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天津市2016届高三“五校”联考数学(文)试题


2016 届天津市“五校”联考 数学(文) 试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷共 150 分。考试用时 120 分钟。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置填涂考号。 答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试题卷上的无效。祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

注意事项: 1. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号。 2. 本试卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1.已知全集 U ? Z ,集合 A ? ??1,0,1? , B ? ?0,1, 2? , (CU A) ? B 等于 A.{-1} B.{2} C.{0,1} D.{-1,2}

2.命题“ ?a ? R,a 2 ≥0”的否定为 A. ?a ? R,a 2 <0 B. ?a ? R,a 2 ≥0 C. ?a ?R,a2 ≥0 3. 右图给出的是计算 D. ?a ? R,a 2 <0

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? 的值的一个程序框图, 2 4 6 8 96

其中判断框内应填入的条件是 A. i ? 48 B. i ? 24 C. i ? 48 D. i ? 24

0.5 4.若 a ? log? 3, b ? 2 , c ? log 2 sin

A. c ? a ? b C. b ? a ? c

2? ,则 5 B. a ? b ? c D. b ? c ? a

第 3 题图

5.点 P 在边长为 2 的正方形 ABCD 内运动,则动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的概率为 A.

? 4

B.

? 16

C.

1 4

D.

1 16

6. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r = 9 4
B.

A.

6 13 13

6 7 7

C.

6 11 11

D.

3

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中 A ? 0,| ? |? 的图象,则只要将 f ( x ) 的图象

?
2

) 的图象如图所示, 为了得到 g ( x) ? cos 2 x

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

? 个单位长度 12 ? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移

第 7 题图 1 ? x ? , x ? A , 3 3 ? 8.设集合 A ? [1, ) , B ? [ , 2] ,函数 f ( x) ? ? 若 x0 ? A , 2 2 2 ? ?2(2 ? x), x ? B.

且 f [ f ( x0 ) ? 1] ? ?0, ? , 则 x0 的取值范围是 A.( 1,

? 1? ? 2?

5 ] 4

B. (

5 3 , ] 4 2

C. ( ,

5 13 ) 4 8
2 2

D.(

5 3 , ) 4 2
2 2

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.化简复数

1 ? 2i 的结果是__________. 2?i
正视图

5

10.如图是一个几何体的三视图,正视图和侧视图 均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如 图,则该几何体的体积为__________ . 11.函数 f ( x) ? ln x ?

侧视图

1 的零点的个数是________个 x ?1
C F A

俯视图 第 10 题图

12.在 ?ABC 中, D 在 BC 边上,且 CD ? ?2 BD , 若 CD ? p AB ? q AC ,则 p ? q ? ___. 13.如图,以 AB ? 8 为直径的圆与 ?ABC 的两边
? 分别交于 E , F 两点, ?ACB ? 60 ,则 EF ?

E

B


第 13 题图

14. 已 知 a , b 都 是 正 实 数 , 且 满 足

log9 (9a ? b) ? log3 ab 则 3a ? b 的 最 小 值

为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。

15.(本小题共 13 分) 已知 f ( x ) = 3 sin(2 x ?

?

3 ) ? 2 cos 2 x ? . 3 2

(I)求函数 f ( x ) 的单调增区间; ( II )在 ?ABC 中, a, b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,且 a ? 1 , b ? c ? 2 ,

f ( A) ? 1 ,求 ?ABC 的面积.
16. (本小题共 13 分) 某食堂以面食和米食为主食,员工良好的日常饮食应该至少需要碳水化合物 5 个单位, 蛋白质 6 个单位,脂肪 6 个单位,每份面食含有 7 个单位的碳水化合物,7 个单位的蛋白质, 14 个单位的脂肪,花费 28 元;而每份米食含有 7 个单位的碳水化合物,14 个单位的蛋白质, 7 个单位的脂肪,花费 21 元。为了满足员工的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时采 购面食和米食各多少份?

第 16 题图

17.(本小题共 13 分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直, △ ABE 是等腰直角三角形, AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45 (I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M , 求证: PM ∥ 平面BCE ; (III)求二面角 F ? BD ? A 的正弦值. D
?
.

E

F A

M B

P
第 17 题图

C

18.(本小题共 13 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, Sn?1 ? 3Sn ? n ? 1, n ? N * . (Ⅰ)求证:数列 ? an ?

? ?

1? ? 是等比数列; 2?

(Ⅱ)若 bn ?

3 n , 设数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn , n ? N * ,证明: Tn < . 4 a n?1 ? a n

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

3 1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e ? . 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直平 分线过定点 P ? , 0 ? ,求 k 的取值范围.

?1 ?5

? ?

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 1 x ? (a ? ) x ? ln x, 其中 a ? 0. 2 a

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的方程; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (III)若 a ? (0, ) ,证明对任意 x1 , x2 ? [ ,1]( x1 ? x2 ) ,

1 2

1 2

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 1 ? 恒成立. 2 x12 ? x2 2

2016 届天津市“五校”联考数学(文)答案
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,每小题 5 分,共 40 分。 BDAC BADD 二、 填空题:本大 题共 6 小 题,每小题 5 分,共 30 分. (9) -i (11) 2 (13) 4 (10) 10? ? 20 (12) 0 (14) 13 ? 6 3

三、 解答题:本大 题共 6 小题,共 80 分, 解题应写 出文字说明、 证明过程 或演算步 骤. 15. (Ⅰ)解 f ( x ) = 3 sin(2 x ?

?

3 3 1 1 ) ? 2 cos 2 x ? . = sin(2 x) ? cos 2 x ? . 3 2 2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? 6 2
---------------6 分

? f ( A) ? 1

-----------------------13 分

16.解:设每天购买面食 x 份,米食 y 份,花费为 z,由题意建立二元一次不等式组为

,② 目标函数为 z=28x+21y,---------------------------6 分 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域,

如右图阴影部分即可行域, 如图所示,当直线 z=28x+21y 经过可行域上的点 M 时, 截距最小,即 z 最小,

----------------10 分

解方程组

,得 M 的坐标为





所以,zmin=28x+21y=16, 综上所述,每天购买面食

1 4 份,米食 份, 7 7

既能够满足日常要求,又使花费最低,最低成本为 16 元。--------------------13 分

17.解 (Ⅰ)因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,BC⊥AB,平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 ABEF. 所以 BC⊥EF. 因为⊿ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以∠AEB=45°, 又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°,即 EF⊥BE. 因为 BC ? 平面 ABCD, BE ? 平面 BCE, BC∩BE=B 所以 EF ? 平面BCE ????????????????6 分 (II)取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN

1 AB 2

PC

∴ PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN. ∵ CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, ∴ PM∥平面 BCE. ????????????????8 分 (III)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD. 作 FG⊥AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG∥EA.从而 FG⊥平面 ABCD, 作 GH⊥BD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BD⊥FH. ∴ ∠FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°. 设 AB=1,则 AE=1,AF=

1 2 ,则 FG ? AF ? sin FAG ? 2 2

在 Rt⊿BGH 中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

1 3 = , 2 2

GH ? BG ? sin GBH ?

3 2 3 2 , ? ? 2 2 4
22 ——————————————13 分 11

在 Rt⊿FGH 中, sin ?FHG ?

18. (Ⅰ)由 Sn+1=3Sn+n+1

①得 ②

Sn ? 3Sn?1 ? n(n ? 2)
①—②得 故 又

an+1=3an +1。 (n≥2) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) an+1+

1 1 =3(an+ ) , 2 2

1 1 a2 ? 2 ? 3(n ? 2) 2 ?3 所以 经检验 成立 1 1 an ? a1 ? 2 2 an ?1 ?

故数列{an+

1 }是等比数列。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2

(Ⅱ)由 a1=1,得 an=

3n ? 1 ,n∈N*,则 2

bn ?

n n ? n n 3 ?1 3 ?1 3 ? 2 2
n ?1

1 2 n ? 2 ? ...... ? n 3 3 3 1 1 2 n 得 Tn ? 2 ? 3 ? ...... ? n ?1 3 3 3 3
又 Tn ? ① —②得

① ②

2 1 1 1 n Tn ? ? 2 ? ...... ? n ? n ?1 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ) 2 3 ? n 故 Tn ? 3 1 3 3n ?1 1? 3 3 3 ? 2n 3 所以 Tn ? ? ,? Tn ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 n 4 4?3 4

19. 解: (Ⅰ)由题意椭圆的离心率 e ?

1 . 2

?

c 1 ? a 2

? a ? 2c

?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2

∴椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1??2 分 4c 2 3c 2

又点 (1, ) 在椭圆上

3 2

3 ( )2 1 ? 2 ? 2 2 ?1 4c 3c

?c2 ? 1

∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 (4 分) 4 3

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 4 3 ? y ? kx ? m ?

消去 y 并整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx? 4m2 ?12 ? 0 ??6 分 ∵直线 y ? kx ? m 与椭圆有两个交点

? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 3 ??8 分
又 x1 ? x2 ? ?

8km 3 ? 4k 2

? MN 中点 P 的坐标为 (?

4km 3m , ) ??10 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 设 MN 的垂直平分线 l ' 方程: y ? ? ( x ? ) k 5 3m 1 4km 1 ? ? (? ? ) ? p 在 l'上 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2 5
即 4k ? 5km ? 3 ? 0 , m ? ?
2

4k 2 ? 3 ??12 分 5k

将上式代入得

1 (4k 2 ? 3)2 ? 4k 2 ? 3 , k 2 ? 2 7 25k

k?

7 7 或k ? ? 7 7

? k 的取值范围为 (??, ?

7 7 )?( , ??) ????(14 分) 7 7

20. 解: (Ⅰ)当 a=2 时,f’(x)= 切线方程为:x+2y+3=0---------------------------------------4 分

-----14 分


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