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复变函数绪论._图文

绪论:课程设置的背景 〇、引言 一、 ?1 的引出 二、复数与复变函数 三、复变函数论的发展 四、复变函数论的应用 五、课程教材、授课内容及要求 〇、引言 1. 《复变函数论》+《数学物理方程》统称为 《数学物理方法》,它既是数学课程,又是物理 课程。 2. 作为数学课程,不应该将数学的严谨性置之不 顾,而作为物理课程,不必在数学理论上花费太 多功夫,而应该以鲜明的思路引导读者迅速掌握 这些数学工具,并应用于物理疑问。 2 3. 《数学物理方法》是搭接基础数学和基础物理 学的桥梁,同时又是一种横向的“粘合剂”,在 基础数学和基础物理学的基础上,固化了“四大 力学”(理论力学,材料力学,弹性力学和流体 力学)的知识大厦。在“四大力学”的支撑下, 才有了航空发动机和火箭发动机的问世,才有了 现代航空宇航科学技术的进步,也才有了人类航 空航天事业的的蓬勃发展。 3 一、 ? 1 的引出 十六世纪中叶,意大利人卡尔丹(Cardan, 1545),在解三次方程时,首先产生了负数开平 方的思想,他把40看做是两个数的乘积 5 ? ?15 5 ? ?15 即 (5 ? ?15)(5 ? ?15) ? 52 ? ( ?15)2 ? 25? (?15) ? 40 然而以上只不过是一种纯形式上的表示而已,当 时谁也说不上这样表示究竟有什么好处。 4 考察三次方程有几个根? x ?1 ? 0 3 显而易见:是上述方程的一个根是x=1。 是否还有根?设存在另外两个根: x ? ?1 x ? ?2 ( x ?1)(x ? ?1 )(x ? ?2 ) ? 0 x ? (?1 ? ?2 ? 1) x ? (?1 ? ?2 ? ?1?2 ) x ? ?1?2 ? 0 3 2 5 对比原方程可知 ?1?2 ? 1 ① ② ?1 ? ?2 ? ?1 ?2 ? ??1 ? 1 ?1 (?1 ? 1) ? ?1 ? ? ?1 ?1 ? 0 2 1 ? 1 ? ? 3 ? 1 ? 3i ?1 ? ? 2 2 ? 1 ? ? 3 ? 1 ? 3i ?2 ? ? 2 2 6 为了使负数开平方有意义,也就是要使上述这 类方程有解,需要再一次扩大数系 正整数 零 负整数 实数 虚数 有理数 整数 分数 实数 有理数 无理数 自然数 整数 复数 由此引进虚数的概念,使实数域扩大到复数域。 7 关于复数理论最系统的叙述,是由瑞士数学 家欧拉(Euler)作出的。他在1777年系统的建 立了复数理论。发现了复指数函数与三角函数之 间的关系,创立了复变函数论的一些基本定理, 并开始把它们用到水力学和地理制图学上。用符 号“i”作为虚数的单位,也是他首创的。此后, 复数才被人们广泛承认和使用。 i?? i ? ?1 2 i ? ?1 8 二、复数与复变函数 我们将形如 z ? x ? iy 的数称为“复数”,其中“i ”称为“虚数单 位”,并规定 i ? i ? i ? ?1 2 i ? ?1 x和y是任意实数,依次称为复数z的实部(Real) 和虚部(Imaginary),分别表示为 Re z ? x Im z ? y 9 例如,对复数 z ? 2 ? i 有 Re z ? 2 Im z ? 1 当y ? 0时,z ? x ? iy ? x ? i0,我们就认定它是实数x 当x ? 0时, z ? x ? iy ? 0 ? iy,我们认定它是纯虚数iy 0 ? i0 即可看作是实数0,也可看作是纯虚数0i 10 两个复数的相等? 对于两个复数: z1 ? x1 ? iy1 如果 则称 z2 ? x2 ? iy2 y1 ? y2 x1 ? x2 z1 ? z2 当且仅当x ? y ? 0时,z ? 0 11 一个复数x+iy可以唯一的对应一个有序实数 对(x,y),而有序实数对与坐标平面上的点是 一一对应的,所以,复数z全体与坐标平面上的 点的全体形成一一对应。 现在我们直接把坐标 平面上的点写成x+iy, 那么,横轴上的点就表 示实数,纵轴上的点就 表示纯虚数,整个坐标 平面称为复平面。 y x ? yi 0 x 12 今后,我们将复数与复平面的点不加区分, 这种点-数等同将给我们带来许多方便。在点-数 等同的观点下,一个复数集合就是一个平面点集, 因此,很自然地,某些特殊的平面点集就可以用 复数所满足的某种关系式来表示,例如 ?z : Im z ? 0?:表示上半平面 ?z : 0 ? Re z ? 1,0 ? Im z ? 1?: 表示以0, 11 , ? i,i为顶点的正方形 13 最初,由于对复数的有关概念及性质了解 的不清楚,用它们进行计算又得到一些矛盾, 因而,长期以来,人们把复数看做不能接受的 函数,直到17世纪和18世纪,随着微积分的发 明与发展,情况才逐渐有了改变。另外的原因, 是由于这个时期复数有了集合解释,并把它与 平面向量对应起来解决实际问题的缘故。 y x ? yi 0 x 14 复数与平面上的点是一一对应的,这是将 复数实部和虚部分别看作直角坐标系下点的横 坐标和纵坐标。除此以外,复数还可以同平面 向量一一对应,只要将复数的实部和虚部分别 看作向量的水平分量和垂直分量就行了。所以 我们也可以把复数与平面向量等同起来,不过 要注意,向量具有“平移不变性”,即其起点 可在任意一点。如果把向量的起点放在(复平 面的)坐标原点,则此向量及向量的终点在上 述两种对应下恰好对应同一个复数。 15 设G是复平面上一点集,如果对于G中任意一 点z,有确定的(一个或多个)复数w同它对应, 则说在G定义了一个“复变函数”,记做 w ? f ( z) 复变函数的定义域与值域等名称都可以从高 等数学中移植过来。 16 如果对于每个z ? G, 有唯一的w与它对应 则称w ? f ( z )为单值

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