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高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课件新人教A版选修23

第二章

随机变量及其分布

2.4 正态分布

[学习目标]

1.利用实际问题的直方图,了解正态曲 2.能借助正 3.会

线的特点及正态曲线所表示的意义(重点).

态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义 (重点).

利用正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率 ( 难 点).

1.正态曲线及其性质 (1)正态曲线:
(x-μ)2 1 - 函数φμ ,σ (x)= e 2σ 2 ,x∈(-∞,+∞), 2π σ

其中实数μ,σ (σ>0)为参数,我们称φμ ,σ (x)的图象为正 态分布密度曲线,简称正态曲线.

(2)正态曲线的性质. ①曲线位于 x 轴 上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称;
1 2πσ ③曲线在 x=μ 处达到峰值_________ ;

④曲线与 x 轴之间的面积为 1;

⑤当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移, 如图①所示; ⑥当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越小,曲线 越“瘦高”, 表示总体的分布越集中; σ 越大, 曲线越“矮 胖”,表示总体的分布越分散,如图②所示.

图①

图②

2.正态分布 一般地,如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=∫b aφμ ,σ (x)dx,则称随机变量 X 服从正 态分布(normal distribution). 正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正态分布常记作 N(μ,σ 2).如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 X~N(μ,σ 2).

3.正态总体在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6; (2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4; (3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4. 4.3σ原则 通常服从正态分布 N(μ,σ 2)的随机变量 X 只取(μ- 3σ,μ +3σ)之间的值.

1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)正态密度曲线y=φμ ,σ (x)关于直线x=0对 称.( ) )

(2)正态总体N(3,4)的标准差为4.(

(3)在正态分布中参数 μ 是反映随机变量取值的平均 水平的特征数,可以用样本均值去估计;σ 是衡量随机变 量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估 计.( )

解析:(1)错.正态曲线关于直线 x=μ 对称. (2)错.由 σ2=4,σ>0 知 σ=2. (3)对.由正态分布的概念知(3)正确. 答案:(1)× (2)× (3)√

2.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ 2),则 P(X <2)等于( 1 A. 5 ) 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2

1 解析:由题意知的 X 均值为 2,因此 P(X<2)= . 2 答案:D

3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P( 2≤ X≤4)=0.682 6,则P(X>4)=( )

A.0.158 8 B.0.158 7 C.0.158 6 D.0.158 5 1 解析:P(3≤X≤4)= P(2≤X≤4)=0.341 3, 2 P(X>4)=0.5-P(3≤X≤4)=0.5-0.341 3=0.158 7. 答案:B

1 4. 正 态 分 布 的 概 率 密 度 函 数 P(x) = e- 2 2π (x-5)2 在(3,7]内取值的概率为________. 8 解析:由题意可知 X~N(5,4),且 μ=5,σ=2, 所以 P(3<X≤7)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. 答案:0.682 6

5.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,9),若 P(ξ>c +1)=P(ξ<c-1),则 c=________. 解析:由正态分布的性质及条件 P(ξ>c+1)=P(ξ<c -1)得,(c+1)+(c-1)=2×2,所以 c=2. 答案:2

类型 1 正态曲线及其性质(自主研析) [典例 1] 下面是关于正态曲线性质的叙述:

①曲线关于直线 x=μ 对称, 这条曲线在 x 轴的上方; ②曲线关于直线 x=σ 对称,这条曲线只有当 x∈(- μ,μ )时才在 x 轴的上方; ③曲线关于 y 轴对称, 因为曲线对应的正态分布密度 函数是一个偶函数;

④曲线在 x=μ 时位于最高点,由这一点向左、右两 边延伸时,曲线逐渐降低; ⑤曲线的位置由 μ 确定,曲线的形状由σ 确定; ⑥σ 越大, 曲线越“矮胖” ,σ 越小,曲线越“瘦高” . 其中正确的是( A.只有①④⑤⑥ C.只有③④⑤⑥ ) B.只有②④⑤ D.只有①⑤⑥

解析:正态曲线是一条关于直线 x=μ 对称,当 x=μ 时处于最高点, 由该点向左、 右两边无限延伸并逐渐降低 的曲线,该曲线总是位于 x 轴的上方,曲线的位置由 μ 确定,曲线的形状由 σ 确定,σ越大,曲线越“矮胖”,

σ越小,曲线越“瘦高”.故应选 A.
答案:A

归纳升华 利用正态曲线的性质可以求参数 μ,σ: (1)正态曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称,由此 性质结合图象求 μ;

1 (2)正态曲线在 x=μ 处达到峰值 , 由此性质结合 σ 2π 图象可求 σ; (3)由 σ 的大小区分曲线的胖瘦.

[ 变式训练 ]

若一个正态分布的概率密度函数是一

1 个偶函数, 且该函数的最大值为 .则该正态分布的概 4 2π 率密度函数的解析式是_______________________. 解析:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函 1 1 数,所以其图象关于 y 轴对称,即 μ=0.由 = , 2πσ 4 2π 得 σ=4.

1 故该正态分布的概率密度函数是 φμ,σ(x)= e- 4 2π x2 , 32 x∈(-∞,+∞). 1 -x 2 答案:φμ,σ(x)= e 32,x∈(-∞,+∞) 4 2π

类型 2 利用正态曲线的对称性求概率 [典例 2] 在一次测试中,测量结果 X 服从正态分布

N(2,σ 2)(σ>0),若 X 在(0,2)内取值的概率为 0.2,求: (1)X 在(0,4)内取值的概率; (2)P(X>4).
解: (1)由于 X~N(2, σ2), 对称轴 x=2, 画出示意图,

因为 P(0<X<2)=P(2<x<4), 所以 P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4. 1 1 (2)P(X>4)= [1-P(0<X<4)]= (1-0.4)=0.3. 2 2

归纳升华 1.充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积 为 1. 2.熟记 P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ), P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值.

3.注意概率值的求解转化: (1)P(X<a)=1-P(X≥a); (2)P(X<μ-a)=P(X≥μ+a); 1-P(μ-b<X<μ+b) (3)若 b<μ,则 P(X<b)= . 2

[变式训练]

若随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),

已知 P(ξ<-1.96)=0.025,求 P(|ξ|<1.96). 解:由随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),得 P(ξ< 1.96)=1-P(ξ≤-1.96),所以 P(|ξ|<1.96)=P(-1.96<ξ <1.96)=P(ξ<1.96)-P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ≤-1.96)= 1-2P(ξ<-1.96)=1-2×0.025=0.950.

类型 3 正态分布的应用 [典例 3] 在某次数学考试中,考生的成绩 X 服从一

个正态分布,即 X~N(90,100). (1)试求考试成绩 X 位于区间(70,110)上的概率; (2)若这次考试共有 2 000 名考生, 试估计考试成绩在 (80,100)间的考生大约有多少人?

解:因为 X~N(90,100), 所以 μ=90,σ= 100=10. (1) 由于 X 在区间 (μ - 2σ , μ + 2σ) 内取值的概率是 0.954 4,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+ 2σ=90+2×10=100,

于是考试成绩 X 位于区间 (70 , 110) 内的概率就是 0.954 4. (2)由 μ=90,σ=10,得 μ-σ=80,μ+σ=100. 由于变量 X 在区间 (μ - σ , μ + σ) 内取值的概率是 0.682 6,所以考试成绩 X 位于区间(80,100)内的概率是 0.682 6,

所以估计考试成绩在 (80 , 100) 间的考生大约有 2 000×0.682 6=1 365(人).

归纳升华 解答此类题目的关键在于将待求的问题向 (μ- σ, μ +σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)这三个区间进行 转化, 然后利用上述区间的概率求出相应概率, 在此过程 中依然会用到化归思想及数形结合思想.

[ 变式训练 ]

某年级的一次信息技术测验成绩近似

服从正态分布 N(70, 102), 如果规定低于 60 分为不及格, 求: (1)成绩不及格的人数占总人数的比例; (2)成绩在 80~90 分内的学生占总人数的比例.

解:(1)设学生的得分为随机变量 X,X~N(70,102), 则 μ=70,σ=10.

分数在 60~80 之间的学生的比例为 P(70-10<X≤70+10)=0.682 6, 1 所以不及格的学生的比例为 ×(1-0.682 6)=0.158 2 7. 即成绩不及格的学生占总人数的 15.87%.

(2)成绩在 80~90 分内的学生的比例为 1 1 [P(70 - 2×10 < X≤70 + 2×10)] - [P(70 - 10 < 2 2 1 X≤70+10)]= (0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2 即成绩在 80~90 内的学生占 13.59%.

1.正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布, 参数 μ 就是随机变量 X 的均值,它可以用样本的均值去 估计,参数 σ 就是随机变量 X 的标准差,它可以用样本 的标准差去估计.

2.对于有关正态分布的计算问题,要记住正态总体 取值在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ +3σ)内的概率值,将所给问题转化到上述区间内解决, 同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用.


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