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2013届高三数学(理)限时训练(3)


2013 届高三数学(理)限时训练(3)班级

姓名

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.已知集合 A ?

?? x, y ? | x ? y ? 0, x, y ? R? , B ? ?? x, y ? | x ? y ? 0, x, y ? R? ,
) B.

则集合 A ? B =( A. (0,0)

?x ? 0?? ?y ? 0?
)A.1

C. ?0? B. ?1

D. ?(0,0)? D. ?i )

? 1? i ? 2. ? ? ? 1? i ?

2011

的值是(

C. i

2) 4) 3.已知向量 a ? (1, , b ? ( x , ,若向量 a ? b ,则 x ? (
A.2 B.

?

?

?

?

?2

C. 8

D. ?8 ( )

4.已知 a ? 0 ,且 a ? 1 , f ( x) ?

1 1 ? , 则f ( x)是 1? ax 2

A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与 a 有关 5.已知直线 l 、 m ,平面 ?、? ,则下列命题中: ①.若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? ②.若 ? // ? , l ? ? ,则 l ? ? ③.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m ④. ? ? ? ,? ? ? ? l , m ? l ,则 m ? ? 其中, 若 真命题有 ( A.0 个 6.给出计算 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

1 1 1 1 的值的一个 ? ? ??? 2 4 6 20


程序框图如右图,其中判断框内应填入的条件是. ( A. i ? 10 B. i ? 10 C. i ? 20 D. i ? 20 7. lg x,lg y,lg z 成等差数列是 y ? xz 成立的(
2



2

A.充分非必要条件能 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6

8.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b ? ab ? a ? b (a, b为正实数) ,若 1 ? k ? 3 , 则 k =( ) A. ?2 B.1 C. ?2 或 1 D.2 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)

题 tu

?x ? 0 ? 9.在约束条件 ? y ? 1 下,目标函数 S = 2x ? y 的最大值为 ?2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
10.如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的体积为 .
1



11. ( x

?

1 6 ) 的展开式中的常数项是 x

. (用数字作答)
*

12.一个容量为 20 的样本,数据的分组及各组的频数如下表:(其中 x,y∈N ) 分/组 频 数 [10, 20) 2 [20, 30) [30, 40) 3 [40, 50) [50, 60) 2 .
*

[60, 70) 4 A N O D

x

y

则样本在区间 [10,50 ) 上的频率

13.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 2an ? 1(n ? N ) ,则 a4 ? 该数列的通项公式 an ? .



M B

C (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如右图,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,BC 是直径,MN 切⊙ O 于 A,

?MAB ? 25 ? ,则 ?D ?



15. (坐标系与参数方程选做题)以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1 为半径的圆的方程 是 . 三、解答题:本大题共3小题,满分40分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足
cos

??? ???? ? A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

(1)求 ?ABC 的面积;

(2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

2

2 0 0 9 0 4 2 3

17. (14 分)如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为 等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AD、AA 1 的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2)证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.
A1 D1 C1 B1 D E A F B

AA 1 =2,

E、E 1 分别是棱

E1

C

3

18. (14分)已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆
???? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、B a 2 b2
???? ?

两点, M 是线段 AB 上的一点, AM ? ?BM ,且点M在直线 l : y ? x 上, (1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1上,求椭圆 的方程.

1 2

4

参考答案
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 二.填空题: 2 9. 1 D 10. 2 C 3 D 4 A 11.?20 5 B 6 A 12.0.7 7 A 8 B 13.23 ;3 ? 2
n?1

3 ? 24

?1

14. 115? 15. ? ? 2 cos ?? ? 1? 三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16.解: (I)因为 cos

??? ???? ? A 2 5 A 3 4 ,? cos A ? 2cos 2 ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 , ? 2 5 2 5 5
1 bc sin A ? 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

得 bc cos A ? 3, ?bc ? 5 ,? S?ABC ?

( II ) 对 于 bc ? 5 , 又 b ? c ? 6 , ?b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由 余 弦 定 理 得

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
17.证明:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1, 连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD=A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D, A1 F1 E1 E A D1 A1 F B D C D1 C1 B1

所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 , 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 .

C1 B1

(2)连接 AC,在直棱柱中,CC1⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 CC1⊥AC,因为底面 ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF,△BCF 为正三角形,

E1 E A

D F

C B

?BCF ? 60? ,△ACF 为等腰三角形,且 ?ACF ? 30?
所以 AC⊥BC, 又因为 BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C,而 AC ? 平面 D1AC, 所以平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 19. 14 分解:设 A 、 B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( I)由 AM ? ?BM 知 M 是 AB 的中点,

???? ?

???? ?

??1 分

5

?x ? y ?1 ? 0 ? 由 ? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

得: (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ????4 分
2 2 2 2 2 2 2

2a 2 2b2 x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 a ? b2 a ? b2

??5 分

? M 点的坐标为 (

a2 b2 a2 2b 2 , 2 ) 又 M 点在直线 l 上: ? 2 ? 2 ?0 a 2 ? b2 a ? b2 a ? b2 a ? b2
2 2

?6

分? a ? 2b ? 2(a ? c )
2 2

? a 2 ? 2c 2

?e ?

c 2 ? a 2

?7 分

(II)由(1)知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为 F (b,0) , 设 F (b,0) 关于直线 l : y ?

1 x 的对称点为 ( x0 , y0 ) ,??????8 分 2
3 ? ? x0 ? 5 b ? 解得: ? ?y ? 4 b ? 0 5 ?

? y0 ? 0 1 ? x ? b ? 2 ? ?1 ? 则有 ? 0 ? x0 ? b ? 2 ? y0 ? 0 ? 2 ? 2
2 2

?????11 分

2 2 2 由已知 x0 ? y0 ? 1, ? ( b) ? ( b) ? 1 , ? b ? 1 .

3 5

4 5

???13 分

?

x2 所求的椭圆的方程为 ? y2 ? 1 2

?????14 分

6


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