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2013年4月上海市徐汇区高三数学二模试卷理科含答案


2012 学年第二学期徐汇区(松江、金山)高三年级数学学科
(理)参考答案 一.填空题:(本题共有 14 题,每小题 4 分) 1.

1 2

2.

? 2,3?
? 6

3. ?

24 7

4. 12? 9. ?

5. 19 10.

6. i ? 2 11. 15

7. ? cos ? ? 3 12. 1007(a ? b)

8. y ? ? x2 ? 3 ( ? 2 ? x ? 13. a ? 2 14.

2)

1 4

1 4

二.选择题: (本题共有 4 小题,每小题 5 分) 15. B 16. B 17. C 18.D 三.解答题 19. (本题 12 分) 解:由条件可得 sin( A ? C ) ?

3 ,……………2 分 2

即 sin B ?

3 ,……………4 分 2
1 3 ac sin B ? 3. ? ac ? 3. ………………………………8 分 2 4

S ?ABC ?

2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 b2 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B, ………………10 分

于是, 7 ? ( a ? c) ? 2 ? 3(1 ? ). ? a ? c ? 4 .
2

1 2

………………………………………12 分

20.(本题 14 分)本题共有 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 解: (1)由题意得燃料费 W1 ? kv ,………………………………2 分
2

把 v =10, W1 ? 96 代入得 k ? 0.96 .………………………………………………6 分
2 (2) W ? 0.96v ?

100 100 ?150 ? ,……………………………………9 分 v v 15000 ? 2 1440000 ? 2400 ,………………………11 分 = 96v ? v

其中等号当且仅当 96v ?

15000 15000 时成立,解得 v ? ? 12.5 ? 15 ,……………13 分 v 96 所以,该轮船航行 100 海里的总费用 W 的最小值为 2400(元). ……………………………14 分
z

21. (本题 14 分)本题共有 2 题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 解: (1)方法一: 以 A1B1 中点 O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.………1 分 由题意得
C1

D

C

B1

B

A1 ?1, 0, 0 ? , D 0,1, 3 , B ? ?1, 2, 0 ? , C 0, 2, 3
则 A1 D ? ?1,1, 3 , BC ? 1, 0, 3 .

?

?

?

?

?

?

?

?
x

y

O A1 A

.............3 分

设 ? 为向量 A 与BC 的夹角,则 1D

cos ? ? (?1) ? 1 ?
2 2

?1 ? 3
2

? 3?

? 1 ?
2

? 3?

2

?

5 ,.....5 分 5

C1

D

C

B1

E

BC 所成角的大小为 arccos 5 . 异面直线 A 1D 与 5 方法二:取 B1B 中点 E ,连结 A1E, DE .
DE // CB ………………………………….2 分

B

...... 6 分
A1 A

??A1DE (或其补角)为异面直线 A1D与BC 所成的角. ……3 分
由题意得: 在 Rt ?A 1B 1E 中, A 1 1 D 中, A 1E ? 5 ;在 Rt ?AC 1D ? 5 ;……………………4 分 在等腰三角形 A 1DE 中, ………5 分

DE 5 cos ?A1 DE ? 2 ? . A1 D 5

z

C1

D

C

BC 所成角的大小为arccos 所以异面直线 A 1D 与
(2)方法一: 由题意可得 A 1B 1 // 平面ABD ,

5 . 5

.... 6 分
O A1 x

B1

B

y

A

所以, A1B1 到平面 DAB 的距离即为 A1 到平面 DAB 的距离,设为 h . …………….8 分 设平面 ABD 的法向量为 n , n ? ? x, y ,1? ,

r

由 A1 (1, 0, 0), A ?1, 2, 0 ? , D 0,1, 3 , B ? ?1, 2, 0 ? 得
1

? AB ? ? ?2, 0, 0 ?, AD ? ? ?1 , ?1 ,3 ?, A D ? ? ?1,1, 3 ? ,…………………11 分
? AB ? n ? 0 ??2 x ? 0 ?x ? 0 ? ? ? ?? ?? ? ?? x ? y ? 3 ? 0 ? ?y ? 3 , ? ? AD ? n ? 0 ?

?

即 n ? 0, 3,1 . ……………………………………………………12 分 所以

?

?

h?

n ? A1D n

?

0? 3 ? 3 2

? 3,

故直线 A1B1 到平面 DAB 的距离为 3 .…………………………………14 分 方法二: 由题意可得 A 1B 1 // 平面ABD , 所以, A1B1 到平面 DAB 的距离即为 A1 到平面 DAB 的距离,设为 h .…………….8 分 由题意得 A 1D ? AD ? BD ? 5, AB ? 2 , 等腰 ?ADB 底边 AB 上的高为 5 ? 1 ? 2 , 则 S? AA1B ? 2 ,

S ? ABD ?

1 ? 2 ? 2 ? 2, 2

且 D 到平面 ABB1 A 1 的距离为 3 ,………………………………………12 分 由 VA1 ? ABD ? VD? A1 AB 得……………………………………………………………13 分

1 1 ? S? ABD ? h ? S? A1 AB ? 3 3 3

,则 h ? 3 ,

所以,直线 A1B1 到平面 DAB 的距离为 3 .……………14 分 22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3) 小题满分 6 分. 解:(1)由条件得

Sn 1 n ? 0 ? (n ? 1) ,即 Sn ? (n ? 1) ,…………………………..2 分 n 2 2
……………………………………………………..4 分

所以, an ? n ?1(n ? N * ) . (2) 由(1)可知 bn ?

4 ? (?2) n ?1 (n ? N * ) 15 4 4 4 4 (?2) 2 k ? 2 ? ? 22 k ? 2 , b2 k ? (?2) 2 k ?1 ? ? ? 22 k ?1 , 所以, b2 k ?1 ? 15 15 15 15 4 4 b2 k ?1 ? (?2) 2 k ? ? 22 k ,…………………………..7 分 15 15
由 2b2k ?1 ? b2k ? b2k ?1 及 b2k ? b2k ?1 ? b2k ?1 得

b2k , b2k ?1 , b2k ?1 依次成递增的等差数列,
所以 d k ? b2 k ?1 ? b2 k ?1 ?

…………………………..8 分

4 2 k 4 2 k ? 2 4k ?2 ? ?2 ? ,…………………………..9 分 15 15 5
…………………………..10 分

满足

d k ?1 ? 4 为常数,所以数列 ?dk ? 为等比数列. dk

(3)①当 k 为奇数时,
1 k ?1 5 ? Ck2 5k ? 2 ? 4k (5 ? 1) k 5k ? Ck dk ? ? ? 5 5 5

? (?1) k 1 ? 5
,…………………………..12 分

?5

k ?1

?C 5
1 k

k ?2

?C 5
2 k

k ?3

?

?C

k ?1 0 k

5 (?1)

k ?1

同样,可得 d k ?1 ?

4k ?1 (5 ? 1)k ?1 1 k ?1 ? ? 5k ? Ck ? Ck2?1 5k ?2 ? ?1 5 5 5

1 ? Ckk?1 50 (?1)k ? , 5
1 5

所以,集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数为 (d k ?1 ? ) ? ( d k ? ) ? 1

?

?

1 5

? d k ?1 ? d k ?

3 3(4k ? 1) ? ;……..13 分 5 5

②当 k 为偶数时,同理可得集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数为

?

?

3 ? (4k ? 1) . .…..16 5

分 23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题有三 个问题情形,每位考生只能选择一个作答,若多答,只对所答情形中最前面的一个记分,情形一、 二、三满分依次为 5 分、7 分、8 分。

x2 y 2 解:(1)设双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 a ? 1 ,…….2 分 a b


b y2 ? 2 ,得 b ? 2 ,所以,双曲线 C 的方程为 x 2 ? ? 1. a 2

………….4 分

(2) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,其方程为 x ? ?3 , A, B 的坐标为( ?3 , 4 )、( ?3 , ?4 ),

DA ? (?4, 4), DB ? (?4, ?4) ,得 DA ? DB =0.

………………..6 分

当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设此直线方程为 y ? k ( x ? 3) ,由 ?

? y ? k ( x ? 3)
2 2 ?2 x ? y ? 2



(2 ? k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 2 ? 0 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

6k 2 ?9k 2 ? 2 x ? x ? , ,……………..8 分 1 2 2 ? k2 2 ? k2

故 DA ? DB ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3)

? (k 2 ? 1) x1x2 ? (3k 2 ?1)( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ? 1.……....9 分
? (k 2 ? 1)
分 (3)当 M , N 满足 EM ? EN 时,取 M , N 关于 x 轴的对称点 M ? 、 N ? ,由对称性知 EM ? ? EN ? , 此时 MN 与 M ? N ? 所在直线关于 x 轴对称,若直线 MN 过定点,则定点必在 x 轴上. 分 设直线 MN 的方程为: x ? my ? t , …… ..11

?9k 2 ? 2 6k 2 2 2 (3 k ? 1) + + 9k ? 1 =0 . 综上, DA ? DB =0 为定值. ………………10 2 2 2?k 2?k

由?

? x ? my ? t ?b x ? a y ? a b
2 2 2 2 2 2

,得 (b m ? a ) y ? 2b mty ? b (t ? a ) ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

?2b 2 mt b 2 (t 2 ? a 2 ) y y ? , , 1 2 b2 m2 ? a 2 b2 m2 ? a 2

由 EM ? EN ,得 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? y1 y2 ? 0 , (my1 ? t ? a)(my2 ? t ? a) ? y1 y2 ? 0 , 即 (1 ? m2 ) y1 y2 ? m(t ? a)( y1 ? y2 ) ? (t ? a)2 ? 0 ,

(1 ? m2 )

b2 (t 2 ? a 2 ) 2b2 mt ? m ( t ? a ) ? (t ? a) 2 ? 0 , b 2 m2 ? a 2 b 2 m2 ? a 2 a(a 2 ? b 2 ) 或 t ? a (舍), ……………………………………….13 分 a 2 ? b2 a(a 2 ? b 2 ) ,0). a 2 ? b2
………………………………..14 分

化简得, t ?

所以,直线 MN 过定点(

情形一:在双曲线? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 中,若 E ? 为它的左顶点, M , N 为双曲线 a 2 b2

? 上 的 两 点 ( 都 不 同 于 点 E ? ) , 且 E ? M? ?E N , 则 直 线 MN 过 定 点
(?

a(a 2 ? b 2 ) ,0). …….15 分 a 2 ? b2

情形二:在抛物线 y 2 ? 2 px( p? 0)中,若 M , N 为抛物线上的两点 ( 都不同于原点 O ) ,且

OM ? ON ,则直线 MN 过定点 (2 p, 0) .
情形三: (1)在椭圆

…………..16 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中,若 E 为它的右顶点, M , N 为椭圆上的两点(都不 a 2 b2 a(a 2 ? b 2 ) ,0);…………..15 分 a 2 ? b2

同于点 E ), 且 EM ? EN ,则直线 MN 过定点(

(2)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中,若 E ? 为它的左顶点, M , N 为椭圆上的两点(都不同于点 a 2 b2 a (b 2 ? a 2 ) ,0) ;………..16 分 a 2 ? b2

E ? ),且 E ?M ? E ?N ,则直线 MN 过定点(

(3) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中, M , N 为椭圆上的两点(都不同于点 F ), 若 F 为它的上顶点, a 2 b2
………..17 分

b(b 2 ? a 2 ) 且 FM ? FN ,则直线 MN 过定点(0, ); a 2 ? b2
(4) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中, M , N 为椭圆上的两点(都不同于点 F ? ), 若 F ? 为它的下顶点, a 2 b2 b( a 2 ? b 2 ) ). a 2 ? b2
………..18 分

且 F ?M ? F ?N ,则直线 MN 过定点(0,

\


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