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高中数学选修1-1(北师版)第二章圆锥曲线与方程2.1(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修1-1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆

一、知识清单
椭圆的基本量与方程

二、知识讲解
1.椭圆的基本量与方程 描述: 椭圆及椭圆的标准方程 平面内与两个定点 F1 ,F2 的距离的和等于常数(大于|F1 F2 | )的点的轨迹叫做椭 圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

以经过椭圆两焦点 F1 ,F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标 系xOy .设 M (x, y) 是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为 2c(c > 0 ),那么焦点 F1 ,F2 的坐 标分别为 (?c, 0) ,(c, 0).又设 M 与 F1 ,F2 的距离的和等于 2a . 因为

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |M F1 | = √(x + c)2 + y 2 , |M F2 | = √(x ? c)2 + y 2 .
由椭圆的定义得

|M F1 | + |M F2 | = 2a,
所以

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? √(x + c)2 + y 2 + √(x ? c)2 + y 2 = 2a,
整理得

y2 x2 + =1 a2 a2 ? c 2



由椭圆的定义可知,2a > 2c,即 a > c,所以,a2 ? c 2 > 0 . ? ? ? ? ? ? 当点 M 的横坐标为 0 时,即点在 y 轴上,此时 |OM | = √a2 ? c 2 ,令

y2 x2 ? ? ? ? ? ? b = |OP | = √a2 ? c 2 ,那么 ① 式就是 + = 1 (a > b > 0) a2 b2



从上述过程可以看到,椭圆上任意一点的坐标都满足方程 ②,以方程 ② 的解 (x, y) 为坐标的

点到椭圆的两焦点 F1 (?c, 0) ,F2 (c, 0) 的距离之和为 2a ,即以方程 ② 的解为坐标的点都在 椭圆上 . 由曲线与方程的关系可知,方程 ② 是椭圆的方程,我们把它叫做椭圆的标准方程. 它的焦 点分别是 F1 (?c, 0) ,F2 (c, 0),这里 c 2 = a2 ? b 2 .

若椭圆的焦点在 y 轴上,此时椭圆的方程是 标准方程.

y2 x2 + = 1 (a > b > 0),这个方程也是椭圆的 a2 b2

椭圆的几何性质 我们利用椭圆的标准方程 1.

y2 x2 + = 1(a > b > 0) 来研究椭圆的几何性质. a2 b2

范围:椭圆上的点横坐标的范围是 ?a ≤ x ≤ a ,纵坐标的取值范围是 ?b ≤ y ≤ b .

    2. 对称性:椭圆关于 x 轴、y 轴都对称,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中 心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 3. 顶点:椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.线段 A 1 A 2 ,B 1 B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长.

4. 离心率:椭圆的焦距和长轴长的比 率的取值范围为 0 < e < 1.

c c 称为椭圆的离心率,用 e 表示,即 e = ,离心 a a

例题: 若动点 M 到两个定点 F1 、F2 的距离的和为定值 m ,则 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.以上都不对 解:D 由于 m 与 |F1 F2 | 的大小关系不能确定,因此 M 的轨迹有可能是椭圆,也有可能是线段,还 有可能不存在. 求椭圆 9x 2 + 16y 2 = 144 的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解:把已知方程化成标准方程

x2 42 ? ? ? ? 于是 a = 4,b = 3 ,c = √? 16 ? 9 = √7 .

+

y2 32

=1

c √7 ,两个焦点坐标分 = a 4 别是 F1 (?√7 , 0) 和 F2 (√7 , 0) ,四个顶点坐标分别是 A 1 (?4, 0) ,A 2 (4, 0),B 1 (0, ?3) 和 B 2 (0, 3).
因此,椭圆的长轴和短轴长分别是 2a = 8 和 2b = 6 ,离心率 e = 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别为 (0, ?2) 、(0, 2),并且椭圆经过点 (?

? 3 5 √? 30 , ),N (2, ); 2 2 3 (3)焦距是 2 ,且过点 P (?√5 , 0);
(2)过点 M (?

3 5 , ); 2 2

√5 . 5 y2 x2 解:(1)由题可知椭圆的焦点在 y 轴上,故设椭圆方程为 + = 1(a > b > 0). a2 b2
(4)与椭圆 4x 2 + 9y 2 = 36 有相同的焦距,且离心率为 由椭圆定义可知,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 5 3 5 ?, 2a = √(? )2 + ( + 2)2 + √(? )2 + ( ? 2)2 = 2√? 10 2 2 2 2 ?.又 c = 2 ,所以 b 2 = a2 ? c 2 = 6 . 所以 a = √? 10
故椭圆标准方程为

y2 x2 + = 1. 10 6 (2)设椭圆的方程为 mx 2 + ny 2 = 1(m > 0, n > 0且m ≠ n).由题意得 ? ?9 ? ? ? 25

? ? 9 m + 25 n = 1, 4 ?4 30 ? ? 4m + n = 1, 9
解得

? ?m = 1 , 6 ? 1 ? ? ?n = . 10
所以椭圆的标准方程为

y2 x2 + = 1. 10 6

(3)若椭圆的焦点在 x 轴上,设其标准方程为 且椭圆过点 P (?√5 , 0) ,所以

y2 x2 + = 1(a > b > 0),由已知得 c = 1 , a2 b2

? 5 = 1, ? a2 ? 2 a ? b 2 = 1,

解得
2 = 5, { a2 b = 4.

所以椭圆的标准方程为

y2 x2 + = 1. 5 4

若椭圆的焦点在 y 轴上,设其标准方程为

? 5 = 1, ? b2 ? 2 a ? b 2 = 1,
解得
2 = 6, { a2 b = 5.

y2 x2 + = 1(a > b > 0), 则有 a2 b2

y2 x2 + = 1. 6 5 y2 y2 x2 x2 综上,椭圆的标准方程为 + =1 或 + = 1. 5 4 6 5 y2 c x2 √5 (4)把方程 4x 2 + 9y 2 = 36 化为 + = 1 ,则其焦距为2√5 .由题意知 = 9 4 a 5 ,而 c = √5 ,所以 a = 5 , b 2 = a2 ? c 2 = 20 . y2 y2 x2 x2 故椭圆方程为 + =1 或 + =1 . 25 20 25 20
所以椭圆的标准方程为

y2 x2 + = 1: k?3 5?k (1)若方程表示圆,求 k 的取值范围; (2)若方程表示椭圆,求 k 的取值范围; (3)若方程表示焦点在 x 轴的椭圆,求 k 的取值范围;
已知方程

(4)若方程表示焦点在 y 轴的椭圆,求 k 的取值范围 . 解:(1)若方程表示圆 ,则

? k ? 3 = 5 ? k, ? k ? 3 > 0, ? 5 ? k > 0,
解得 k = 4. (2)若方程表示椭圆,则

? k ? 3 > 0, ? 5 ? k > 0, ? k ? 3 ≠ 5 ? k.
解得 3 < k < 5且k ≠ 4. (3)若方程表示焦点在 x 轴的椭圆,则

? k ? 3 > 0, ? 5 ? k > 0, ? k ? 3 > 5 ? k.

解得 4 < k < 5. (4)若方程表示焦点在 y 轴的椭圆,则

? k ? 3 > 0, ? 5 ? k > 0, ? 5 ? k > k ? 3.

解得 3 < k < 4.

y2 1 x2 ,则 m =______.  + = 1 的离心率为 4 m 2 16 解: 3 或 3 ? ? ? 1 √? 4? ? m 当焦点在 x 轴上时, = ,解得 m = 3 ; 2 2 ? ? ? ? 1 16 √? m ? 4 当焦点在 y 轴上时, . = ,解得 m = ? ? 2 3 √m 16 综上, m = 3 或 m = . 3
椭圆

y2 x2 + = 1(a > b > 0) ,过椭圆的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A ,B 两点, a2 b2 ?→ ? ?→ ? 若 OA ? OB = 0 ,求椭圆的离心率 e .
已知椭圆

解: 如图所示,由题意知椭圆的右焦点 F2 的坐标为 (c, 0),将 x = c 代入椭圆方程得

y=±
所以 A(c,

b2 . a

b2 b2 ) ,B(c, ? ) . a a ?→ ? ?→ ?→ ? ? ?→ ? b2 b2 因为 OA ? OB = 0 ,OA = (c, ),OB = (c, ? ) ,所以 a a c2 ? (


b2 2 ) = 0, a

c=
所以 b 2 = ac .又 b 2 = a2 ? c 2 ,所以

b2 , a

a2 ? c 2 = ac,


c c2 + ? 1 = 0, 2 a a


e2 + e ? 1 = 0(0 < e < 1)
解得 e =

?1 + √5 . 2

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