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2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2教学案:第3章 3.1 数系的扩充含答案

[对应学生用书 P52] 一、合情推理和演绎推理 1.归纳和类比是常用的合情推理,都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联 想,再进行归纳类比,然后提出猜想的推理.从推理形式上看,归纳是由部分到整体,个别 到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理. 2.从推理所得结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在 前提和推理形式都正确的前提下, 得到的结论一定正确. 从二者在认识事物的过程中所发挥 作用的角度考虑,它们又是紧密联系,相辅相成的.合情推理的结论需要演绎推理的验证, 而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得.合情推理可以为演绎推理提供方向和思路. 二、直接证明和间接证明 1.直接证明包括综合法和分析法: (1)综合法是“由因导果”.它是从已知条件出发,顺着推证,用综合法证明命题的逻 辑关系是:A?B1?B2?…?Bn?B(A 为已经证明过的命题,B 为要证的命题).它的常见书 面表达是“∵,∴”或“?”. (2)分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件.它是从要求证的结论 出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知(已知条件,包括学过的定义、定 理、公理、公式、法则等).用分析法证明命题的逻辑关系是:B?B1?B2?…?Bn?A.它的常见 书面表达是“要证……只需……”或“?”. 2.间接证明主要是反证法: 反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设 错误, 从而证明了原命题成立, 这样的证明方法叫做反证法, 反证法是间接证明的一种方法. 反证法主要适用于以下两种情形: (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究 一种或很少的几种情形. 三、数学归纳法 数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为归纳奠基,是论证的基础保证,即通过验证落 实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为归纳递推,是命题具有后继传递性 的保证,两步合在一起为完全归纳步骤,这两步缺一不可,第二步中证明“当 n=k+1 时结 论正确”的过程中,必须用“归纳假设”,否则就是错误的. ?对应阶段质量检测?二?? ? ? ? 见8开试卷 ? 一、填空题(本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在题中横线上) 1.(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 解析:由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市,乙去过 A 城市或 C 城市,结合乙 的回答可得乙去过 A 城市. 答案:A 2.周长一定的平面图形中圆的面积最大,将这个结论类比到空间,可以得到的结论是 ________. 解析:平面图形中的图类比空间几何体中的球,周长类比表面积,面积类比体积. 故可以得到的结论是:表面积一定的空间几何体中,球的体积最大. 答案:表面积一定的空间几何体中,球的体积最大 3.下列说法正确的是________.(写出全部正确命题的序号) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推 理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、 小前提和推理形式有 关 解析:如果演绎推理的大前提和小前提都正确,则结论一定正确.大前提和小前提中, 只要有一项不正确,则结论一定也不正确.故②错误. 答案:①③④ 4.“因为 AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线,所以 AC,BD 互相垂直且平分.”以上推 理的大前提是________. 答案:菱形对角线互相垂直且平分 5.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在 空间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为________. 1 Sh V1 3 1 1 ?S1? h1 1 1 1 解析: = =? S ? · = × = . V2 1 2 8 2 h2 4 S2h2 3 答案:1∶8 6.(陕西高考)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12 猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是________. 解析:三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;立方体中 6+8-12=2,由此归 纳可得 F+V-E=2. 答案:F+V-E=2 7.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的一个性质为 ________. 解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的 中点对应的就是正四面体各正三角形的中心, 故可猜想: 正四面体的内切球切于四个侧面各 正三角形的中心. 答案:正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心 8.已知 x,y∈R ,当 x2+y2=________时,有 x 1-y2+y 1-x2=1. + 解析:要使 x 1-y2+y 1-x2=1, 只需 x2(1-y2)=1+y2(1-x2)-2y 1-x2, 即 2y 1-x2=1-x2+y2. 只需使( 1-x2-y)2=0, 即 1-x2=y,∴x2+y2=1. 答案:1 9.用数学归纳法证明 1+2+22+…+2n 1=2n-1(n∈N*)的过程如下: - ①当 n=1 时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立; ②假设当 n=k(k∈N*)时,等式成立,即 1+2+22+…+2k 1=2k-1; - 1-2k 1 k+1 - ③则当 n=k+1 时,1+2+22+…+2k 1+2k= =2 -1,则当 n=k+1 时等式 1-2 + 成立.由此可知,对任何 n∈N*

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