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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.1.3 导数的概念]

选修2-2 第一章 1.1 1.1.3 

一、选择题 1.(2013·济宁梁山一中期中)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A 处的切线斜率等于(  ) A.0    B.2    C.4    D.6 [答案] D [解析] Δy=2(1+Δx)3-2×13=6(Δx)+6(Δx)2+(Δx)3, =[(Δx)2+ 6Δx+6]=6,故选D. 2.(2013·安阳中学期末)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y-6=0平行,则a等于(  ) A.1 B. C.- D.-1 [答案] A [解析] ∵y′|x=1= = = (2a+aΔx)=2a, ∴2a=2,∴a=1. 3.曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为(  ) A.1 B. C.π D.- [答案] B [解析] ∵y′=li =li[x2+xΔx+(Δx)2]=x2, ∴切线的斜率k=y′|x=1=1. ∴切线的倾斜角为,故应选B.

4.设f ′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线(  ) A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 [答案] B [解析] 由导数的几何意义知B正确,故应选B. 5.设f(x)为可导函数且满足 =-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处 的切线斜率为(  ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 [答案] B [解析]  = = =f ′(1)=-1. 6.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(  ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 [答案] C [解析] 因为y′= = ((Δx)2+3xΔx+3x2)=3x2,所以切线的斜率k =f ′(1)=3,又因为切点为P(1,12),故切线方程为3x-y+9=0,令x= 0,得y=9. 二、填空题 7.已知函数f(x)=x3+2,则f ′(2)=________. [答案] 12 [解析] f ′(2)= = =[4+4Δx+(Δx)2+4+2Δx+4] =[12+6Δx+(Δx)2]=12. 8.曲线y=x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积

为________. [答案] 54 [解析] 因为f ′(3)=li =27, 所以在点(3,27)处的切线方程为y-27=27(x-3)即y=27x-54. 此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0),(0,-54). 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=×2×54=54. 9.若函数f(x)=x-,则它与x轴交点处的切线的方程为________. [答案] 2x-y-2=0或2x-y+2=0 [解析] 由f(x)=x-=0得x=±1,即与x轴交点坐标为(1,0)或(- 1,0). ∵f ′(x)=li =li =1+. ∴切线的斜率k=1+=2. ∴切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1). 即2x-y-2=0或2x-y+2=0. 三、解答题 10.求曲线y=-上一点P处的切线方程. [解析] ∴y′= = = =-- . ∴y′|x=4=--=-, ∴曲线在点P处的切线方程为: y+=-(x-4). 即5x+16y+8=0.

一、选择题

11.(2013·嘉兴高二检测)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则为(  ) A.   B.-   C.   D.- [答案] D [解析] 由导数的定义可得y′=3x2, ∴y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=y′|x=1=3, 由条件知,3×=-1,∴=-. 12.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1 =0,则f(1)+2f ′(1)的值是(  ) A. B.1 C. D.2 [答案] D [解析] ∵(1,f(1))在直线x-2y+1=0上, ∴1-2f(1)+1=0,∴f(1)=1. 又∵f ′(1)=,∴f(1)+2f ′(1)=1+2×=2.故选D. 13.已知y=f(x)的图象如图,则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是 (  )

A.f ′(xA)>f ′(xB) C.f ′(xA)=f ′(xB)

B.f ′(xA)<f ′(xB) D.不能确定

[答案] B [解析] 由图可知,曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切 线的斜率小,结合导数的几何意义知f ′(xA)<f ′(xB),选B. 二、填空题 14.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别 为(0,4),(2,0),(6,4),则 =__________________.

[答案] -2 [解析] 由导数的概念和几何意义知, =f ′(1)=kAB==-2. 15.设f(x)=f ′(1)+,则f(4)=________. [答案]  [解析] f ′(1)= = = = =, ∴f(x)=+, ∴f(4)=+=. 三、解答题 16.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线

l. (1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程; (2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程. [解析] (1)y′=li =3x2-3. 则过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率 k1=f ′(1)=0, ∴所求直线方程为y=-2. (2)设切点坐标为(x0,x-3x0), 则直线l的斜率k2=f ′(x0)=3x-3, ∴直线l的方程为y-(x-3x0)=(3x-3)(x-x0) 又直线l过点P(1,-2), ∴-2-(x-3x0)=(3x-3)(1-x0), ∴x-3x0+2=(3x-3)(x0-1),∴(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0= 1(舍去)或x0=-. 故所求直线斜率k=3x-3=-, 于是:y-(-2)=-(x-1),即9x+4y-1=0. 17.(2013·临沂质检)已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经 过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范 围;若不存在,请说明理由. [解析] ∵==2x+Δx, ∴y′=li =li (2x+Δx)=2x. 设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y′|x=x0=2x0,由点斜式 可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0). 又∵切线过点(1,a),且y0=x+1, ∴a-(x+1)=2x0(1-x0), 即x-2x0+a-1=0.∵切线有两条, ∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2. 故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的

取值范围是{a|a<2}.


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