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双曲线的简单几何性质(第一课时)


高二选修 2-1:第二章 圆锥曲线与方程

四环节导思教学导学案

2.3.2
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【学习目标】

双曲线的简单几何性质(一)
编写:夏亚勤 课时目标呈现

1.能类比椭圆的几何性质的研究方法,探究并掌握双曲线的简单几何性质; 2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚轴、焦点、离心率、渐近线.

新知导学
【知识线索】
1.双曲线的简单几何性质 x2 y 2 ? ?(a ? 0, b ? 0) 1 标准方程 a 2 b2

课前自主预习

y 2 x2 ? ?(a ? 0, b ? 0) 1 a 2 b2

图形

范围 对称性 顶点 实轴、 实轴长 虚轴、 虚轴长 渐近线 离心率 a,b,c 关系式 对称轴: 对称中心:

2.双曲线方程的设法 (1)实轴与虚轴等长的双曲线叫 x2 y 2
2

(2)与双曲线 a m (3)以 y ? ? x 为渐近线的双曲线方程可设为 n

?

双曲线.其方程可设为 ?1 b 有相同的渐近线的双曲线系方程为
2

. .

.

1

疑难导思
【知识建构】
探究:双曲线简单的几何性质以方程 问题 1 问题 2 问题 3 问题 4 问题 5 问题 6

课中师生互动

x2 y2 ? ? 1 为例研究双曲线的简单几何性质. a2 b2

类比椭圆,由双曲线方程如何研究其范围? 类比椭圆,能否证明其对称性? 双曲线的顶点有几个?坐标是什么? 如何理解双曲线的渐近线? 双曲线的离心率范围? 椭圆的离心率刻画了椭圆的圆扁程度,双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几 何特性呢?

【典例透析】 例 1 求双曲线 16 x 2 ? 9 y 2 ? 144 的实轴长和虚轴长,顶点坐标,焦点坐标,离心率及渐
近线方程.

例 2 求双曲线的标准方程:
(1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; (2)离心率 e ? 2 ,经过点 M (?5,3) ;
2 9 (3)渐近线方程为 y ? ? x ,经过点 M ( , ?1) . 3 2

2

【课堂检测】
x2 y2 x2 y2 始终有相同的( ) ? ?1与 ? ? k(k ? 0) 5 4 5 4 A.焦点 B.焦距 C.渐近线 D.离心率 2. 对 称 轴 都 在 坐 标 轴 上 的 等 轴 双 曲 线 的 一 个 焦 点 是 F1 (?6,0) , 则 它 的 标 准 方 程 为 ;渐近线方程是 .

1.双曲线

【课堂小结】

达标导练
课时训练 A组
1.双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率等于
4 3

课后训练提升

;其渐近线方程是

. .

2.求焦点在 y 轴上,焦距是 16, e ? 的双曲线的标准方程是

3.双曲线的渐近线 方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________.

B组
4.经过点 A(3, ?1) 并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是
2 2



x y . ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围 4 ? k 1? k x2 y 2 6.已知双曲线的焦点在 x 轴上,方程为 2 ? 2 ? 1 ,两顶点的距离为 8 ,一渐近线上有点 a b . A(8,6) ,试求此双曲线的方程是

5.方程

C组
7.以椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,离心率为 2 的双曲线的方程( 25 16 x2 y 2 x2 y 2 A. B. ? ?1 ? ?1 16 48 9 27 x2 y 2 x2 y 2 C. ? ? 1或 ? ? 1 D. 以上都不对 16 48 9 27

) .

【纠错·感悟】
3

4


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