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湖南省新田县第一中学高中数学第一章1.2.3函数的极值与导数练习新人教B版选修22

湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.3 函数的极值与导数 练习 新人教 B 版选修 2-2
班级___________ 1.下列函数存在极值的是( 1 A.y= ).
x

姓名___________学号___________

x

B.y=x-e
3

C.y=x +x +2x-3

3

2

D.y=x

3

2.函数 y=1+3x-x 有( A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2

). B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3 ).

3.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)( A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 4.函数 f(x)=2x -6x -18x+7(
3 2

).

A.在 x=-1 处取得极大值 17,在 x=3 处取得极小值-47 B.在 x=-1 处取得极小值 17,在 x=3 处取得极大值-47 C.在 x=-1 处取得极小值-17,在 x=3 处取得极大值 47 D.以上都不对 5. 三次函数当 x=1 时有极大值 4, 当 x=3 时有极小值 0, 且函数过原点, 则此函数是( A.y=x +6x +9x C.y=x -6x -9x
3 3 2 3 2

).

B.y=x -6x +9x D.y=x +6x -9x
3 2

3

2

6.设方程 x -3x=k 有 3 个不等的实根,则常数 k 的取值范围是________. 7.已知函数 y=

x2

x-1

,当 x=________时取得极大值________;当 x=________时取得极小

值________. 8.函数 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+3 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围是 ________. 9.函数 y=x -6x+a 的极大值为________,极小值为________. 10.求函数 f(x)=x e 的极值.
2 -x 3 3 2

1

11.已知函数 y=ax +bx ,当 x=1 时函数有极大值 3, (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值.

3

2

12.设函数 f(x)= x +bx +cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4. 3 (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围.

a

3

2

1.下列函数存在极值的是( 1 A.y=

). B.y=x-e
x

x
3 2

C.y=x +x +2x-3

D.y=x

3

1 解析 A 中 f′(x)=- 2, 令 f′(x)=0 无解, 且 f(x)为双曲函数, ∴A 中函数无极值. B

x

2

中 f′(x)=1-e , 令 f′(x)=0 可得 x=0.当 x<0 时, f′(x)>0; 当 x>0 时, f′(x)<0. ∴y=f(x)在 x=0 处取极大值, f(0)=-1.C 中 f′(x)=3x +2x+2, Δ =4-24=-20<0. ∴y=f(x)无极值,D 也无极值.故选 B. 答案 B 2.函数 y=1+3x-x 有(
3 2

x

).

A.极小值-1,极大值 1 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-2,极大值 2 D.极小值-1,极大值 3 解析 f′(x)=-3x +3,由 f′(x)=0 可得 x1=1,x2=-1. 由极值的判定方法知 f(x)的极大值为 f(1)=3, 极小值为 f(-1)=1-3+1=-1, 故选 D. 答案 D 3.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)( ).
2

A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 解析 f′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值,f′(x)的符号由负变正,则 f(x0)是 极小值,由图象易知有两个极大值点,两个极小值点. 答案 C 4.设方程 x -3x=k 有 3 个不等的实根,则常数 k 的取值范围是________. 解析 设 f(x)=x -3x-k,则 f′(x)=3x -3.令 f′(x)=0 得 x=±1,且 f(1)=-2
?2-k>0, ? -k,f(-1)=2-k,又 f(x)的图象与 x 轴有 3 个交点,故? ?-2-k<0, ?
3 2 3

∴-2<k<2.

答案 (-2,2) 5.已知函数 y=

x2

x-1

,当 x=________时取得极大值________;当 x=________时取得极小

值________. 解析

y′=(

x2

x-1

)′=

x2

x- -x2 x- x- 2 x2 x-1

x2-2x = .y′>0? x>2, x- 2

或 x<0; y′<0? 0<x<2,且 x≠1,∴y=

在 x=0 处取得极大值 0,在 x=2 处取
3

得极小值 4. 答案 0 0 2 4
2 -x

6.求函数 f(x)=x e 的极值. 解
-x

函数的定义域为 R, f′(x)=2xe +x ·e ·(-x)′=2xe -x ·e =x(2-x)e
-x

-x

2

-x

-x

2

-x

.令 f′(x)=0,即 x(2-x)·e =0;得 x=0 或 x=2.当 x 变化时,f′(x),f(x)的

变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,0) -

0 0 极小 值0

(0,2) +

2 0 极大值 4e
-2

(2,+∞) -

因此,当 x=0 时,f(x)有极小值,并且极小值为 f(0)=0; 当 x=2 时,f(x)有极大值, 4 -2 并且极大值为 f(2)=4e = 2. e 综合提高 7.函数 f(x)=2x -6x -18x+7(
3 2

限时25分钟

).

A.在 x=-1 处取得极大值 17,在 x=3 处取得极小值-47 B.在 x=-1 处取得极小值 17,在 x=3 处取得极大值-47 C.在 x=-1 处取得极小值-17,在 x=3 处取得极大值 47 D.以上都不对 解析 f′(x)=6x -12x-18, 令 f′(x)=0, 解得 x1=-1, x2=3.当 x 变化时, f′(x),
2

f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x)
(-∞,-1) + -1 0 极大值 (-1,3) - 3 0 极小值 (3,+∞) +

∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值,f(-1)=17;当 x=3 时,f(x)取得极小值,f(3)= -47. 答案 A 8. 三次函数当 x=1 时有极大值 4, 当 x=3 时有极小值 0, 且函数过原点, 则此函数是( A.y=x +6x +9x C.y=x -6x -9x 解析
?f ? ? ?f ?
3 2 3 2

).

B.y=x -6x +9x D.y=x +6x -9x
3 2 2 3 2

3

2

三次函数过原点,可设 f(x)=x +bx +cx,则 f′(x)=3x +2bx+c.由题设有 =3+2b+c=0, =27+6b+c=0, 解得 b=-6,c=9.∴f(x)=x -6x +9x,f′(x)=3x
3 2 2

4

-12x+9=3(x-1)(x-3).当 x=1 时,函数 f(x)取得极大值 4,当 x=3 时,函数取 得极小值 0,满足条件. 答案 B 9.函数 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+3 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 ∵f′(x)=3x +6ax+3(a+2), 令 3x +6ax+3(a+2)=0, 即 x +2ax+a+2=0, ∵函数 f(x)有极大值和极小值,∴方程 x +2ax+a+2=0 有两个不相等的实数根,即 Δ =4a -4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. 答案 (-∞,-1)∪(2,+∞) 10.函数 y=x -6x+a 的极大值为________,极小值为________. 解析 ∵y′=3x -6,令 y′=0,得 x=± 2,当 x<- 2或 x> 2时,y′>0;当 - 2<x< 2时,y′<0,∴函数在 x=- 2时取得极大值 a+4 2,在 x= 2时取得 极小值 a-4 2. 答案 a+4 2
2 3 2 2 2 2 2 3 2

a-4 2
3 2

11.已知函数 y=ax +bx ,当 x=1 时函数有极大值 3, (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值. 解 (1)y′ = 3ax + 2bx , 当 x = 1 时 , y′ = 3a + 2b = 0 , 又 y = a + b = 3 , 即 解得?
? ?a=-6, ?b=9. ?
2

? ?3a+2b=0, ? ?a+b=3, ?

经检验,x=1 是极大值点,符合题意,故 a,b 的值

分别为-6,9. (2)y=-6x +9x ,y′=-18x +18x, 令 y′=0,得 x=0 或 x=1. ∴当 x=0 时,函数 y 取得极小值 0. 12.(创新拓展)设函数 f(x)= x +bx +cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别 3 为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. 解 由 f(x)= x +bx +cx+d, 3 得 f′(x)=ax +2bx+c. ∵f′(x)-9x=ax +(2b-9)x+c=0 的两个根
2 2 3 2 2

a

3

2

a

3

2

5

?a+2b+c-9=0, ? 分别为 1,4,∴? ?16a+8b+c-36=0, ?

(*)

? ?2b+c-6=0, (1)当 a=3 时,由(*)式得? ?8b+c+12=0, ?

解得 b=-3,c=12,又因为曲线 y=f(x)过原点, 所以 d=0,故 f(x)=x -3x +12x. (2)由于 a>0,∵f(x)= x +bx +cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点, 3 ∴f′(x)=ax +2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立. 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a,
?a>0, ? 2 又 Δ =(2b) -4ac=9(a-1)(a-9).解? ? a- ?Δ =
2 3 2

a

3

2

a-

得 a∈[1,9],即 a 的取值范围为[1,9].

6