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高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修4

高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案 新人教 A 版必修 4 学习目标:1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线. 3.掌握三点共线的判断方法. 【学法指导】 1. 应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点在于不需要引入参数“λ ”, 从而减少了未知数的个数,而且使问题具有代数化的特点、程序化的特征.具体运用时, 要注意向量的共线、平行与几何中的共线、平行的区别. 2.平面向量共线的坐标表示定理中的“当且仅当”就是说若 x1y2-x2y1=0,则 a,b 共线;反 过来,若 a 与 b 共线,则 x1y2-x2y1=0. 一.知识导学 1.两向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)当 a∥b 时,有 (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时,有 → → . .即两向量的相应坐标成比例. 2.若P1P=λ PP2,则 P 与 P1、P2 三点共线. 当λ ∈ 时,P 位于线段 P1P2 的内部,特别地 λ =1 时,P 为线段 P1P2 的中点; 当λ ∈ 时,P 位于线段 P1P2 的延长线上; 当λ ∈ 时,P 位于线段 P1P2 的反向延长线上. 二.探究与发现 【探究点一】平面向量共线的坐标表示 a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得 a=λ b.那么这个共线向量 定理如何用坐标来表示? 问题 1 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),如果 a∥b,那么 x1y2-x2y1=0,请你写出证 明过程. 问题 2 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0,如果 x1y2-x2y1=0,那么 a∥b.请你写出证明 过程. 【探究点二】 共线向量与中点坐标公式 问题 1 设 P1、P2 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),求线段 P1P2 的中点 P 的坐标. 问题 2 设 P1、P2 的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点,求 P 点 的坐标. 问题 3 已知△ABC 的三个顶点坐标依次为 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).求△ABC 的重心 G 的坐标. 1 【探究点三】共线向量与线段分点坐标 在平面直角坐标系中,我们可以利用共线向量坐标之间的关系求解坐标.如图所示,设 P 点 → 是直线 P1P2 上的一点,且 P1P → =λ . PP2 问题 1 定比 λ 与分点位置的一一对应关系如下表: λ λ <-1 λ =-1 -1<λ <0 λ =0 P 点位置 在 的延长线上 不存在 在 的延长线上 与 重合 P 点名称 λ 外分点 0<λ <1 在 与中点之间 λ =1 外分点 λ >1 在中点与 内分点 始点 P 点位置 P 点名称 P为 之间 问题 2 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),试用 λ 及 P1,P2 点的坐标表示 P(x,y)点的坐标. 【典型例题】 例 1 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向 还是反向? → → 跟踪训练 1 已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB与CD是否共线?如果共线, 它们的方向相同还是相反? 2 例 2 已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A,B,C 三点之间的位置关系. 跟踪训练 2 已知三点 A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,试求 m 的值. → → 例 3 已知点 A(3,-4)与点 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且|AP|=2|PB|,求点 P 的坐标. → → 跟踪训练 3 已知点 A(1,-2),若向量AB与 a=(2,3)同向,|AB|=2 13,求点 B 的坐标. 三、巩固训练 1.下列各组的两个向量共线的是 ( ) 3 A.a1=(-2,3),b1=(4,6) B.a2=(1,-2),b2=(7,14) C.a3=(2,3),b3=(3,2) D.a4=(-3,2),b4=(6,-4) 2.已知 a=(-1,2),b=(2,y),若 a∥b,则 y 的值是 ( ) A.1 B.-1 C.4 D.-4 → → 3.若点 A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线,则使AB=λ BC成立的实数 λ 的值为 ( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 → → → 4.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),如果 A、B、C 三点共线,则实数 k= ___________. 四、课堂小结: 1.两个向量共线条件的表示方法 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2) (1)当 b≠0,a=λ b. (2)x1y2-x2y1=0. (3)当 x2y2≠0 时, = ,即两向量的相应坐标成比例. 2.向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面. (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三 点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程思 想的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据 x1 y1 x2 y2 4

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