当前位置:首页 >> 数学 >>

3.3.1几何概型


3.3.1 几何概型 教材分析
本节内容是数学必修 4 第三章 第三节的第一课,本小节是继古典概型之后学习的另一类等可能概型,是 教材新增加的内容,对它的要求仅限于初步体会几何概型的意义.几何概型的研究,是古典概型的拓广, 将古典概型试验结果有限个拓广到无限个;它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小 与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.本节的教学需要一些实物模型为教具, 如教科书中的转盘模型,教学中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性.本节课 的教学重点是理解几何概型的特点,利用几何概型的计算公式解决问题;难点是将现实问题转化为几何概 型问题,从实际背景中找几何度量.由于学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型,初步学会了用 古典概型公式解决概率题,大多数学生对于概率的学习以及概率试验产生了浓厚的兴趣,逐渐会把一些问 题模型化.但是学生在探究问题的能力,应用数学的意识等方面发展不够均衡,尚有待加强.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解几何概型的特点及利用几何概型的计算公式解决问题.

教学目标
重点: 理解几何概型的特点,利用几何概型的计算公式解决问题. 难点:将现实问题转化为几何概型问题,从实际背景中找几何度量. 知识点:理解几何概型的特点,利用几何概型的计算公式解决问题. 能力点:将现实问题转化为几何概型问题,从实际背景中找几何度量. 教育点:逐步学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力. 自主探究点:让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型 公式. 考试点:几何概型的特点及利用几何概型的计算公式解决问题. 易错易混点:从实际背景中不能找到正确的几何度量. 拓展点:单点事件的概率问题.

教具准备 投影仪和实物模型 课堂模式 学案导学 一、复习引入
问题 1.古典概型的两个基本特征是什么?如何计算古典概型的概率? 【设计意图】复习回顾,便于学习新知. 【设计说明】学生回答. 问题 2.(1)在区间[0,4]上任取一个整数,恰好取在区间[1,3]上的概率为多少? (2)若 x,y 均从 0,1,2,3,4 五个整数中任取,组成 25 个点 P(x,y),求这些点 P(x,y)恰是圆形区域

{( x, y ) | ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4} 边界或内部点的概率?
【设计意图】 利用这题组复习古典概率的的特点和概率计算公式. 事实上, 学生们做出该题是没有问题的, 这道题为下题奠定了基础. 问题 3.(1)在区间[0,4]上任取一个实数,恰好取在区间[1,3]上的概率为多少? (2)在正方形 ABCD 区域 {( x , y ) | 0 ? x ? 4, 0 ? y ? 4} 中,随机撒一粒黄豆,则黄豆落在圆形阴影区域

{( x, y ) | ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4} 的概率是多少?
【设计意图】此题与学生上题的思维形成了认知冲突,这无疑为几何概念的引出铺垫了基础. 思考: (1)问题 3 与问题 2 的相同点与不同点分别是什么? 学生回答: 不同点:问题 2 所有的基本事件是有限个,问题 3 的基本事件是无限多个; 相同点:问题 2 与问题 3 中,每个基本事件的发生都是等可能的. (2)怎样求问题 3 的概率? 【设计意图】使学生在已有知识的基础上,通过问题的对比,探索新知,引出本课题. 【设计说明】学生回答. 引入:为此我们引入今天的课题-几何概型. 【设计意图】 由此具体的数学问题引入, 能激发学生的好奇心, 另外还能为理解几何概型的概念作好铺垫.
1

【设计说明】教师指出几何概型正是我们接下来要探究的问题.

二、探究新知
探究概念 思考:老师这里有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在 两种情况下分别求甲获胜的概率是多少? 【设计意图】以学生做游戏为载体,通过分析这两个游戏,其一:此题的随机事件的发生应理解为恰好取 到上述区域内的某个指定区域内的点,引导学生初步体会把具有实际背景的随机事件与几何区域联系在一 起;其二:针对上面问题 2、问题 3 以及该问题引导同学们思考:对于“无限性”类问题,其概率的计算 公式是什么呢?同学们自然会联想到面积等几何度量,把上述几何图形的几何度量的比值作为这类问题的 概率就显得合理.这样就可以自然而然的给出几何概型的定义及计算公式. 【设计说明】此问题涉及到的实物模型在教学中事先做好,通过提问让学生积极参与,以激发学生的学习 兴趣. 形成概念 1.几何概型的概念: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概 率模型,简称为几何概型. 2.几何概型的基本特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率公式: 一般地,在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A,则事件 A 发 生的概率:
P ( A) ? 构成事件 A的区域长度(面积或体积)



试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

【设计意图】通过对比、归纳,将新的知识建构到旧的知识系统,完成知识的延伸. 【设计说明】学生归纳总结并叙述,教师板书并补充.

三、理解新知
1.古典概型与几何概型的区别和联系是什么? 古典概型 几何概型 所有的试验结果 每个试验结果的发生 每个实验结果发生的概率 概率的计算 2.几何概型的概率公式可记为: d的几何度量 . P ( A) ? D的几何度量 注:解决几何概型问题一是要弄清该题是不是几何概型;二是要弄清该题的几何度量与长度、面积、体积 谁有关. 【设计意图】引导学生分析、比较,更加深对几何概型的理解. 【设计说明】教师提问,学生回答.

四、运用新知
例 1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于 10 分钟的概率. 分析: 收音机每小时报时一次,某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的,且醒来的时刻有 无限多个的,因而适合几何概型. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟}.事件 A 发生:打开收音机的时刻恰好位于[50,60]时间段内. 因此由几何概型的求概率公式得 60 ? 50 1 P ( A) ? ? , 60 6 即“等待报时的时间不超过 10 分钟”的概率为

1 6



【设计意图】一是例题的选择贴近学生实际,入手比较容易;二是从时间长度上认识几何概型;三是通过
2

解决一些实际问题,探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法. 【设计说明】此例首先让学生独立思考,然后教师再分析并求解. 变式: 1.引入中问题 3 (1). 2.取一根长为 9 米的彩带,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于 3 米的概率是多少? 【设计意图】结合这两个题目让学生进一步从长度上认识几何概型. 例 2.在 1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10mL,含有麦锈病种子的概率是多 少? 分析:病种子在这 1L 种子中的分布可以看做是随机的(符合几何概型) ,取得 10mL 种子可视作区域 d, 所有种子可视为区域 D. 【设计意图】经过分析本题符合几何概型的条件,几何度量是体积,让学生从体积上认识几何概型,提醒 学生注意书写的规范性. 【设计说明】学生回答. 例 3.再回首刚才的问题—甲乙两人玩转盘游戏,在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少? 分析:结合上述两个例题的研究,同学们会出现以下几种几何度量来解决该几何概型问题. 解:法一(利用 B 区域所占的弧长) : B所在扇形区域的弧长 1 B所在扇形区域的弧长 3 (1) P ( B ) ? ? ; (2) P ( B ) ? ? . 整个圆的弧长 2 整个圆的弧长 5 法二(利用 B 区域所占的面积) : B所在扇形的面积 1 B所在扇形的面积 3 (1) P ( B ) ? ? ; (2) P ( B ) ? ? . 整个圆的面积 2 整个圆的面积 5 法三(利用 B 区域所占的圆心角) : 3 ? 360? ? B所在圆心角的大小 5 3 B所在圆心角的大小 180 1 (1) P ( B ) ? ? ? ; (2) P ( B ) ? ? ? . ? ? 圆周角 360 2 圆周角 360 5 【设计意图】本题是一题多解,让学生从不同几何度量来进一步研究认识几何概型问题,对几何概型的题 目有了更深刻的理解,几何度量中到底是长度、面积还是体积呢?我们要认真加以判断,要学会用数形结 合的思想解决概率问题.其中法三由于指针在转盘的圆心角的任一位置都是随机的,都是等可能的,故选 择圆心角作为问题解决的切入点是可行的,这样测量几何区域的尺度除了前面介绍的长度、面积、和体积 外,角度也可以;这样既拓展了概念的外延,又为下面问题的解决奠定概念基础. 【设计说明】此例可让学生将答案做在作业纸上,挑选几个有代表性的解答用实物投影展出,请一些同学 进行点评,教师进行总结. 变式: 1.引入中问题 3 (2). 2.(1)一海豚在水中自由游弋,水池为长 30m,宽 20m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边超过 2m 的概率. (2)一海豚在水中自由游弋,水池为长 30m,宽 20m,深 40 m 的长方体,求此刻海豚嘴尖离岸边离水面、 水底都不超过 2m 的概率. 【设计意图】让学生从不同的几何度量解决几何概型,进一步加深学生对几何概型概念的理解. 【设计说明】教师提示. 小结: 通过以上问题的研究归纳出求解几何概型问题的步骤: 1.判断该概率模型是不是几何概型; 2.如果是,把实际问题中的度量关系转化成长度、面积、体积等形式; 3.根据几何概型计算公式求出概率. 引申: 将引入中问题 3(2)中圆形区域的实线部分改为虚线表示, P(x, 求 y)恰为圆形区域整点的概率和黄豆落在阴 影部分区域的概率? 【设计意图】通过此题,引导学生理解事件的区域和一个单点有关的特殊情况.如果随机事件 A 所在区域 是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为 0,则它出现的概率为 0 即 P(A)=0,但它不是不可能事件. 设问:又请同学们想一想,若 P(A)=1,它是不是必然事件呢? 【设计说明】此时教师要大胆放手,由学生进行总结几何概型与古典概型的区别与联系,从而得出:如果 一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为 1,但它不是必然事件.
3

结合上述问题的理解 判断对错:若 P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? 1 ,则事件 A 与 B 的关系是互斥且对立. 【设计意图】进一步加深几何概型与古典概型两种概率模型的区别与联系,让学生明白几何概型中单点事 件的概率. 【设计说明】该结论在古典概型中成立,但在几何概型中不成立.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 1.知识:(1)几何概型的概念及基本特点; (2)几何概型中概率的计算公式; (3)注意理解几何概型与古典概型的区别; (4)掌握几何概型的求解步骤,找准涉及到的度量关系是长度、面积、体积还是角度等. 2.思想:数形结合的思想. 教师总结: 几何概型的概率公式的推导方法用到了前面学过的知识,提醒学生:在学习新知时,也要经常 复习前面学过的内容, “温故而知新” .在应用中增强对知识的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识, 解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用. 【设计意图】通过师生的共同小结,发挥学生的主体作用,有利于学生巩固所学知识,也能培养学生的归 纳和概括能力,进一步完成教学目标.

六、布置作业
1.书面作业 必做题: 1.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边长作正方形,求这个正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率. 2.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随取一点,求取到的点到 O 点的距 离大于 1 的概率. 3.已知半径为 2 3 的球内有一内接正方体,若在球内任取一点,求该点在正方体内的概率. 选做题: 在等腰直角三角形 ABC 中, (1)在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 的长小于 AC 的长的概率? (2)过直角顶点 C 在∠ACB 内部作一条射线 CM,与线段 AB 交于点 M,求 AM 的长小于 AC 的长的概率? 2.课外思考 5 在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于 的概率是多少? 6 【设计意图】设计书面作业必做题,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的 布置,是为了让学生能够根据不同的条件,正确的找准几何概型的度量关系是长度、面积、体积还是角度; 选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解;课外思考的安排,是让学生进一步理解几何概 型的概念,起让学生课下探索发现、预习新课的作用.

七、教后反思
1.用实物演示,加深学生对学习内容的印象,让学生在做中学,增强了学生学习数学的兴趣. 2.情景引入,让学生很自然地把实际问题演变成数学概念,体验到了探寻数学规律的乐趣,符合新课改精 神. 3.例题的设置从长度、面积、体积三种几何度量设置题目,由浅入深,覆盖面广,符合学生的认知规律. 4.课后书面作业实施分层设置,使学生在完成必修教材基本学习任务的同时,拓展自主发展的空间,使不 同的人在数学上得到不同的发展,充分体现了课改精神. 5.采用问题式教学, 发挥了学生的主观能动性. 6.绝大部分学生在单独处理例 3 时是不用费多大劲的,但是当面对例 3 变式时,大部分学生很有可能感觉 无从下手,原因何在?在于学生找不到本题中的几何度量是什么——这恰好是本节课的难点,因此本题的 教学对本节课的难点的突破至关重要.课堂上,教师不要急于讲解,可以让学生讨论,哪怕是争论,让学 生参与进来,另外,本题的点评也留给学生完成.如此一来,不仅本节课的重点、难点得以突破,而且学 生的数学思维的深刻性、广阔性等思维品质就得到了提高,思维品质提高了,思维能力也就提高了.这样, 这节课的教学目标就基本上都达到了.

八、板书设计
4

3.3.1 几何概型
一、知识点 1.几何概型的概念: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模 型,简称为几何概型. 2.几何概型的基本特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.几何概型的概率公式: 一般地,在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点 落在其内部一个区域 d 内”为事件 A,则事件 A 发生的概 率. 例 2.

例 3. 解:法一(利用 B 区域所占的弧长) : B所在扇形区域的弧长 1 (1) P ( B ) ? ? ; 整个圆的弧长 2 B所在扇形区域的弧长 3 (2) P ( B ) ? ? . 整个圆的弧长 5 法二(利用 B 区域所占的面积) : B所在扇形的面积 1 (1) P ( B ) ? ? ; 整个圆的面积 2 P ( A) ? B所在扇形的面积 3 构成事件 A的区域长度(面积或体积) (2) P ( B ) ? ? . 整个圆的面积 5 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 法三(利用 B 区域所占的圆心角) : 说明: ? B所在圆心角的大小 180 1 1.古典概型与几何概型的区别和联系; (1) P ( B ) ? ? ? ; 圆周角 360? 2 2.几何概型的概率公式可记为: d的几何度量 3 . P ( A) ? ? 360? B所在圆心角的大小 5 3 D的几何度量 (2) P ( B ) ? ? ? . ? 注:解决几何概型问题一是要弄清该题是不是几何概型; 圆周角 360 5 二是要弄清该题的几何度量与长度、面积、体积谁有关. 4.求解几何概型问题的步骤: 练习: 1. (1)判断该概率模型是不是几何概型; (2)如果是,把实际问题中的度量关系转化成长度、面积、 2. 体积等形式; 三、课堂小结: (3)根据几何概型计算公式求出概率. 二、应用 四、作业: 例 1. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟}.事件 A 发生:打 开收音机的时刻恰好位于[50,60]时间段内. 因此由几何概型的求概率公式得 60 ? 50 1 P ( A) ? ? , 60 6 即“等待报时的时间不超过 10 分钟”的概率为 练习:1. 2.

1 6



5


赞助商链接
相关文章:
3.3.1几何概型(教学设计)
3.3.1几何概型(教学设计) - 人教A必修3第三单元《概率》的教学设计,课件与学生学案... 3.3.1几何概型(教学设计)_教学案例/设计_教学研究_教育专区。人教A必...
3.3.1 几何概型教学设计
3.3.1 几何概型教学设计与课后反思 纳雍县第一中学 教学目标 1.知识目标 罗万能 ①通过探究,让学生理解几何概型试验的基本特征,并与古典概型相区别; ②理解...
2015-2016学年高中数学 3.3.1几何概型课时作业(含解析)...
2015-2016学年高中数学 3.3.1几何概型课时作业(含解析)新人教B版必修3_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年高中数学 3.3.1 几何概型课时作业 新人教 ...
人教A版高中数学必修三3.3.1《几何概型》练习
人教A版高中数学必修三3.3.1几何概型》练习 - 3.3 几何概型 3.3.1 双基达标 几何概型 ?限时 20 分钟? 中随机 1.如图,边长为 2 的正方形中有一...
2018版高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案
2018版高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案 - 3.3.1 几何概型 1.理解几何概型的定义及特点.(重点) 2.了解古典概型与几何概型的区别.(重点) 3.掌握...
高中数学人教A版必修三同步测试 第三章:3.3.1几何概型
高中数学人教A版必修三同步测试 第三章:3.3.1几何概型_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教A版必修三同步测试 3-3-1 几何概型一、选择题 1.面积为 S ...
2018版高中数学人教B版必修三学案:3.3.1 几何概型
3.3 随机数的含义与应用 3.3.1 几何概型 [学习目标] 1.了解几何概型与古典概型的区别. 2.理解几何概型的定义及其特点. 3.会用几何概型的概率计算公式求...
人教A版高中数学必修三3.3.1《几何概型》word教案
人教A版高中数学必修三3.3.1《几何概型》word教案 - §3.3 几何概型 §3.3.1 几何概型 一、教材分析 这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更...
2016年高中数学 第三章 概率 3.3.1几何概型学案 新人教...
2016年高中数学 第三章 概率 3.3.1几何概型学案 新人教A版必修3_高考_高中教育_教育专区。3.3 3.3.1 几何概型 几何概型 1.问题导航 (1)当试验的所有...
...学年高中数学人教版必修三同步练习3.3.1 几何概型及...
2015-2016学年高中数学人教版必修三同步练习3.3.1 几何概型及其概率计算(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版必修三同步练习(含答案) ...
更多相关标签: