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湖北省黄冈市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析

黄冈市 2016 年秋季高二年级期末调研考试

数学试题(理科)
一、选择题:
1.某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1,2,3,?,840 随机编号,则抽取的 42 个人中, 编号落入区间[481,720]的人数为 A.11 B.12 C.13 D.14

2.执行右图程序中,若输出 y 值为 1,则输入 x 的值为 A.0 B.1 C.0 或 1 D.-1,0 或 1

3.右表是能耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨)煤的几组对应数据,根据 表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 ^ y =0.7x+0.35,那么表中 m 的值为 A.4 B.3.15 C.4.5 D.3

x2 y2 4.已知椭圆25+ m2 =1 (m>0) 的焦距为 8,则 m 的值为 A.3 或 41 B.3 C. 41 D.±3 或± 41 1 5.已知 x,y∈R,则“x+y=1”是“xy≤4 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充发条件 D.既不充分也不 必要条件 6.某公司的班车在 7∶30,8∶00,8∶30 发车,小明在 7∶50 至 8∶30 之间到达发车站坐 班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 1 A.3 3 B.4 2 C.3 1 D.2

7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若点 G 是△BA1D 的重心,且AG=x· AD+y· AB +z· CC1,则 x +y+z 的值为 A.3 B.1 C.-1 D.-3 8.给定下列命题,其中真命题的个数为: ① 已知 a,b,m∈R,若 am2<bm2,则 a<b; ② “矩形的对角线相等”的逆命题; ③ “若 xy=0,则 x,y 中至少有一个为 0”的否命题; ④ 如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非玲常数, 那么这组数据的平均数和方差都改变. A.0 B.1 C.2 D.3 9.执行右方的程序框图,若输出 S=2550,则判断框处为









A.k≤50? B.k≥51?

C.k<50?

D.k>51?

10.如右图所示,过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点 F 的 直线 l 交抛物线于点 A,B,交其准线于点 C, 若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 3 A.y2=2x B.y2=3x 9 C.y2=2x D.y2=9x

11.如图,在正方形 ABCD 中,AB=2,E 为线段 CD 上 一动点,现将△AED 沿 AE 折起,使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C,则 点 K 形成轨迹的长度为

A. 2

B.2 2

π C.2

π D.4

12 .设点 P(x , y) 是曲线 a|x| + b|y| = 1(a > 0 , b > 0) 上任意一点,其坐标 (x , y) 满足 x2+y2+2x+1+ x2+y2-2x+1≤2 2,则 2a+b取值范围为 A.(0,2] B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 二、填空题: 13. 若命题 p: “?x∈R, ax2+2x+1>0” 是假命题, 则实数 a 的取值范围是________________. 14.已知圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=9,P(2,2)是该圆内一点,过 P 的最长的弦和最短的 弦 分 别 是 AC 和 BD , 则 四 边 形 ABCD 的 面 积 是 ______________. 15.右图是甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图, 其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均 成绩的概率为_______________. x2 y2 16.过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点, 3 与双曲线的渐近线交于 C,D 两点,若|AB|≥5|CD|,则双曲线离心率的取值范围为

___________________. 三、解答题. 17.(本题满分 10 分) 已知 a∈R,设命题 p:指数函数 y=ax (a>0 且 a≠1)在 R 上单调递增; 命题 q:函数 y=ln(ax2-ax+1)的定义域为 R.若“p∧q”为假, “p∨q”为真,求 a 的 取值范围.

18.(本题满分 12 分) 2016 年 1 月 1 日,我国实施“全面二孩”政策,中国社会科学院在某 地随机抽取了 150 名已婚男性,其中愿意生育二孩的有 100 名,经统计,该 100 名男 性的年龄情况对应的频率分布直方图如下: (1) 根据频率分布直方图,估计这 100 名已婚男性的年龄平均值- x 、众数、中位数和样 本方差 s2(同组数据用区间的中点值代替,结果精确到个位); (2) 若在愿意生育二孩且年龄在[30,34),[34,38),[38,42)的三组已婚男性中,用分 层抽样的方法抽取 19 人,试估算每个年龄段各抽取多少人?

19.(本题满分 12 分) 在一次商贸交易会上,商家在柜台开展促销抽奖活动,甲、乙两人相 约同一天上午去该柜台参与抽奖.(1) 若抽奖规则是从一个装有 2 个红球和 4 个白球的 袋无放回地抽取 2 个球, 当两个球同色时则中奖, 求中奖概率; (2) 若甲计划在 9: 00~9: 40 之间赶到,乙计划在 9:20~10:00 之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.

20.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的 半径为 1,圆心在 l 上.(1) 若圆心 C 也在直线 y=x-3 上,过点 A 作圆 C 的切线,求 切线的方程;(2) 若圆 C 上存在点 M,使得|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标的取值 范围.

21.(本题满分 12 分) 如图,在棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥PD,PA=PD, AB⊥AD,AD=2,AC=CD= 5.(1) 求证:PD⊥平面 PAB;(2) 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

22.(本题满分 12 分) 如图,椭圆的右焦点 F2 与抛物线 y2=4x 的焦点重合,过 F2 且与 x 轴 垂直的直线与椭圆交于 S、T,与抛物线交于 C、D 两点,且|CD|=2 2|ST|.(1) 求椭 圆的标准方程;(2) 设 P 为椭圆上一点,若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆交于不同两点 A → → → 和 B,且满足OA+OB=t·OP (O 为坐标原点),求实数 t 的取值范围.

黄冈市 2016 年秋季高二期末调研考试数学参考答案(理科)

一、选择题: BCDAA DBCAB CD 1.B 考点:系统抽样方法. 2.C 【解析】由题意得 ? 考点:程序框图. 3.D 【解析】由题意得, x ?

? x ?1 ? x ?1 或? ,解得 x=1 或 x=0,故选 C. 2 2 ?1 ? x ?1 ? ? x ? 1

3? 4?5? 6 9 2.5 ? m ? 4 ? 4.5 11 ? m ? ,y? ? ,代入回归直线 4 2 4 4

11 ? m 9 方程^ y =0.7x+0.35,即 ? 0.7 ? ? 0.35 ,解得 m=3,故选 D. 4 2 考点:回归直线方程的应用. 4.A

【解析】 f ? x ? ?

?????? 2x ?1? x? x ?1? x? x ?1? x? x ?1



当 x=1 时的函数值时用秦九韶算法计算: v0 ? 2, v1 ? 1? 2 ? 1 ? 3, v2 ? 1? 3 ? 0 ? 3 考点:秦九韶算法 5.A 考点:充分条件必要条件及不等式性质的应用 6.D 【解析】设小明到达时间为 y,当 y 在 7:50 至 8:00,或 8:20 至 8:30 时,因为小明等 车时间不超过 10 分钟,故 P ? 考点:几何概型概率公式. 7.B.

10 ? 10 1 ? ,故选 D. 40 2

1 【解析】 根据 B, D, A1,G四点共面知 x ? y ? z ? 1, 或根据平面向量基本定 理知 x ? y ? z ? , 3
考点:平面向量基本定理及四点共面定理。 8.C 【解析】①正确,此时 m2>0,②逆命题:“对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ③否命题:“若 xy≠0,则 x、 y 都不为零”是真命题. ④根据平均数与方差的计算公式,平均数改变,方差不变;故不正确; 故答案为:①③ 考点:命题的真假判断与应用 9.B 【解析】 A, 如果输出 b 的值为 792, 则 a=792, I (a) ? 279, D(a) ? 972, b ? D(a) ? I (a) ? 972? 279 ? 693, 不满足题意.B, 如果输出 b 的值为 495,则 a=495,I (a) ? 459, D(a) ? 954, b ? D(a) ? I (a) ? 954? 459 ? 495, 满足题意. 所以 B 选项是正确的. C,如果输出 b 的值为 594,则 a=594, I (a) ? 459, D(a) ? 954, b ? D(a) ? I (a) ? 954? 459 ? 495,不 满足题意故选项 C 错误; 如果输出 b 的值为 693,则 a=693,

I (a) ? 369, D(a) ? 963, b ? D(a) ? I (a) ? 963? 369 ? 594,不满足题意故 D 是错误的.
考点:程序框图. 10.B【解析】如图,过 B 作 BD 垂直准线于 D ,过 A 作 AE 垂直准线于 E ,记准线与 x 轴 的交点为 H .由抛物线定义知 BF ? BD ? 故 ?DCB ? 30? ,所以 AE ? AF ?

1 BC , 2

1 AC , 2

即 AF ? CF ? 3BF ? 3 ,解得 BF ? 1, CH ? 3 p , 所以 A(3 ? 3 p , 3 p) ,代入即得答案p=2,故选 B. 2

考点:抛物线的定义,方程. 11.D 【解析】将 ?AED 沿 AE 折起,使平面 AED ? 平面ABC ,在平面 AED 内过点 D 作

DK ? AE , K 为垂足是 D 在平面 ABC 上的射影,由翻折的特征知,连接 D?K ,则

?D?KA ? 900 ,故 K 点的轨迹是以 AD? 为直径的圆上的一段弧,根据长方形知圆的半径是
1,如图,当 E 与 C 重合时,AK= 2, 取 O 为 AD? 的中点, 得到 ?OAK 是直角三角形, 故 ?KOA ?

?
2



??KOD? ?

?
2

,故其所对的弧长为

1 ? ? ? ? 12 ? . 4 4

考点:平面与平面垂直的判定. 12.D
2 2 2 2 【解析】设 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,则满足 x ? y ? 2 x ? 1 ? x ? y ? 2 x ? 1 ? 2 2 的点 P 的轨

迹是以 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) 为焦点的椭圆,其方程为 曲线 a x ? b y ? 1(a ? 0, b ? 0) 为如下图所示的 菱形 ABCD, C ( , 0), D (0, ) . 由于 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 2 2 ,

x2 y 2 ? ? 1. 2 1

1 a

1 b

y B1 F2 A O B F1 D C x

1 1 2 ? 2, ? 1 ,即 a ? ,b ?1. a b 2 2 所以 2a ? b ? 2 ? ? 1 ? 2 .选 D. 2
所以 考点:1、曲线与方程;2、不等式. 4 二、填空题:13.a≤1 14.6 7 15.5 5 16.? 4,+∞? ? ?

13.a≤1 【解析】 ?p : ?x ? R, ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 为真命题,

当x ? 0时,不成立,当 x ? 0, a ?
考点:特称命题与全称命题.

2x ? 1 有解,即 a ? 1 x2

14. 6 7 【解析】最长的弦长为直径,故 AC ? 6 ,最短的弦长是过 P 且与直径 AC 垂直
2 的弦长,故 BD ? 2 3 ? 2 ? 2 7 ,由于 AC ? BD 所以面积为

1 AC ? BD ? 6 7 . 2

考点:圆的性质应用. 4 15.5 【解析】由已知中的茎叶图可得甲的 5 次综合测评中的成绩分别为 88,89,90,91, 92, 1 则甲的平均成绩:5(88+89+90+91+92)=90 设污损数字为 x

则乙的 5 次综合测评中的成绩分别为 83,83,87,99,90+x 1 x 则乙的平均成绩:5(83+83+87+99+90+x)=88.4+5, 1 当 x=9,甲的平均数<乙的平均数,即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为10, 当 x=8,甲的平均数=乙的平均数,即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为 1 10, 1 1 4 甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1-10-10=5. 考点:茎叶图;众数、中位数、平均数. 5 16.? 4,+∞? ? ?
2

x2 y2 b2 【解析】当 x=c 时代入a2-b2=1(a>0,b>0)得y=± a ,
2 2

b b 2b b bc bc 则A?c, a ?,B?c,- a ?,则AB= a ,将 x=c 代入y=±ax,得y=± a ,则C?c, a ?, ? ? ? ? ? ? bc 2bc 3 2b2 3 2bc 3 9 D?c,- a ? , 则 |CD|= a , |AB|≥5|CD| , ∴ a ≥5× a , 即 b≥5c , 则 b2≥25c2

?

?

9 ?c2-a2≥25c2, 16 25 5 即25c2≥a2,则e2≥16,则e≥4,故选 B. 考点:1、双曲线的几何性质;2、双曲线的离心率. 三、解答题: 17. 【解析】由命题 p,得 a>1,对于命题 q,即使得 x∈R,ax2-ax+1>0 恒成立 若 a>0,△=a2-4a<0,即 0<a<4????????4 分; 若 a=0,1>0 恒成立,满足题意,所以 0≤a<4 . . . .5 分

由题意知 p 与 q 一真一假,
?a>1 当 p 真 q 假时 , ? 所以 a≥4.??????6 分 ?a<0或a≥4

当 p 假 q 真时,?

?a≤1 ?0≤ a<4

即 0≤a≤1.?????8 分

综上可知,a 的取值范围为[0,1]∪[4,+∞).?????10 分 考点:1.命题的判断;2.一元二次不等式恒成立;3.分类讨论. 18. 【解析】试题解析: (1) 100 位已婚男性的年龄平均值 x 和样本方差 s 2 分别为:

x ? 24 ? 0.04 ? 28 ? 0.08 ? 32 ? 0.16 ? 36 ? 0.44 ? 40 ? 0.16 ? 44 ? 0.1 ? 48? 0.02 ? 35.92 ? 36 ,.. .3 分 2 2 2 s 2 ? ? ?12 ? ? 0.04 ? ? ?8 ? ? 0.08 ? ? ?4 ? ? 0.16 ? 02 ? 0.44 ? 4 2 ? 0.16 ? 82 ? 0.1 ? 122 ? 0.02 ? 25.28 ? 25 .
. .6 分 众 数 为 36 . . . . . . . ..... 7 分 ; 中 位 数 为

. . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 (0.5 ? 0.04 ? 0.08 ? 0.16) ? 0.11 ? 34 ? 36 . (2)在年龄段 [30,34],[34,38],[38, 42] 的频率分别为 0.04 ? 4 ? 0.16 ,0,11? 4 ? 0.44 ,

0.04 ? 4 ? 0.16 ,0.16 : 0.44 : 0.16 ? 4 :11: 4 , 所以人数分别为 4 人, , 11 人, 4 人. . 12
分 考点:1,频率分布直方图,2,中位数,众数,平均数及样本 7 19. (1)记“取到同色球”为事件 A,概率为P(A)=15. (要求写出所有的情况) . . .6 分 2 1 (2)设甲乙到达的时刻分别为 x,y,则0≤x≤3,3≤y≤1, 甲乙到达时 刻(x,y)为图中正方形区域,甲比乙先到则需 满足 x<y,为图中阴影部分区域, (要求画图) . . . . . . .10 分 1 1 1 2×3×3 7 设甲比乙先到为事件 B,则P(B)=1- 2 2 =8??????12 分 3×3 考点:1、古典概型;2、几何概型;3、二元一次不等式表示的平面区域.
?y=2x-4, ? 20. 【解析】 (1)由?y=x-3. 得圆心 C 为(1,-2),∵圆 C 的半径为 1

方差公式; y 1

O

1

x

∴圆 C 的方程为(x-1)2+(y+2)2=1 . . . . . . . . .2 分 C 当切线的斜率存在时,设所求圆 的切线方程为 y=kx+3,即 kx-y+3=0 . |k+5| 12 12 ∴ =1?|k+1|= k2+1 ∴k=- 5 ,切线方程为 y=- 5 x+3…………4 分 2 k +1 当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=0 . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 ∴所求圆 C 的切线方程为: x=0 或者 12x+5y-15=0 . . . . . . . .6 分 (2)∵圆 C 的圆心在在直线 l:y=2x-4 上,可设圆心 C 为(a,2a-4), 2 2 则圆 C 的方程为:(x-a) +[y-(2a-4)] =1??7 分 2 2 2 2 2 2 ∵MA=2MO∴设 M(x,y)则 x +(y-3) =2 x +y 得:x +(y+1) =4??????8 分 设为圆 D ∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上,即圆 C 和圆 D 有交点 2 2 ∴|2-1|≤ a +[(2a-4)-(-1)] ≤|2+1|???????10 分



12 5a2-12a+8≥0 得 x∈R ,由 5a2-12a≤0 得0≤a≤ 5 . ? 12? 综上所述,a 的取值范围为?0, 5 ? ??????12 分

考点:圆的切线方程;圆与圆的位置关系的应用. 21. 【解析】 (Ⅰ)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,AB⊥AD, 所以 AB⊥平面 PAD.所以 AB⊥PD.又因为 PA⊥PD,所以 PD⊥平面 PAB??????5 分 (Ⅱ)取 AD 的中点 O,连结 PO,CO.因为 PA=PD,所以 PO⊥AD. 又因为 PO?平面 PAD,平面 PAD⊥ABCD,所以 PO⊥平面 ABCD. 因为 CO?平面 ABCD,所以 PO⊥CO.因为 AC=CD,所以 CO⊥AD. 如图建立空间直角坐标系,由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1, 0),P(0,0,1). 设平面 PCD 的法向量为→ n =(x,y,z),则

→ ? ?n,→· PD=0, ?-y-z=0, ? → 即? 令 z=2,则 x=1,y=-2. ?2x-z=0. ?→ n· PC=0 ?
所以→ n =(1,-2,2).又 PB =(1,1,-1),所以.
→ n· PB 3 → cos<→ n , PB >= =- 3 → |→ n || PB |





3 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 3 ???12 分 x2 y2 22. 【解析】 (I)设椭圆标准方程a2+ b2 =1 (a>b>0), 由抛物线 y2=4x 的焦点为 F2(1,0),|CD|=4.因为|CD|=2 2|ST|,所以|ST|= 2.又 b2? ? b2? 2b2 ? S 1, a ,T 1,- a ,|ST|= a = 2,又 c2=a2-b2,∴a= 2,b=1. ? ? ? ? x2 所以椭圆的标准方程为 2 +y2=1 ????5 分 (II)由题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-2).
?x2+2y2=2, 由? 消去 y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0, ?y=k(x-2).

y0) ,则 x1 , x2 x1,x2 是方程的两根,△= (8k2)2 - 4(1 + 2k2)(8k2 - 2) > 0 ,即 2k2 < 1,????7 分 8k2 ①且x1+x2= ,由 1+2k2

x1 ? x2 ?

?x1+x2=tx0, → → → 8k 2 ,由OA+OB=t·OP,得? .若 t=0,则 P 点位于椭圆任 2 ?y1+y2=ty0. 1 ? 2k

? 1 1 8k 2 x ? ( x ? x ) ? ? 0 t 1 2 t? 1 ? 2k 2 意一点,满足,当 t≠0, ? . . . . . . .9 分 ? 1 1 1 ? 4 k ?y ? (y ? y ) ? ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? ? 0 1 2 ? t t t 1 ? 2k 2 ?

因为点P(x0,y0)在椭圆上,所以,

2 ? x02 ? 2 y02 ?

1 8k 2 2 32k 2 ? [( ) ? ], t 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2

1 2 4k 4 ? 2k 2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 t ? ? 1? 2 2 8 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2
1 1 再由①得0≤8t2<2,又 t≠0,∴t∈(-2,0)∪(0,2). 综合知 t 的范围为(-2,2)??????12 分