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2013年中考试题分类汇编相似三角形


相似三角形
1、 (2013?昆明)如图,在正方形 ABCD 中,点 P 是 AB 上一动点(不与 A,B 重合) ,对 角线 AC,BD 相交于点 O,过点 P 分别作 AC,BD 的垂线,分别交 AC,BD 于点 E,F, 交 AD,BC 于点 M,N.下列结论: ① △ APE≌ △ AME;② PM+PN=AC;③ PE +PF =PO ;④ △ POF∽ △ BNF;⑤ 当△ PMN∽ △ AMP 时,点 P 是 AB 的中点. 其中正确的结论有( )
2 2 2

A.5 个 B.4 个 C .3 个 D.2 个 2、 如图, Rt△ ABC 中, ∠ ACB=90°, ∠ ABC=60°, BC=2cm, D 为 BC 的中点, 若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发,沿着 A→B→A 的方向运动,设 E 点的运动时间为 t 秒(0≤t<6) ,连接 DE,当△ BDE 是直角三角形时,t 的值为( )

第3题 第4题 A.2 B.2.5 或 3.5 C.3.5 或 4.5 D.2 或 3.5 或 4.5 3、如图,△ ABC 中,DE∥ BC,DE=1,AD=2,DB=3,则 BC 的长是( )

4、 如图, 在?ABCD 中, E 为 CD 上一点, 连接 AE、 BD, 且 AE、 BD 交于点 F, S△DEF: S△ABF=4: 25,则 DE:EC=( ) A.2:5 B.2:3 C.3:5 D.3:2 5、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=9,∠ BAD 的平分线交 BC 于 E,交 DC 的 延长线于 F,BG⊥ AE 于 G,BG= ,则△ EFC 的周长为( )

A.11
1

B.10

C .9

D.8

6、 如图, 在?ABCD 中, E 在 AB 上, CE、 BD 交于 F, 若 AE: BE=4: 3, 且 BF=2, 则 DF=

..

第6题 第7题 7、如图,DE 是△ ABC 的中位线,延长 DE 至 F 使 EF=DE,连接 CF,则 S△CEF:S 四边形 BCED 的值为( ) A.1:3 B.2:3 C.1:4 D.2:5 8、如图,D 是△ ABC 的边 BC 上一点,已知 AB=4,AD=2.∠ DAC=∠ B,若△ ABD 的面积为 a,则△ ACD 的面积为( )

第8题 A.a B. C. D.

第9题

第 10 题 9、如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为 S1,S2, 则 S1+S2 的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 10、 (孝感)如图,在△ ABC 中,AB=AC=a,BC=b(a>b) .在△ ABC 内依次作∠ CBD=∠ A, ∠ DCE=∠ CBD,∠ EDF=∠ DCE.则 EF 等于( ) A. B. C. D.

11、如图,点 A,B,C,D 的坐标分别是(1,7) , (1,1) , (4,1) , (6,1) ,以 C,D,E 为顶点的三角形与△ ABC 相似,则点 E 的坐标不可能是( )

A.(6,0)

B.(6,3)

C.(6,5)

D.(4,2)

2

12、 如图, 正方形 ABCD 是一块绿化带, 其中阴影部分 EOFB, GHMN 都是正方形的花圃. 已 知自由飞翔的小鸟,将随机落在这块绿化带上,则小鸟在花圃上的概率为( )

A.

B. 1

C.

D.

2
13、如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O,E 为 OD 的中点,连接 AE 并延长交 DC 于点 F,则 DF:FC=( ) A.1:4 B.1:3 C.2:3 D.1:2 14、如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8,另一个与它相似的直角三角形边长分别 是 3、4 及 x,那么 x 的值( A. 只有 1 个 ) C. 可以有 3 个 D. 有无数个 )

B. 可以有 2 个

15、如图,Rt△ ABC 中,∠ A=90°,AD⊥ BC 于点 D,若 BD:CD=3:2,则 tanB=(

A.

B.

C.

D.

16、如图,点 A,B,C,D 为⊙ O 上的四个点,AC 平分∠ BAD,AC 交 BD 于点 E,CE=4, CD=6,则 AE 的长为( ) A.4 B.5 C .6 D.7 17、 (牡丹江)如图,在△ ABC 中∠ A=60°,BM⊥ AC 于点 M,CN⊥ AB 于点 N,P 为 BC 边的 中点, 连接 PM, PN, 则下列结论: ① PM=PN; ② 时,BN= PC.其中正确的个数是( ) ; ③ △ PMN 为等边三角形; ④ 当∠ ABC=45°

A.1 个
3

B.2 个

C .3 个

D.4 个

18、 如图,在△ABC 中,M、N 分别是边 AB、AC 的中点,则△AMN 的面积与四边形 MBCN 的 面积比为( ). (A)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

2 3

第20题

第21题

19、如图4,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD, NF⊥AB. 若 NF = NM = 2,ME = 3,则 AN =( ) A.3 B.4 C.5 D.6 20、如图,路灯距离地面 8 米,身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部(点 O)20 米的 A 处, 则小明的影子 AM 长为 米. 21、如图,在△ ABC 中,D 是 AB 边上的一点,连接 CD,请添加一个适当的条件 , 使△ ABC∽ △ ACD. (只填一个即可) 22、如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网 4 米的位置上,则球拍击球 的高度 h 为 .

第 23 题 23、将一副三角尺如图所示叠放在一起,则 的值是 .

24、 (台湾)如图,将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块,其中甲、丙为梯形, 乙为三角形.根据图中标示的边长数据,比较甲、乙、丙的面积大小,下列判断何者正确? ( )

A.甲>乙,乙>丙

B.甲>乙,乙<丙

C.甲<乙,乙>丙

D.甲<乙,乙<丙

4

25、 如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点 A,在近岸取点 B,C,D,使 得 AB⊥BC,CD⊥BC,点 E 在 BC 上,并且点 A,E,D 在同一条直 线上。若测得 BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度 AB 等于 A. 60m C. 30m B. 40m D. 20m

26、 (牡丹江)劳技课上小敏拿出了一个腰长为 8 厘米,底边为 6 厘米的 等腰三角形,她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是 1:2 的平行四 边形,平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角,平行四边形 的其它顶点均在三角形的边上,则这个平行四边形的较短的边长为 . 27、如图,△ ABC 中,E、F 分别是 AB、AC 上的两点,且 则四边形 EBCF 的面积为 . ,若△ AEF 的面积为 2,

第 27 题 第 28 题 第 29 题 28、如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是边长为 2 的正方形,顶点 A、C 分别在 x, y 轴的正半轴上. 点 Q 在对角线 OB 上, 且 QO=OC, 连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB 于点 P. 则 点 P 的坐标为 . 29、如图,∠ BAC=∠ DAF=90°,AB=AC,AD=AF,点 D、E 为 BC 边上的两点,且∠ DAE=45°, 连接 EF、BF,则下列结论: 2 2 2 ① △ AED≌ △ AEF;② △ ABE∽ △ ACD;③ BE+DC>DE;④ BE +DC =DE , 其中正确的有( )个. A.1 B.2 C .3 D.4 30、如图,在边长为 9 的正三角形 ABC 中,BD=3,∠ ADE=60°,则 AE 的长为 .

31、如图,P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点,E、F 分别为 PB、PC 的中点,Δ PEF、Δ PDC、 Δ PAB 的面积分别为 S、S1、S2。若 S=2,则 S1+S2=
5

32、如图,在△ ABC 中,AB=AC,BD=CD,CE⊥ AB 于 E.求证:△ ABD∽ △ CBE.

33.网格图中每个方格都是边长为 1 的正方形. 若 A,B,C,D,E,F 都是格点, 试说明△ABC∽△DEF. C F A B E D

34、如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥ BC,垂足为 E,连接 DE,F 为线段 DE 上一点,且∠ AFE=∠ B (1)求证:△ ADF∽ △ DEC; (2)若 AB=8,AD=6 ,AF=4 ,求 AE 的长.

35、如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,翻折∠ C,使点 C 落在斜边 AB 上某一点 D 处,折痕为 EF(点 E、F 分别在边 AC、BC 上) (1)若△ CEF 与△ ABC 相似. ① 当 AC=BC=2 时,AD 的长为 ; ② 当 AC=3,BC=4 时,AD 的长为 ; (2)当点 D 是 AB 的中点时,△ CEF 与△ ABC 相似吗?请说明理由.

6

36、在矩形 ABCD 中,DC=2 ,CF⊥ BD 分别交 BD、AD 于点 E、F,连接 BF. (1)求证:△ DEC∽ △ FDC; (2)当 F 为 AD 的中点时,求 sin∠ FBD 的值及 BC 的长度.

37、已知在△ ABC 中,∠ ABC=90°,AB=3,BC=4.点 Q 是线段 AC 上的一个动点,过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB(如图 1)或线段 AB 的延长线(如图 2)于点 P. (1)当点 P 在线段 AB 上时,求证:△ APQ∽ △ ABC; (2)当△ PQB 为等腰三角形时,求 AP 的长.

38、如图,点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点,连接 DP 并延长 DP 交边 AB 于点 E, 连接 BP 并延长交边 AD 于点 F,交 CD 的延长线于点 G. (1)求证:△ APB≌ △ APD; (2)已知 DF:FA=1:2,设线段 DP 的长为 x,线段 PF 的长为 y. ① 求 y 与 x 的函数关系式; ② 当 x=6 时,求线段 FG 的长.

7

39、 【提出问题】 (1)如图 1,在等边△ ABC 中,点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B、C) ,连结 AM, 以 AM 为边作等边△ AMN,连结 CN.求证:∠ ABC=∠ ACN. 【类比探究】 (2)如图 2,在等边△ ABC 中,点 M 是 BC 延长线上的任意一点(不含端点 C) ,其它条件 不变, (1)中结论∠ ABC=∠ ACN 还成立吗?请说明理由. 【拓展延伸】 (3)如图 3,在等腰△ ABC 中,BA=BC,点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B、C) ,连 结 AM,以 AM 为边作等腰△ AMN,使顶角∠ AMN=∠ ABC.连结 CN.试探究∠ ABC 与∠ ACN 的数量关系,并说明理由.

40、在△ ABC 中,∠ CAB=90°,AD⊥ BC 于点 D,点 E 为 AB 的中点,EC 与 AD 交于点 G, 点 F 在 BC 上. (1)如图 1,AC:AB=1:2,EF⊥ CB,求证:EF=CD. (2)如图 2,AC:AB=1: ,EF⊥ CE,求 EF:EG 的值.

8

41、如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点 M,N 从点 C 同时出发,均 以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、 CB 向终点 A, B 移动, 同时动点 P 从点 B 出发, 以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动,连接 PM,PN,设移动时间为 t(单位:秒,0<t<2.5) . (1)当 t 为何值时,以 A,P,M 为顶点的三角形与△ ABC 相似? (2)是否存在某一时刻 t,使四边形 APNC 的面积 S 有最小值?若存在,求 S 的最小值; 若不存在,请说明理由.

42、如图,在矩形 ABCD 中,点 P 在边 CD 上,且与 C、D 不重合,过点 A 作 AP 的垂线 与 CB 的延长线相交于点 Q,连接 PQ,M 为 PQ 中点. (1)求证:△ ADP∽ △ ABQ; 2 (2)若 AD=10,AB=20,点 P 在边 CD 上运动,设 DP=x,BM =y,求 y 与 x 的函数关系 式,并求线段 BM 的最小值; (3)若 AD=10,AB=a,DP=8,随着 a 的大小的变化,点 M 的位置也在变化.当点 M 落 在矩形 ABCD 外部时,求 a 的取值范围.

43、如图,在边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 边上的点,BE=1,∠ AEP=90°,且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P,交边 CD 于点 F, (1) 的值为 ;

(2)求证:AE=EP; (3)在 AB 边上是否存在点 M,使得四边形 DMEP 是平行四边形?若存在,请给予证明; 若不存在,请说明理由.

9

44、如图,四边形 ABCD 中,AC 平分∠ DAB,∠ ADC=∠ ACB=90°,E 为 AB 的中点, (1)求证:AC =AB?AD; (2)求证:CE∥ AD; (3)若 AD=4,AB=6,求 的值.
2

45、如图,点 O 为矩形 ABCD 的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点 E、F、G 分别从 A、 B、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点 E 的运动速度为 1cm/s,点 F 的运动速度为 3cm/s,点 G 的运动速度为 1.5cm/s,当点 F 到达点 C(即点 F 与点 C 重合) 时, 三个点随之停止运动. 在运动过程中, △ EBF 关于直线 EF 的对称图形是△ EB′ F. 设点 E、 F、G 运动的时间为 t(单位:s) . (1)当 t= s 时,四边形 EBFB′ 为正方形; (2)若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C,G 为顶点的三角形相似,求 t 的值; (3)是否存在实数 t,使得点 B′ 与点 O 重合?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理 由.

10

46、如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E 是 BC 上的一个动点, 连接 DE,交 AC 于点 F. (1)如图① ,当 时,求 的值; OA;

(2)如图② 当 DE 平分∠ CDB 时,求证:AF=

(3)如图③ ,当点 E 是 BC 的中点时,过点 F 作 FG⊥ BC 于点 G,求证:CG= BG.

47、如图,在平面直角坐标系中,点 0 为坐标原点,A 点的坐标为(3,0),以 0A 为边作等 边三角形 OAB,点 B 在第一象限,过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴于点 C.动点 P 从 0 点出发沿 0C 向 C 点运动,动点 Q 从 B 点出发沿 BA 向 A 点运动,P,Q 两点同时出发,速度均为 1 个单 位/秒。设运动时间为 t 秒. (1)求线段 BC 的长; (2)连接 PQ 交线段 OB 于点 E, 过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F。 设线段 EF 的长 为 m,求 m 与 t 之间的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取值范围: 1 1 1 (3)在(2)的条件下,将△BEF 绕点 B 逆时针旋转得到△BE F ,使点 E 的对应点 E 落在线 段 AB 上, 点 F 的对应点是 F , E F 交 x 轴于点 G, 连接 PF、 QG, 当 t 为何值时, 2BQ-PF=
1 1 1

3 QG? 3

11

48、如图,在△ ABC 中,∠ C=90°,BC=3,AB=5.点 P 从点 B 出发,以每秒 1 个单位长度沿 B→C→A→B 的方向运动;点 Q 从点 C 出发,以每秒 2 个单位沿 C→A→B 方向的运动,到 达点 B 后立即原速返回,若 P、Q 两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为 ι 秒. (1)当 ι= 时,点 P 与点 Q 相遇; (2)在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中,当 ι 为何值时,△ PCQ 为等腰三角形? (3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,设△ PCQ 的面积为 s 平方单位. ① 求 s 与 ι 之间的函数关系式; ② 当 s 最大时,过点 P 作直线交 AB 于点 D,将△ ABC 中沿直线 PD 折叠,使点 A 落在直线 PC 上,求折叠后的△ APD 与△ PCQ 重叠部分的面积.

49、如图,在△ ABC 中,∠ B=45°,BC=5,高 AD=4,矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上,E、 F 分别在 AB、AC 上,AD 交 EF 于点 H. (1)求证: ;

(2)设 EF=x,当 x 为何值时,矩形 EFPQ 的面积最大?并求出最大面积; (3)当矩形 EFPQ 的面积最大时,该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向 上运动(当矩形的边 PQ 到达 A 点时停止运动) ,设运动时间为 t 秒,矩形 EFPQ 与△ ABC 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围.

12

50、已知,如图,□ABCD 中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点 P 从点 A 出发,沿 AD 方向匀速运动,速度为 3cm/s;点 Q 从点 C 出发,沿 CD 方向匀速运动,速度为 1cm/s,连 接并延长 QP 交 BA 的延长线于点 M,过 M 作 MN⊥BC,垂足是 N,设运动时间为 t(s) (0<t<1),解答下列问题: (1)当 t 为何值时,四边形 AQDM 是平行四边形? (2)设四边形 ANPM 的面积为 y (cm?),求 y 与 t 之间的函数关系式; (3) 是否存在某一时刻 t,使四边形 ANPM 的面积是□ABCD 面积的一半,若存在,求出 相应的 t 值,若不存在,说明理由 (4)连接 AC,是否存在某一时刻 t,使 NP 与 AC 的交点把线段 AC 分成 2 : 1的两部分? 若存在,求出相应的 t 值,若不存在,说明理由

M A O Q B N C P D

A

D

B
第 24 题备用图

C

A

D

B
第 24 题备用图

C

13

51、已知:△ABD 和△CBD 关于直线 BD 对称(点 A 的对称点是点 C),点 E、F 分别是线段 BC 和线段 BD 上的点,且点 F 在线段 EC 的垂直平分线上,连接 AF、AE,AE 交 BD 于点 G. (1)如图 l,求证:∠EAF=∠ABD; (2)如图 2,当 AB=AD 时,M 是线段 AG 上一点,连接 BM、ED、MF,MF 的延长线交 ED 于 点 N,∠MBF=

1 2 ∠BAF,AF= AD,试探究线段 FM 和 FN 之间的数量关系,并证明你的结论. 2 3

14


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