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安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《直线间的夹角、平面间的夹角》(第一课时)


理解教材新知
§ 5 第 二 章

考点一 把握 热点考向 考点二

第 一 课 时

应用创新演练

第一课时 直线间的夹角、平面间的夹角

山体滑坡是一种常见的自然灾害.
甲、乙两名科学人员为了测量一个山

体的倾斜程度,甲站在水平地面上的A处,乙站在山坡斜面
上的B处,从A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距 离AC和BD分别为30 m和40 m,CD的长为60 m,AB的长为 80 m.

??? ? 问题 1: 直线 AC 和 BD 的夹角范围是什么?向量 AC ??? ? 与向量 BD 的夹角范围是什么?
? π? 提示:?0,2 ?,[0,π]. ? ?

? ??? ??? ? 问题 2: 直线 AC 与 BD 的夹角与 AC ,BD 〉 〈 有什么关系? ? ??? ??? ? π 提示:当 0≤〈 AC , BD 〉≤ 时,它们相等; 2
? ??? ??? ? π 当 <〈 AC , BD 〉≤π 时,直线 AC 与 BD 的夹角为 2 ? ??? ??? ? π-〈 AC , BD 〉 .

? ??? ??? 问题 3: 上图中水平地面与斜坡面的夹角 α 与 CA , 〉 〈 DB
有什么关系?为什么? ? ??? ??? 提示:α=π-〈 CA ,DB 〉 ,因为图中两平面夹角(即为直 ? ??? ??? 线 BD 与 CA 的夹角)为锐角,而〈 CA , DB 〉为钝角,∴α= ? ??? ??? π-〈 CA , DB 〉 .

问题4:若n1,n2分别为两个平面π1、π2的法向量,则 π1与π2的夹角θ与〈n1,n2〉有什么关系?
π 提示:当 0≤〈n1,n2〉≤ 时,θ=〈n1,n2〉 ; 2 π 当 <〈n1,n2〉≤π 时,θ=π-〈n1,n2〉 . 2

1.两直线的夹角 当两条直线l1与l2 共面 时,把两条直线交角中,范围
π 在 [0, 2] 内的角叫做两直线的夹角.

2.异面直线l1与l2的夹角 (1)定义:直线l1与l2是异面直线,在直线l1上任取一点A 作AB∥l2,则 直线l1 和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2 的夹角.

(2)计算:设直线 l1 与 l2 的方向向量分别为 s1、s2. π 〈s 当 0≤〈s1,s2〉≤ 时,直线 l1 与 l2 的夹角等于 1,s2〉 ; 2 π 当 < 1, 2〉 〈s s ≤π 时, 直线 l1 与 l2 的夹角等于π-〈s1,s2〉 . 2 3.平面间的夹角 (1)定义: 平面 π1 与 π2 相交于直线 l, R 为直线 l 上任意一 点 平面π1 点,过点 R,在 上作直线 l1⊥l,在平面π2 上作直线 l2 ⊥l,则 直线l1和l2 的夹角叫作平面 π1 与 π2 的夹角.

(2)计算:已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2, π 当0≤〈n1,n2〉≤ 时,平面π1和π2的夹角等于〈n1, 2 n2〉; π 当 <〈n1,n2〉≤π时,平面π1和π2的夹角等于π- 2 〈n1,n2〉.

1.求空间角时,要注意角的范围.
? π? (1)异面直线夹角范围是?0,2 ?; ? ? ? π? (2)两平面夹角范围是?0,2 ?. ? ?

2.求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求 解;也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求 解,但要注意其转化关系.

[例1]

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD

是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥底面ABCD,∠PDA=30°,AE⊥PD,E 为垂足. (1)求证:BE⊥PD;

(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值.
[思路点拨] 要证明两直线垂直,或求两直线的夹角,

只要适当地建立空间直角坐标系,求出两直线对应的方向 向量,然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得.

[精解详析]

以A为原点,AB,AD,AP所在的直线

为坐标轴,建立空间直角坐标系,如 图,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0), D(0,2a,0). 又∵∠PDA=30° , 3 2 3 ∴AP=AD· 30° tan =2a· = a, 3 3 1 AE=AD· 30° sin =2a·=a. 2 过E作EF⊥AD,垂足为F,在Rt△AFE中,AE=a, a 3 ∠EAF=60° ,∴AF= ,EF= a. 2 2

? ? 2 3 ? 1 ? ? ∴P?0,0, ,E?0, a, a ? 3 ? 2 ? ? ?

3 ? ? a ?. 2 ? ? ? ??? ? ? ? 1 3 ? ??? ? 2 3 ? ? ? (1)证明: BE =?-a, a, a?, PD =?0,2a,- a?, 2 2 ? 3 ? ? ? ??? ??? ? ? ∴ BE · =0+a2-a2=0. PD ? ??? ??? ? ∴ BE ⊥ PD ,∴BE⊥PD. ??? ? 1 ? ? ? 3 ? ??? ? (2) AE =?0, a, a?, CD =(-a,a,0). 2 2 ? ? 1 2 ??? ??? ? ? a ??? ??? ? ? 2 2 AE · ? CD ??? ??? = ? 则cos〈 AE , CD 〉= = , 2a· 4 a | AE || CD | 2 即AE与CD的夹角的余弦值为 4

[一点通] (1)求两异面直线的夹角时,可用向量法转化为求两异面 直线的方向向量 a,b 的夹角〈a,b〉 .但两异面直线的夹角范围
? ?π ? π? 是?0,2 ?,所以当〈a,b〉∈?2,π?时,两异面直线的夹角应为 ? ? ? ?

π

-〈a,b〉 . (2)合理建立空间直角坐标系,可使两异面直线的夹角问 题转化为向量的坐标运算,也可选用基向量法进行求解.

1.已知直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,1),直线l2的 一个方向向量为b=(2,-2,0),则两直线的夹角为 ________.
a· b 6 3 解析:cos〈a,b〉=|a||b|= = , 6× 8 2 π ∴〈a,b〉= 即为两直线的夹角. 6 π 答案: 6

2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直 线BA1与AC的夹角.
解:法一:以A点为坐标原点,建立直角坐标 系如右图所示,设B(1,0,0),则C(1,1,0), ???? ??? ? A1(0,0,1),∴ AC =(1,1,0), BA1 =(-1,0,1), ??? ???? ? ??? ???? ? BA AC · 1 ??? ???? ? ∴cos〈 AC , BA1 〉= | AC |· 1 | | BA ?1,1,0?· ?-1,0,1? 1 = =- . 2 2× 2

??? ???? ? ∴〈 AC , BA1 〉=120° .故AC与BA1的夹角为60° . ? ? ???? ??? ???? ??? ??? ??? ? ? 法二:∵ BA1 = BA + BB1 , AC = AB + BC , ??? ???? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ∴ BA1 · =( BA + BB1 )·AB + BC ) ( AC ??? ??? ??? ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? ? = BA · + BA · + BB1 · + BB1 · . AB AB BC BC
∵AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC, ??? ??? ? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ∴ BA · =0, BB1 · =0, BB1 · =0, AB BC BC ???? ??? ? ∴ BA1 · =-a2. AC

???? ??? ???? ??? ? ???? ??? ? ? 又∵ BA1 · =| BA1 |·AC |· | cos〈 BA1 , AC 〉, AC ???? ??? ? -a2 1 ∴cos〈 BA1 , AC 〉= =- . 2 2a· 2a ???? ??? ? ∴〈 BA1 , AC 〉=120° .

故异面直线BA1与AC的夹角为60° .

3. 如右图,在四棱锥P-ABCD中, PD⊥平面ABCD,∠PAD=60°, 在四边形ABCD中,∠ADC= ∠DAB=90°,AB=4,CD=1, AD=2. (1)建立适当的坐标系,并写出点B、P的坐标;

(2)求异面直线PA与BC夹角的余弦值.

解:(1)如右图建立空间直角坐标系, ∵∠ADC=∠DAB=90° ,AB=4,CD= 1,AD=2. ∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0). 在Rt△PAD中,由AD=2,∠PAD=60° .得PD=2 3, ∴P(0,0,2 3).

??? ??? ? (2)由(1)得 PA=(2,0,-2 3), BC =(-2,-3,0), ??? ??? ? ??? ??? ? PA BC ??? · ? ∴cos〈 PA, BC 〉= ? ??? | BA || BC |
2×?-2?+0×?-3?+?-2 3?×0 13 = =- . 13 4 13 13 故异面直线PA与BC夹角的余弦值为 . 13

[例2]

(12分)如图,PA⊥平面

ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 ,求平面PAB与平面PBC的夹角的余 弦值. [思路点拨] 行求解. 建立空间直角坐标系,利用法向量进

[精解详析]

如图建立空间直角坐标

系,则A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0), ??? ? ??? ? P(0,0,1), AP =(0,0,1), AB =( 2 ,1,0), ??? ? ??? CB =( 2,0,0), CP =(0,-1,1). (3分) 设平面PAB的法向量为 m=(x,y,z), ??? ? ??? ? ?m⊥ AP , ?m· =0, AP ??? ? ? 则? 即? ??? AB ?m⊥ AB , ?m· =0,

(4分)

??x,y,z?· ?0,0,1?=0, ? ∴? ??x,y,z?· 2,1,0?=0. ? ? ?y=- ? ∴? ?z=0. ?

2x,

(6 分) (7 分)

令 x=1,得 m=(1,- 2,0),

设平面 PBC 的法向量为 n=(x′,y′,z′), ??? ? ?n⊥ CB , ? ??? 则? ?n⊥ CP , ? ??? ? ?n· =0, ? CB 即? ??? (8 分) ?n· =0, ? CP

??x′,y′,z′?· 2,0,0?=0, ? ? ∴? ??x′,y′,z′?· ?0,-1,1?=0. ? ?x′=0, ? ∴? ?y′=z′. ?

(9分) (10分) (11分)

令y′=1,∴n=(0,1,1). 3 m· n ∴cos〈m,n〉= =- . |m||n| 3
? π? 而平面PAB与平面PBC夹角∈?0,2 ? ? ?

3 ∴平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为 . 3

(12分)

[一点通]

求两平面的夹角有两种方法:

(1)定义法:在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的 直线,这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求 与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角,但要注意其异 同. (2)法向量法:分别求出两平面的法向量n1,n2,则两平 面的夹角为〈n1,n2〉
? ? π? ? ?当〈n1,n2〉∈?0, ?时? 2? ? ? ?

或π-〈n1,

? ?π ? ? n2〉?当〈n1,n2〉∈?2,π?时?. ? ? ? ?

4.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在 CC1且C1E=3EC. (1)证明:A1C⊥平面BED;

(2)求平面A1DE与平面BDE夹角的余弦值.
解:以D为坐标原点,DA、DC、DD1

为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
可知D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1), A1(2,0,4).

??? ? ??? ? ???? ???? DE =(0,2,1), DB =(2,2,0), A1C =(-2,2,-4), DA1 =
(2,0,4).

? ? ???? ??? ???? ??? (1)证明:因为 A1C · =0, A1C · =0, DB DE
所以A1C⊥BD,A1C⊥DE. 又DB∩DE=D,所以A1C⊥平面BDE. (2)设向量n=(x,y,z)是平面DA1E的法向量, ??? ? ???? 则n⊥ DE ,n⊥ DA1 .

故2y+z=0,2x+4z=0,令y=1, 则z=-2,x=4.所以n=(4,1,-2).
???? ???? n· 1C A ???? = 14, ∴cos〈n, A1C 〉= |n|| A1C | 42

14 ∴平面A1DE与平面BDE夹角的余弦值为 . 42

5.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC= 1 90° ,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,求平 2 面SCD与平面SBA夹角的余弦值. 解:建立如图所示空间直角坐标系,
1 则 A(0,0,0),D( ,0,0),C(1,1,0), 2 S(0,0,1),平面 SAB 的一个法向量是 ??? ? 1 AD =(2,0,0).设 n=(x,y,z)是面 SCD 的一个法向 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 量,则 n⊥ DC ,n⊥ DS ,即 n· =0,n· =0. DC DS

??? ? 1 ??? ? 1 又 DC =( ,1,0), DS =(- ,0,1), 2 2
1 1 ∴ x+y=0,且- x+z=0. 2 2 1 1 ∴y=- x,且z= x. 2 2 ? ? x x? 1 1? ∴n=?x,-2,2?,取x=1,得n=?1,-2,2?. ? ? ? ? ??? ? ??? ? AD n ??? · ? ∴cos〈 AD ,n〉= | AD |· |n| 1 2 6 = = . 1 1 1 3 × 1+ + 2 4 4 6 ∴平面SCD与平面SBA夹角的余弦值为 . 3

用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时, 要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量

a,b的夹角及两平面的法向量n1,n2的夹角的关系:
①当cos〈a,b〉<0时,cos θ=-cos〈a,b〉, 当cos〈a,b〉≥0时,cos θ=cos〈a,b〉,即cos θ=|cos 〈a,b〉|. ②当cos〈n1,n2〉≥0时,cos φ=cos〈n1,n2〉,

当cos〈n1,n2〉<0时,cos φ=-cos〈n1,n2〉,即cos φ
=|cos〈a,b〉|.


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