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2015年上海市嘉定、宝山区中考数学二模试卷

2015 年宝山嘉定联合模拟考试数学试卷
(满分 150 分,考试时间 100 分钟)
考生注意: 1. 本试卷含三个大题,共 25 题; 2. 答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一 律无效; 3. 除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答 题纸的相应位置上. 】 1.下列实数中,属无理数的是(▲)

22 ; (B) 1.010010001 ; (C) 7 2.如果 a ? b ,那么下列不等式一定成立的是(▲)
(A) (A) a ? b ? 0 ; (B) ? a ? ?b ; (C)

27 ;
1 1 a ? b; 2 2

(D) cos 60? .

(D) 2a ? 2b . (D) 5 或 6 或 7 .

3.数据 6 , 7 , 5 , 7 , 6 , 13 , 5 , 6 , 8 的众数是(▲) (A) 5 ; (B) 6 ; (C) 7 ;
2

4.抛物线 y ? ?( x ? 2) ? 3 向右平移了 3 个单位,那么平移后抛物线的顶点坐标是(▲) ? 3) ?3 ); ? 3) ; (D) (?2 , 0) . (A) ( ? 5 , ; (B) (1, (C) ( ? 1, 5.下列命题中,真命题是(▲) (A)菱形的对角线互相平分且相等; (B)矩形的对角线互相垂直平分; (C)对角线相等且垂直的四边形是正方形; (D) 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 6.Rt△ ABC 中,已知 ?C ? 90 ? , AC ? BC ? 4 ,以点 A 、 B 、 C 为圆心的圆分别记作 圆 A 、圆 B 、圆 C ,这三个圆的半径长都等于 2 ,那么下列结论正确的是(▲) (A) 圆 A 与圆 B 外离; (C) 圆 A 与圆 C 外离; (B) 圆 B 与圆 C 外离; (D) 圆 A 与圆 B 相交.

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】

1 2 ▲ . 2 8.计算: ? 2 x( x ? 2) ? ▲ .
7.计算: ( ? ) ? 9.方程 1 ? x ? 3 的解是 ▲ .

x ?1 的定义域是 ▲ . 4 ? 2x 11.如果正比例函数 y ? kx(k 是常数, k ? 0) 的图像经过点 ( ?1 , 2 ) ,那么这个函数的解析
10.函数 y ? 式是 ▲ . 12.抛物线 y ? ? x ? 2 x ? m ? 2 与 y 轴的交点为 (0,?4) ,那么 m ?
2

▲ .

1

13.某班 40 名全体学生参加了一次“献爱心一日捐”活动,捐款人数与捐款额如图 1 所示, 根据图中所提供的信息,你认为这次捐款活动中 40 个捐款额的中位数是 ▲ 元.
人数

12 10 8 6 4
5 10 15 20 25 元

A

O
A
B 图1 M C 图2

B

D
图3

14.在不透明的袋中装有 2 个红球、 5 个白球和 3 个黑球,它们除颜色外其它都相同,如果 从这不透明的袋里随机摸出一个球,那么所摸到的球恰好为黑球的概率是 ▲ . 15.如图 2,在△ ABC 中,点 M 在边 BC 上, MC ? 2 BM ,设向量 AB ? a , AM ? b , 那么向量 BC ? ▲ (结果用 a 、 b 表示) . 16.如图 3,在平行四边形 ADBO 中,圆 O 经过点 A 、 D 、 B ,如果圆 O 的半径 OA ? 4 , 那么弦 AB ? ▲ . G D A A E F 图5

B

C 图4

D

B

C

17. 我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距.如图 4,在 Rt△ ABC 和 Rt△ ACD 中, ?ACB ? ?ACD ? 90? ,点 D 在边 BC 的延长线上,如果 BC ? DC ? 3 ,那么 △ ABC 和△ ACD 的外心距是 ▲ . 18.在矩形 ABCD 中, AD ? 15 ,点 E 在边 DC 上,联结 AE ,△ ADE 沿直线 AE 翻折 后点 D 落到点 F ,过点 F 作 FG ? AD ,垂足为点 G ,如图 5,如果 AD ? 3GD , 那么 DE ? ▲ . 三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 先化简,再求值:

x 2 ? 2x ? 1 x 2 ? 4 1 ? 2 ? ,其中 x ? 3 ? 1 . x2 ? x x ? 2x x

20. (本题满分 10 分) 解方程组: ?

? x ? 2 y ? 8,
2 2



? x ? 5 xy ? 6 y ? 0. ②

2

21.(本题满分 10 分,每小题满分各 5 分) 某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如图 6. 已知原来三角 形绿化地中道路 AB 长为 16 2 米,在点 B 的拐弯处道路 AB 与 BC 所夹的 ? B 为 45 ? ,在 点 C 的拐弯处道路 AC 与 BC 所夹的 ?C 的正切值为 2 (即 tan ?C ? 2 ) ,如图 7. (1)求拐弯点 B 与 C 之间的距离; (2) 在改造好的圆形(圆 O )绿化地中, 这个圆 O 过点 A 、C ,并与原道路 BC 交于点 D , 如果点 A 是圆弧(优弧)道路 DC 的中点,求圆 O 的半径长. A

O B 图6 D

.
C

图7

22.(本题满分 10 分,每小题满分各 5 分) 已知一水池的容积 V (公升)与注入水的时间 t (分钟)之间开始是一次函数关系,表 中记录的是这段时间注入水的时间与水池容积部分对应值. 注入水的时间 t(分钟) 水池的容积 V (公升) 0 100 10 300 ? ? 25 600

(1)求这段时间时 V 关于 t 的函数关系式(不需要写出函数的定义域) ; (2)从 t 为 25 分钟开始,每分钟注入的水量发生变化了,到 t 为 27 分钟时,水池的容积为 726 公升,如果这两分钟中的每分钟注入的水量增长的百分率相同,求这个百分率.

23. (本题满分 12 分,每小题满分各 6 分) 如图 8,已知△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形,点 D 在边 BC 上,点 E 在边 AD 的 A 右侧,联结 CE . (1)求证: ?ACE ? 60? ; (2)在边 AB 上取一点 F ,使 BF ? BD ,联结 DF 、 EF . 求证:四边形 CDFE 是等腰梯形. F B C

E

D 图8

3

24. (本题满分 12 分,每小题满分各 4 分) 已知平面直角坐标系 xOy (图 9 ) ,双曲线 y ?

k (k ? 0) 与直线 y ? x ? 2 都经过点 x

A(2, m) . (1)求 k 与 m 的值;

(2)此双曲线又经过点 B(n,2) ,过点 B 的直线 BC 与直线 y ? x ? 2 平行交 y 轴于点 C , 联结 AB 、 AC ,求△ ABC 的面积; (3)在(2)的条件下,设直线 y ? x ? 2 与 y 轴交于点 D ,在射线 CB 上有一点 E ,如果 以点 A 、 C 、 E 所组成的三角形与△ ACD 相似,且相似比不为 1 ,求点 E 的坐标. y

1 O 1 x

图9 25. (本题满分 14 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 4 分) 在 Rt△ ABC 中, ?C ? 90 ? , BC ? 2 ,Rt△ ABC 绕着点 B 按顺时针方向旋转,使 点 C 落在斜边 AB 上的点 D ,设点 A 旋转后与点 E 重合,联结 AE ,过点 E 作直线 EM 与 射线 CB 垂直,交点为 M. (1)若点 M 与点 B 重合如图 10,求 cot ?BAE 的值; (2)若点 M 在边 BC 上如图 11,设边长 AC ? x , BM ? y ,点 M 与点 B 不重合,求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)若 ?BAE ? ?EBM ,求斜边 AB 的长. E E A A D D

C

图 10

B(M)

C

M 图 11

B

4

2015 年宝山嘉定联合模拟考试数学试卷参考答案与评分标准
一、1. C ;2. D ;3. B ;4. B ;5. D ;6. A .

1 2 ;8. ? 2 x ? 4 x ;9. x ? ?8 ;10. x ? 2 的一切实数;11. y ? ?2 x ;12. ? 2 ;13.15; 4 3 14. ;15. 3b ? 3a ;16. 4 3 ;17. 3 ;18. 3 5 . 10 ( x ? 1) 2 ( x ? 2)(x ? 2) 1 三、19.解:原式 ? ? ? ????4 分 x( x ? 1) x( x ? 2) x x ?1 x ? 2 1 ? ? ? ?????????2 分 x x x 2 ? ????????????????2 分 x 2 把 x ? 3 ? 1 代入 得: x 2 原式 ? ????????????1 分 3 ?1 ? 3 ? 1 ????????????1 分 ? x ? 2 y ? 8, ① 20. ? 2 2 ? x ? 5 xy ? 6 y ? 0. ② 解:由②得: ( x ? 6 y)(x ? y) ? 0 ????????2 分 即: x ? 6 y ? 0 或 x ? y ? 0 ???????2 分
二、7. 所以原方程组可化为两个二元一次方程组:

? x ? 6 y ? 0, ? ? x ? 2 y ? 8;

? x ? y ? 0, ??????2 分 ? ? x ? 2 y ? 8;

分别解这两个方程组,得原方程组的解是 ?

21.解: (1)过点 A 作 AH ? BC ,垂足为点 H 在 Rt△ AHB 中,∵ ?B ? 45? ∴ ?BAH ? 45? ??????????1 分 ∴ AH ? BH ????????????1 分
2 2 2

? x1 ? ?8 ? x2 ? 6 ,? ????4 分. ? x2 ? 8 ? x1 ? 1
A

O B D

.
C

∵ AH ? BH ? AB , AB ? 16 2 ∴ AH ? BH ? 16 ??????????1 分 在 Rt△ AHC 中, tan ?C ?

H

∴ HC ? 8 ??????1 分 ∴ BC ? 24 ??????1 分 答:拐弯点 B 与 C 之间的距离为 24 米; (2)联结 OC ?????????????1 分 ∵ AH ? BC ,点 A 是优弧 CD 的中点 ∴ AH 必经过圆心 O ??????????1 分 设圆 O 的半径为 r 米,则 OH ? 16 ? r ??1 分 在 Rt△ OHC 中, OH ? HC ? OC
2 2 2

AH ,∵ tan ?C ? 2 HC

∴ r ? 8 ? (16 ? r )
2 2

2

?????????1 分

∴ r ? 10 ???????????????1 分 答:圆 O 的半径长为 10 米.
5

22.解: (1)设 V 关于 t 的函数解析式为: V ? kt ? b ??????1 分 由题意得: ?

?b ? 100 ?????????????1 分 ?10k ? b ? 300 ?k ? 20 ??????????????2 分 ?b ? 100

解此方程组得: ?

所以 V 关于 t 的函数解析式为: V ? 20t ? 100 ?????1 分 (2)设这个百分率为 x ????????????????1 分 由题意得: 600(1 ? x) 2 ? 726????????????2 分 解此方程得: x1 ? 0.1 ? 10% , x2 ? ?2.1 (不符合题意舍去)??1 分 答这个百分率为 10 % .????????????????????1 分 23.证明: (1)∵△ ABC 是等边三角形 ∴ AB ? AC , ?B ? ?BAC ? ?ACB ? 60? ??1 分 ∵△ ADE 是等边三角形 ∴ AD ? AE , ?DAE ? 60? ????????1 分 ∴ ?BAC ? ?DAE ∵ ? BAD ? ?BAC ? ?DAC

A

?CAE ? ?DAE ? ?DAC ∴ ?BAD ? ?CAE ??????????1 分 F ∴△ ABD ≌△ ACE ?????????1 分 ∴ ?B ? ?ACE ???????????1 分 B ∴ ?ACE ? 60? ???????????1 分 (2)∵ BF ? BD , ?B ? 60? ∴△ BDF 是等边三角形 ∴ BD ? BF ? FD ??????????1 分 ∵△ ABD ≌△ ACE ∴ BD ? CE ∴ BF ? FD ? CE ??????????1 分 ∵ ?B ? ?ACB ? ?ACE ? 60? ∴ ?B ? ?ECB ? 180 ? ∴ BF ∥ CE ????????????1 分 ∴四边形 ECBF 是平行四边形 ????1 分 ∴ DC ∥ EF 又 DF 与 CE 不平行 ∴四边形 CDFE 是梯形????????1 分 又 FD ? CE ∴四边形 CDFE 是等腰梯形??????1 分

E C

D

6

24.解: (1) ∵直线 y ? x ? 2 经过点 A(2, m) ∴ m ? 2 ? 2 ? 4 ????????????1 分 ∴点 A 的坐标为 A(2,4) ????????1 分 ∵双曲线 y ? ∴4 ?

k (k ? 0) 经过点 A(2,4) x

k ????????????????1 分 2 ∴ k ? 8 ????????????????1 分 8 (2)由(1)得:双曲线的表达式为 y ? x 8 8 ∵双曲线 y ? 经过点 B(n,2) ,∴ 2 ? ,∴ n ? 2 n x ∴点 B 的坐标为 ( 4,2) ??????????????1 分 ∵直线 BC 与直线 y ? x ? 2 平行 ∴可设直线 BC 的表达式为: y ? x ? b ∴ 2 ? 4 ? b ,∴ b ? ?2 ,∴直线 BC 的表达式为: y ? x ? 2 ∴点 C 的坐标为 (0,?2) ??????????????1 分
∴ AB ? 2 2 , BC ? 4 2 , AC ? 2 10 ,∴ AB ? BC ? AC ∴ ?ABC ? 90? ????????????????1 分
2 2 2

1 ? AB ? BC ? 8 ????????1 分 2 (3)根据题意设点 E 的坐标为 ( x, x ? 2) ,这里的 x ? 0 ∵直线 y ? x ? 2 与 y 轴交于点 D ∴点 D 的坐标为 (0,2)
∴△ ABC 的面积为 ∴ AD ? 2 2 , CE ? 2 x ∵ AD ∥ BC ∴ ?DAC ? ?ACE ????????????????1 分 当 ?ADC ? ?CAE 时,△ ADC ∽△ CAE

AD AC ? AC CE 2 2 2 10 ∴ ? 2 10 2x x ? 10 ∴ ∴点 E 的坐标为 (10,8) ??????????????2 分 当 ?ADC ? ?CEA 时,△ ADC ∽△ CEA AD AC ? ∴ EC AC ∴ AD ? EC 又 ?DAC ? ?ACE , AC ? CA ∴△ ADC ≌△ CEA 又已知△ ADC 与△ CEA 的相似比不为 1
∴ ∴这种情况不存在 ????????????????1 分 综上所述点 E 的坐标为 (10,8)

7

25.解: (1)当点 M 与点 B 重合,由旋转得: BC ? BD ? 2 , AC ? ED , ?CBA ? ?EBD , ?EDB ? ?C ? 90 ? ∵ EM ? CB ∴ ?EBC ? 90? ∴ ?CBA ? ?EBD ? 45? ????1 分 ∴ ?CAB ? ?CBA ? 45? ∴ AC ? CB ? 2 A ∴ AB ? 2 2 ?????????????1 分 ∴ DE ? DB ? 2 D ∴ AD ? 2 2 ? 2 ???????????1 分 ∴ cot ?BAE ?

E

AD ? 2 ? 1 ??????1 分 DE (2)设 EM 与边 AB 交点为 G B(M) C 由题意可知: ?1 ? ?2 ? 90? , ?3 ? ?CBA ? 90? 又 ? 2 ? ?3 ,∴ ?1 ? ?CBA ∵ ?EBD ? ?CBA , ∴ ?1 ? ?EBD ,∵ ?EDG ? ?BDE ,∴△ EDG ∽△ BDE ED DG ? ∴ ????????????????1 分 BD ED ∵ BC ? BD ? 2 , AC ? ED ? x x DG x2 ∴ ? ,∴ DG ? ??????????1 分 2 x 2 E MB BC ? 由题意可知: cos ?ABC ? ?????1 分 BG AB 1 2 4 ? x A AB ? x 2 ? 4 , GB ? 2 D y 2 ? ∴ ???????? 1 分 2 4 ? x2 x2 ? 4 G 3 2 C H B M 4 ? x2 x 2 ? 4 ????????1 分 ∴y? 2 x ?4 定义域为 0 ? x ? 2 ??????????1 分 (3)当点 M 在边 BC 上时,由旋转可知: AB ? EB ,∴ ?AEB ? ?BAE 设 ?CBA ? x? ,则 ?ABE ? x? ,∵ ?BAE ? ?EBM ,分别延长 EA 、 BC 交于点 H ∴ ?AEB ? ?BAE ? ?EMB ? 2 x? ,∵ ?ABE ? ?BAE ? ?AEB ? 180 ? ∴ x ? 36 易得: ?H ? ?ABH ? ?ABE ? 36? , ?HBE ? ?BAE ? ?AEB ? 72? ∴ AH ? AB ? BE , HB ? HE ,∵ ?ACB ? 90? ,∴ HC ? BC ? 2 AB AE ? ∴ HB ? HE ? 4 ,∴△ BAE ∽△ HBE ,∴ ,又 BE ? AB HB BE AB 4 ? AB AE ? HE ? HA ? 4 ? AB ,∴ ? ,∴ AB ? ?2 ? 2 5 (负值舍去) 4 AB ∴ AB ? ?2 ? 2 5 ??????????2 分 当点 M 在边 CB 的延长线上时,∵ ?AEB ? ?BAE , ?BAE ? ?EBM E ∴ ?AEB ? ?EBM ∴ AE ∥ MC ∴ ?BAE ? ?CBA A ∵ ?CBA ? ?EBA ∴ ?EBM ? ?CBA ? ?EBA BC ∴ ?CBA ? 60? ,∵ cos ?CBA ? , BC ? 2 AB D ∴ AB ? 4 ??????????2 分 综上所述: AB ? ?2 ? 2 5 或 4 .
8

C

B

M

9


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