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【2019年整理】81常数项级数的概念和性质_图文

§8.1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念
二、级数的基本性质

一、常数项级数的概念
例如, 为消除湖泊受到的有害 物质的污染, 通常可 采用从上游引入清水不 断将有害物质稀释 , 逐渐从下 游排出的办法. 若设某湖泊现有有害污 染物总量为Q , 在没有新的污染物产生 的情况下, 一周内可排除污染 1 1? 2? 物残留量的 .于是 , 第n 周的排污量为 un ? ? ? 3 3? 3? n ? 1, 2,? , 前 n 周累计排污量为
n ?1

Q,

Q ? u1 ? u2 ? ? ? un

1 n n ?1 1? ( ) 1 1 1? 2? 1? 2? 3 Q ? Q ? ? ?Q ? ? ? ? ? Q ? 3 1? 2 3 3? 3? 3? 3? 3

随着时间向后无限推移 , 即当n ? ? 时 , Q n 将收敛到 Q , 总排污量 Q 可以表示为无穷个数量之和 , 即
1 1? 2? 1? 2? Q ? ? ?Q ? ? ? ? ? 3 3? 3? 3? 3?
n?1

Q ??

又如 , 无理数 π ? 3.1415926? 也可以表示为无 穷个数的和的形式 , 即 1 1 1 1 1 π ? 3 ? 1? ? 4 ? 2 ? 1? 3 ? 5 ? 4 ? 9 ? 5 ? 10 10 10 10 10 1 1 2? 6 ? 6? 7 ?? 10 10

一般地,对于给定的数列 u1 , u2 , ?, un , ? 称

u1 ? u2 ? ? ? un ? ?

为常数项无穷级数 , 简称级数 , 记作 ? un , 即
n ?1

?

un ? u1 ? u2 ? ? ? un ? ? ? n ?1

?

其中第 n 项 un 称为级数的一般项(或通项) ,
级数的前 n 项和 u1 ? u2 ? ? ? un 称为级数的部分和 , 记作 S n , 即 S n ? u1 ? u2 ? ? ? un .

定义8.1 对于给定的级数 ? un , 如果其部分和数列
n ?1

?

{ S n } 有极限 S , 即
n? ? ?

lim S n ? S

则称级数 ? un 收敛 , 并且有和数 S , 记作
n ?1

un ? u1 ? u2 ? ? ? un ? ? S . ? n ?1

?

如果部分和数列 { S n } 没有极限 ( 发散 ) , 则称级 数 ? un 发散 .
n ?1 ?

n ?1 n ?1 无穷级数 aq ? a ? aq ? ? ? aq ? ? ( 8 ? 1) 例1 ? n ?1

?

称为几何级数 ( 又称为等比级数 ) , 其中 a ? 0 , q ? 0 . 试讨论该级数的敛散性 .
解 该级数的前n项部分和为

a ? aq S n ? a ? aq ? ? ? aq ? 1? q a , (1) 当 q ? 1 时, 有 lim S n ? n? ? 1? q
n ?1

n

(q ? 1)

a 所以级数 ( 8 ? 1 ) 收敛 , 且其和为 . 1? q

( 2) 当 q ? 1 时 , 有 lim S n ? ? ,
n??

所以上面级数发散 . ( 3) 当 q ? 1 时 , S n ? na ? ? ( n ? ? 时 ) ;
a 当 q ? ?1 时 , S n ? [1 ? ( ?1) n ?1 ] , 2

n ? ? 时 , S n 的极限不存在 ,
故当 q ? 1 时, 级数 ( 8 ? 1 ) 发散 .

q , 当 q ? 1 时发散 . 综上讨论 , 当 q ? 1 时收敛于 1? q

1 例2 判断级数 ? 的敛散性 . n?1 n( n ? 1)

?

1 1 1 解 因为 un ? ? ? n( n ? 1) n n ? 1 1 1 1 Sn ? ? ? ?? 1? 2 2 ? 3 n( n ? 1)
1? ? 1 1? 1 ? 1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1? 2? ? 2 3? n?1 ? ? n n ? 1? 1 ? ? lim S n ? lim? 1 ? ? 1. ? 从而 n ?? n? ? ? n ? 1? ? 1 所以,该级数收敛,且 有 ? ? 1. n?1 n( n ? 1)

1 例3 证明调和级数 ? 发散 . n ?1 n 证明 在区间 [n , n ? 1] 上对函数 ln x 使用拉格朗日
1 ln( n ? 1) ? ln n ? ? ( n ? ? n ? n ? 1) ?n n 利用不等式可得 1 1 Sn ? 1 ? ? ? ? 2 n ? (ln 2 ? ln 1) ? (ln 3 ? ln 2) ? ? ? [ln( n ? 1) ? ln n]
? ln( n ? 1)

?

微分中值定理 , 有

1

从而推出 lim Sn ? ?? , 因此调和级数 ? 1 发散 . n? ? n ?1 n

?

例4 对级数 ? 2n 作如下推导 : 设 S ? ? 2n , 于是
n? 0 n? 0

?

?

有 S ? 1 ? 2 ? 4 ? 8? ? 1 ? 2(1 ? 2 ? 4 ? ?) ? 1 ? 2 S 解得 S ? ?1 . 判断结论是否正确, 说明理由.
解 由于级数 ? 2 n 为正数之和 , 不可能为负, 结论
n? 0 ?

不正确.

问题在于该级数为几何级数 , 且 q ? 2 , 发散 , 并不存在和数 S .

二、级数的基本性质
性质8.1 设 c 为非零常数 , 则级数 ? cun 与级数
n ?1 ? ?

un 同时收敛或同时发散 , 且同时收敛时 , 有 ? n ?1 cun ? c ? un . ? n ?1 n ?1
证明 设级数 ? un 与级数 ? cun 的部分和分别为 Sn
n ?1 n ?1 ? ?
? ?

与 ? n , 则有

? n ? cu1 ? cu2 ? ? ? cun ? cSn

于是 , 由数列极限的性质 , 当 n ? ? 时 , ? n 与 Sn 同时收敛或同时发散 ,
即级数 ? cun 与 ? un 同时收敛或同时发散 ,
n ?1 n ?1 ? ?

且在收敛时有 lim? n ? c lim Sn ,
n?? n??

即有

cun ? c ? un . ? n ?1 n ?1

?

?

性质8.2 若级数 ? un 与级数 ? vn 都收敛 , 则级数
n ?1 n ?1

?

?

( un ? vn ) 收敛 , 且有 ? n ?1 ( un ? vn ) ? ? un ? ? vn . ? n ?1 n ?1 n ?1
证明
设级数 ? ( un ? vn ) , ? un 与 ? vn 的部分和分别
n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ?

?

?

?

?

为 ? n , Sn 与 Tn , 则有

? n ? ( u1 ? v1 ) ? ( u2 ? v2 ) ? ? ? ( un ? vn )
? ( u1 ? u2 ? ? ? un ) ? (v1 ? v2 ? ? ? vn ) ? Sn ? Tn

由于 n ? ? 时 Sn , Tn 极限存在 , 知 Sn ? Tn 极限也存在 , 且有 lim? n ? lim Sn ? lim Tn
n??
?

n??

n??

即有

(un ? v n) ? ? un ? ? v n ? n ?1 n ?1 n ?1

?

?

由性质 8.1和性质 8.2 ,
对于收敛级数
?

un 与 ? vn , 以及任意常数 ? n ?1 n ?1
? ?

?

?

a , b , 级数 ? (aun ? bvn ) 也收敛 , 且有
(aun ? bvn ) ? a ? un ? b? vn . ? n ?1 n ?1 n ?1
?

n ?1

由例1和例2可知,

? ( ?1)n 3 ? 级数 ? ? n?1 ? 收敛, 且有 ? n( n ? 1) ? n?1 ? 2
?
? ? ( ?1) 3 ? 1 ? 1? 1 ? ? 2n?1 ? n( n ? 1) ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 3? n( n ? 1) ? n ?1 ? n ?1 ? n ?1 ? 1 1 ?2 17 ? ?3? , 6 2 ? 1? 1? ?? ? ? 2? ? n ? n

(un ? vn ) 发散 . 级数 ? un 发散 , ? vn 收敛 , 必有 ?
n ?1 n ?1 n ?1

?

?

?

性质8.3 设 k 为任意正整数 , 则级数 ? un 与
n ?1

?

un 同 ? n? k ?1

?

时收敛或同时发散 .
证明 对于任意给定的正整数 k , 记 C k ? ? un ,
n ?1 k

设级数 ? un 的前 n 项部分和与
n ?1

?

un 的前 n ? k ? n ? k ?1

?

项部分和分别为 Sn , ? n? k ( n ? k ) , 于是有
S n ? ? n? k ? C k
因此 , 级数 ? un 与
n ?1 ?

un 有相同的敛散性 . ? n? k ?1

?

性质8.4 收敛级数加括号后所成 的级数仍然为收敛 级数 , 且收敛于原级数的和 .

例如 , 将相邻两项加括号 , 得级数
( u2 n?1 ? u2 n ) ? n ?1
?

? ( u1 ? u2 ) ? ( u3 ? u4 ) ? ? ? ( u2 n?1 ? u2 n ) ? ?

其部分和数列实际上是原级数部分和数列 { Sn } 的 子列 { S2 n }: S2 , S4 ,? S2 n ,?
于是 , 当级数 ? un 收敛时 , 必有部分和数列 { Sn } 收敛 ,
n ?1 ?

其子列{ S2n } 也必然收敛 , 且有相同的极限 S .

注意1 对于收敛级数,可以对它的项任意加括号, 但要注意不能改变相关项的次序.
注意2 加括号后的级数收敛,不能推得原级数收敛 (即性质的逆命题不一定成立).
将级数 ? ( ?1)n?1 的相邻两项合并得级数
n ?1 ?

(1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ? ? (1 ? 1) ? ?

收敛,且和为零, 但原级数发散的.

性质8.5 ( 级数收敛的必要条件 ) 如果级数 ? un 收敛 ,
n ?1

?

则其一般项趋向于零 , 即有 lim un ? 0.
n? ?
?

证明

由于级数 ? un 收敛 , 则有和数 S , 且有
n ?1

lim Sn ? lim Sn?1 ? S
n?? n??

从而有

lim un ? lim( Sn ? Sn?1 ) ? lim Sn ? lim Sn?1 ? 0.
n? ? n?? n? ? n? ?

注意 (1)如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
1 2 3 n ?1 n 例如, ? ? ? ? ? ( ?1) ?? 2 3 4 n?1

因此这个级数发散.
(2)一般项趋于零只是级数收敛的必要条件, 而非充分条件. 1 1 1 例如调和级数 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 n 1 有 lim un ? lim ? 0 , 但级数是发散的. n? ? n? ? n


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