//PD。又 OG ? 面 AGC,PD ? 面 AGC, 所以 PD//面 AGC。 ………………文 8 分,理 6 分 ②连结 PO,由三视图,PO⊥面 ABCD,所以 AO⊥PO。 又 AO⊥BO, 所以 AO⊥面 PBD。 因为 AO ? 面 AGC,所以面 PBD⊥面 AGC …文 12 分,理 9 分 (理)③建立如图所示坐标系,由三视图知,PO= 2 ,AB=2,AC=2 2 ,AO= 2 , ∴P(0,0, 2 ) ,B(0, 2 ,0) ,A( 2 ,0,0) , C(- 2 ,0,0) BP ? (0,? 2, 2 ) ,

BA ? ( 2,? 2,0), BC ? (? 2,? 2,0)
设面 PBA 的法向量为 n=(x,y,z)

用心

爱心

专心

∴?

?n ? BP ? 0 ?? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? ,即? ? 2x ? 2 y ? 0 ?n ? BA ? 0 ? ?

令 x=1 得 y=1,z=1。 ∴n=(1,1,1) 设面 PBC 的法向量为 m ? ( x?, y ?, z ? ) ∴?

?m ? BP ? 0 ?? 2 y ? ? 2 z ? ? 0 ? ? ,即? ?? 2 x? ? 2 y ? ? 0 ?m ? BC ? 0 ? ?

令 x? ? 1得y ? ? ?1, z ? ? ?1 ∴m=(1,-1,-1) 。 设面 PAB 与 PBC 的夹角为θ , 则 cos? ?

m?n 1?1?1 1 ? ?? | m || n | 3 3? 3
1 3
………………理 12 分

所以面 PAB 与 PBC 的夹角为余弦值为 ? 4. (本小题满分 12 分)

一个多面体的直观图及三视图如图所示: (其中 E、F 分别是 PB、AD 的中点) (Ⅰ)求异面直线 PD 与 AE 所成角的余弦值; (Ⅱ)求证:EF⊥平面 PBC; (Ⅲ)求三棱锥 B—AEF 的体积。

解证: (Ⅰ)依题意知该多面体是底面为正方形的 四棱锥,且 PD⊥底面 ABCD,PD=DC=a 取 BD 中点 O,连接 EO,则 DO//PD,EO⊥ 底面 ABCD, EO ?

a 2

所以∠AEO 的为异面直线 PD 与 AE 所成的角。 ……4 分 在 Rt△AOE 中, OE ?

a 2 3 , AO ? a, AE ? OE 2 ? AO2 ? a 2 2 2

用心

爱心

专心

OE 所以 cos?AEO ? ? AE

a 2 ? 3 . 即异面直线 PD 与 AE 所成角的余弦值为 3 3 3 3 a 2

(Ⅱ)取 PC 的中点 G,连结 EG,GD,则

1 BC ,所以 GE // DF . ? 2 ? 由(Ⅰ)知 FD⊥平面 PDC, DG ? 面 PDC, EG //
所以 FD⊥DG。 所以四边形 FEGD 为矩形,因为 G 为等腰 Rt△RPD 斜边 PC 的中点,所以 DG⊥PC, 又 DG⊥GE,PC∩EG=E 所以 DG⊥平面 PBC,因为 DG//EF 所以 EF⊥平面 PBC。 ……………………10 分 (Ⅲ) VB ? AEF ? VE ? ABF ?

1 1 1 1 1 3 S ?ABF ? OE ? ? a 2 ? a ? a …………12 分 3 3 4 2 24

用心

爱心

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