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2014届上海市黄浦区高三二模数学(文)试题及答案


上海市黄浦区 2014 届高考模拟考试(二模) 数学文试题
(2014 年 4 月 10 日)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答 一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结 果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? log 2

1? x 的定义域是 1? x

. .

2.函数 y ? cos2 x ? sin 2 x 的最小正周期 T ? 3 . 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ?? x |

x ?

a ? 0,


, B ? ?x || x ?1|? 3, x ? R? . 若 x ? ?R

(CU A) ?

? B ?[

2,则实数 , 4 ] a 的取值范围是
*

4. 已知等差数列 ?an ? (n ? N ) 的公差为 3 ,a1 ? ?1 ,前 n 项和为 Sn ,则 lim 5.函数 f ( x) ?| loga x | (a ? 0, 且a ? 1) 的单调递增区间是 6.函数 f ( x) ? ? x ( x ? 0) 的反函数是 f
2 ?1

nan 的数值是 n ?? S n
. .



( x) ,则反函数的解析式是 f ?1 ( x) ?

2 2 2

7.方程 log2 (4 ? 3) ? x ? 1 的解 x ?
x

8.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边的长度分别为 a、b、c ,且 a ? b ? c ? 3ab, 则 ?C ? .
2

9.已知 x1 ? 1 ? i(i 是虚数单位,以下同)是关于 x 的实系数一元二次方程 x ? ax ? b ? 0 的一个根, 则实数 a ? ,b ? .

10.若用一个平面去截球体,所得截面圆的面积为 16? ,球心到该截面的距离是 3 ,则这个球的表面 积是 .

2 x ? y ? 1 ? 0,l2:x ? 3 y ? 5 ? 0 , 则 直 线 l1与l2 的 夹 角 的 大 小 11 . ( 文 ) 已 知 直 线 l1:
1



.(结果用反三角函数值表示)

?3 x ? y ? 0, ? 12 . ( 文 ) 已知实数 x、 y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则目标函数 z ? x ? y ? 1 的最大值 ? x ? 3 y ? 5 ? 0. ?
是 . 13. (文)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的 7 个乒乓球(袋中仅有白色和黄色两种 颜色的球),若从袋中随机摸一个乒乓球,得到的球是白色乒乓球的概率是 两个球,得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是 .

2 ,则从袋中一次随机摸 7

?? 1 ? x ?? ? ,0 ? x ? 2 14.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ?? 2 ? 若关于 x 的 ?log x.x ? 2 ? 16
方程 [ f ( x)]2 ? a ? f ( x) ? b ? 0 (a、b ? R) 有且只有 7 个不同实数根,则 (文) a ? b 的值是 .

二.选择题(本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知 a、b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列结论恒成立的是 A. a ? b ? 2 ab B. [答] ( D. a ? b ? 2ab
2 2

).

a b ? ?2 b a

C. |

a b ? |? 2 b a

16.已知空间直线 l 不在平面 ? 内,则“直线 l 上有两个点到平面 ? 的距离相等”是“ l || ? ”的 [答] ( A.充分非必要条件
2 2

).

B.必要非充分条件 C.充要条件
2 2

D.非充分非必要条件

17.已知 a、b ? R, a ? b ? 0 ,则直线 l:ax ? by ? 0 与圆: x ? y ? ax ? by ? 0 的位置关系是 [答] ( A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 ).

18.(文) 四棱锥 S ? ABCD 的底面是矩形,锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点,四棱锥及其 三视图如下(AB 平行于主视图投影平面)

2

则四棱锥 S ? ABCD 的体积= A.24 B.18 C.

[答](

) .

8 5 3

D.8

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内 写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. (文) 已知矩形 ABB1 A 1 是圆柱体的轴截面, O、O 1 分别是下底面圆和上底面圆的圆心,母线长与 底面圆的直径长之比为 2 :1 ,且该圆柱体的体积为 32? ,如图所示. (1)求圆柱体的侧面积 S侧 的值; (2)若 C1 是半圆弧 A1B1 的中点,点 C 在半径 OA 上,且 OC ? 面直线 CC1 与 BB1 所成的角为 ? ,求 sin ? 的值.

1 OA ,异 2

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题 满分 7 分. 已知复数 z1 ? cos x ? i, z2 ? 1 ? isin x, x ? R . (1)求 | z1 ? z2 | 的最小值; (2)设 z ? z1 ? z2 , 记 f ( x) ? Imz (Imz 表示复数 z 的虚部). 将函数 f ( x) 的图像上所有点的横坐标 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再把所得的图像向右平移 求函数 g ( x) 的解析式.

? 个单位长度, 得到函数 g ( x) 的图像. 试 2

3

21.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 某通讯公司需要在三角形地带 OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站,甲中转站建 在区域 BOC 内,乙中转站建在区域 AOB 内.分界线 OB 固定,且 OB = (1 ? 3) 百 线 C 米,边界

AC









B




0



线

OA 、OC





?A

0 O 7? C 5

,?

A

0

O ? 3 B 0 ?. ,

B ?O 4C 5
B A 第 21 题图

设 OA ? x ( 3 ? x ? 6 )百米, OC ? y 百米. (1)试将 y 表示成 x 的函数,并求出函数 y 的解析式; O (2)当 x 取何值时?整个中转站的占地面积 S ?OAC 最小,并求出其面积的最小值.

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2n ? a2n?1 ? (?1) n , a2n?1 ? a2n ? 3n ( n ? N ).
*

(1)求 a3、a5、a7 的值; (2)求 a2 n?1 (用含 n 的式子表示); (3) (文) 记 bn ? a2n?1 ? a2n ,数列 ?bn ? (n ? N ) 的前 n 项和为 S n ,求 S n (用含 n 的式子表示).
*

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (文) 已知点 D(1, 2) 在双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, 且双曲线的一条渐近线的方程是 b2

3x ? y ? 0 .
(1)求双曲线 C 的方程; (2)若过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 有两个不同交点,求实数 k 的取值范围; (3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两个不同点,若以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点, 求实数 k 的值.

4

参考答案和评分标准(2014 年 4 月 10 日)
一、填空题 1. (- 1,1) ; 2. p ; 3. a < - 4 4. 2 ; 5. [1, + ; 8.

p ; 6


9. a = - 2, b = 2 10. 100p ; 11. (文) arccos

2 (或 arctan 7) ; 10

);

12.(文) ?

6. f - 1 ( x) = 7. x = log2 3

- x (x


0) ;

3 ; 2 10 13. (文) ; 21

14. (文) - 1 . 16.B 17.B 18.D

二、选择题: 15.C 三、解答题 19.本题满分 12 分.

2 (文) 解(1)设圆柱的底面圆的半径为 R ,依据题意,有 AA 1 ? 2 AB ? 4R, ?R ? AA 1 ? 32? ,



R?2.

∴ S侧 =2? R ? AA 1 ? 32? . (2) 设 D 是线段 AO 1 1 的中点,联结 DC、DC1、O 1C1 ,则 C1O 1 ? A 1B 1 , CD || BB 1. 因此, ?C1CD 就是异面直线 CC1 与 BB1 所成的角,即 ?C1CD ? ? . 又 R ? 2 , ?CDC1 ? ?C1O1D ? 900 , ∴ DC1 ? 5, CC1 ? 69 . ∴ sin ? ?

5 345 . ? 69 69

20.本题满分 14 分 解(1)∵ z1 ? cos x ? i, z2 ? 1 ? isin x, x ? R ,
5

∴ | z1 ? z2 |?

(cos x ? 1) 2 ? (1 ? sin x) 2

? ? 3 ? 2 2 sin( x ? ) . 4
∴当 sin( x ?

?

? ) ? ?1 ,即 x ? 2k ? ? (k ? Z) 时, 4 4
| z1 ? z2 |min ? 3 ? 2 2 (? 2 ? 1) .

(2)∵ z ? z1 ? z2 , ∴ z ? z1 ? z2 ? sin x ? cos x ? (1 ? sin x cos x)i . ∴ f ( x) ? 1 ? sin x cos x ? 1 ?

1 sin 2 x( x ? R) . 2

将函数 f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后,得到的图像所对应

1 sin x . 2 1 ? n的图像向右平移 把 函 数 y ? 1? s i x 个单位长度,得到的图像对应的函数是 2 2 1 ? y2 ? 1 ? sin( x ? ) . 2 2
的函数是 y1 ? 1 ? ∴ g ( x) ? 1 ?

1 ? 1 sin( x ? ) ? 1 ? cos x( x ? R) . 2 2 2

21.本题满分 12 分. 解(1)结合图形可知, S?BOC ? S?AOB ? S?AOC . 于是,

1 1 1 x(1 ? 3) sin 300 ? y (1 ? 3) sin 450 ? xy sin 750 , 2 2 2

解得 y ?

2x (3 ? x ? 6) . x?2 2x (3 ? x ? 6) , x?2

(2)由(1)知, y ?

因此, S?AOC ?

1 1 ? 3 x2 xy sin 750 ? 2 4 x?2
6

?

1? 3 4 [( x ? 2) ? ? 4] 4 x?2
4 ,即 x ? 4 时,等号成立). x?2

? 2 ? 2 3 (当且仅当 x ? 2 ?

答:当 x ? 400 米时,整个中转站的占地面积 S ?OAC 最小,最小面积是 (2 ? 2 3) ?104 平方米. 12 分 22.本题满分 18 分. 解(1)? a1 ? 1, a2n ? a2n?1 ? (?1) n , a2n?1 ? a2n ? 3n ( n ? N ),
*

? a2 ? a1 ? (?1)1 ? 0, a3 ? a2 ? 31 ? 3, a4 ? a3 ? 1 ? 4, a5 ? a4 ? 32 ? 13, a6 ? a5 ? 1 ? 12, a7 ? a6 ? 33 ? 39.
(2)由题知,有 a2n?1 ? a2n?1 ? 3n ? (?1)n (n ? N* ) .

? a2 n ?1 ? a2 n ?3 ? 3n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? a2 n ?3 ? a2 n ?5 ? 3n ? 2 ? (?1) n ? 2 ? ? 1 2 n ?1 1 2 n ?1 ? ? ? a2 n ?1 ? a1 ? (3 ? 3 ? ? ? 3 ) ? [(?1) ? (?1) ? ? ? (?1) ] . ? a5 ? a3 ? 32 ? (?1) 2 ? ? a3 ? a1 ? 31 ? (?1)1 ?

∴ a2 n ?1 ?

3n ? (?1) n ? 1(n ? N* ) . 2
n

(文) (3)由(2)可知, a2 n ? a2 n ?1 ? (?1) ? ∴ bn ? a2n?1 ? a2n ? 3 ? 2(n ? N ) .
n *

3n ? (?1)n ? 1 , n ? N* . 2

∴ Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

? (3 ? 2) ? (32 ? 2) ? (33 ? 2) ? ?? (3n ? 2)

7

?

3(1 ? 3n ) 1 3 ? 2n ? ? 3n?1 ? 2n ? (n ? N* ) . 1? 3 2 2

23.本题满分 18 分.

?1 2 ? ? 1, ? ? a 2 b2 (文) 解(1)由题知,有 ? ? b ? 3. ? ?a

? 2 1 ?a ? , 解得 ? 3 ?b 2 ? 1. ?
因此,所求双曲线 C 的方程是

x2 y 2 ? ?1 1 1 3

(2) ∵直线 l 过点 (0,1) 且斜率为 k , ∴直线 l : y ? kx ? 1 .

?3x 2 ? y 2 ? 1, 2 2 联立方程组 ? 得 (3 ? k ) x ? 2kx ? 2 ? 0 . ? y ? kx ? 1
又直线 l 与双曲线 C 有两个不同交点, ∴?

?3 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ? ?? ? (?2k ) ? 4(3 ? k )(?2) ? 0.

解得 k ? (? 6, ? 3) ? (? 3, 3) ? ( 3, 6) .

2k ? x1 ? x2 ? , ? ? 3? k2 (3)设交点为 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,由(2)可得 ? ? x x ? ?2 . ? 1 2 3? k2 ?
又以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点, 因此, OA ? OB(O 为坐标原点) . 于是, OA ? OB ? 0, 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , (1 ? k ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,
2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

8

?2(1 ? k 2 ) 2k 2 ? ? 1 ? 0 , 解得 k ? ?1 . 3? k2 3? k2
2 又 k ? ?1 满足 3 ? k ? 0 ,且 ? ? 0 ,

所以,所求实数 k ? ?1 .

9


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