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浙江版(第01期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编:专题09 圆锥曲线(解析版)


一.基础题组 1.【浙江省 2013 学年第一学期温州八校高三期初联考】设 F1 , F2 是双曲线
C: x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点,若 | PF1 | ? | PF2 |? 6a , a 2 b2
?

且 ?PF1 F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为( A. 2



B.

3 2

C. 3

D.

6 2

2.【浙江省 2014 届金华一中高三 9 月月考数学试卷】已知椭圆
x2 y 2 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点.若 a b

AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为
A.





x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

【答案】D 【解析】 试题分析:由题意知, c ? 3 ,利用点差法,设过点 F 的直线(显然,斜率存在)为

y ? k ? x ? 3? ,

3.【浙江省 2014 届金华一中高三 9 月月考数学试卷理】长为 2 的线段 AB 的两个端点在抛
物线 y ? x 上滑动,则线段 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值是
2

考点:抛物线的定义与性质.

4.【浙江省嘉兴市 2014 届高三上学期 9 月月考理】已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,若椭圆
上存在点 P,使得 PF1 ? PF2 ,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A. ?

? 5 ? ,1? ? ? 5 ?

B. ?

? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

C. ? 0, ?

? ?

5? ? 5 ?

D. ? 0, ?

? ?

2? ? 2 ?

5.如图,F1,F2 是双曲线 C: x 2 ? y2
a b
( A. 3 D. 13 ) B.2

2

2

? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的

左、右两支分别交于 A,B 两点.若 ? ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为

C.

7

【答案】C 【解析】

6.【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底测试】设点 A( ?
直线 AM、BM 相交于点 M,且它们的斜率之积为 ? (Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程;
2 . 3

3 ,0) ,B( 3 ,0) ,

(Ⅱ)若直线 l 过点 F(1,0)且绕 F 旋转, l 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 5 相交于 P、Q 两点, l 与轨迹 C 相交于 R、 S 两点, 若|PQ| ? [4, 19], 求△ F ' RS 的面积的最大值和最小值 (F′ 为轨迹 C 的左焦点).

x2 y 2 8 3 4 3 ? ? 1( x ? ? 3) ; 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ)? Smin ? , Smax ? 3 2 9 3
【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据椭圆的定义、几何性质可求; (Ⅱ)直线与椭圆相交,联立消元,设点 代入化简,利用基本不等式求最值. 试题解析: (Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则 kMA ? kMB ?

y y 2 ? ? ? ( x ? ? 3) 3 x? 3 x? 3

考点:椭圆,根与系数关系,基本不等式,坐标表示

7.如图,F1,F2 是离心率为
=-

x2 y2 2 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,直线 l :x a b 2

1 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1 : 3.设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的 2

中垂线与 C 交于 P,Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (Ⅰ ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ ) 求 F2 P ? F2Q 的取值范围.

???? ? ???? ?

? x12 ? y12 ? 1, ? y ? y2 ? 2 由 ? 2 得(x1+x2)+2(y1+y2) ? 1 =0, x ? x x 1 2 ? 2 ? y 2 ? 1, 2 ? ? 2

令 t=1+32m2,1<t<29,则 F2 P ? F2Q ? 又 1<t<29,所以 ?1 ? F2 P ? F2Q ? 综上, F2 P ? F2Q 的取值范围为 ? ?1,

19 51 . ? 32 32t

???? ? ???? ?

125 . 232

? ?

125 ? ?. 232 ?

考点:椭圆的方程、平面向量的数量积、韦达定理

二.能力题组 1.【浙江省 2013 学年第一学期温州八校高三期初联考】已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x2 于
A, B 两点.若该抛物线上存在点 C ,使得 ?ACB 为直角,则 a 的取值范围为
【答案】 ?1,??? 【解析】 .

考点:平面向量的数量积、函数与方程的思想.

2.【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底测试】如图, F1 , F2 是双曲线
C: x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点, 过 F1 的直线与双曲线的左、 右两支分别交于 A, B

两点.若 | AB |:| BF2 |:| AF2 |? 3 : 4 : 5 ,则双曲线的离心率为____



【答案】 13 【解析】 试题分析:由双曲线的定义可知 AF2 ? AF 1 ? 2a, BF 1 ? BF 2 ? 2a ,由

3.如图,已知抛物线的方程为 x

2

? 2 py( p ? 0) ,过点 A(0, ?1) 作直线 l 与抛物线相交于 P, Q

BP 与 x 轴分别相交于 M , N 两点. 两点, 点 B 的坐标为 (0,1) ,连接 BP, BQ , 设 QB , 如果 QB
的斜率与 PB 的斜率的乘积为 ?3 ,则 ?MBN 的大小等于( ) A.

? 2

B.

? 4

C.

2? 3

D.

? 3

4.【2013 学年浙江省五校联考理】 (本题满分 15 分)
已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ,且经过点 A(0, ?1) . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

(Ⅰ )求椭圆的方程;

3 (Ⅱ )如果过点 (0, ) 的直线与椭圆交于 M , N 两点( M , N 点与 A 点不重合) , 5
1 求 AM ? AN 的值; ○ 2 当 ?AMN 为等腰直角三角形时,求直线 MN 的方程. ○

???? ? ????

3 (Ⅱ)①若过点 (0, ) 的直线的斜率不存在,此时 M , N 两点中有一个点与 A 点重合,不满足题 5
目条件.

三.拔高题组 1.已知双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 有交点,则该双 a 2 b2

曲线的离心率的取值范围是___________.

为圆与渐近线有交点,由点到直线距离公式可得

2b a ?b
2 2

? 2 ,又因为 c2 ? a 2 ? b2 ,

? c ? 2b ,

2.【浙江省 2013 学年第一学期温州八校高三期初联考】如图,椭圆 C: 2 +
经过点 P(1, ), 离心率 e =

x2 a

y2 =1(a >b>0) b2

3 2

1 ,直线 l 的方程为 x =4 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M , 记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =?k3. 若存在求

? 的值;若不存在,说明理由.

x2 y 2 ? ? 1. 故椭圆 C 的方程为 4 3

……5 分

考点:椭圆,根与系数关系,坐标表示.

3.【浙江省嘉兴市 2014 届高三上学期 9 月月考理】 (本题 15 分)如图,已知抛物线
C:y 2 ? 4x 焦点为 F ,直线 l 经过点 F 且与抛物线 C 相交于 A , B 两点.
(Ⅰ)若线段 AB 的中点在直线 y ? 2 上,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若线段 AB ? 20 ,求直线 l 的方程.

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 ,................7 分

与抛物线方程联立得 ?
2

? x ? my ? 1 , 2 ? y ? 4x

消元得 y ? 4my ? 4 ? 0 ,..............9 分


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