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高中数学第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2平面与平面垂直的判定新人教A版必修2_图文

2.3.2 平 面与平面 垂直的判 定

1.了解二面角及其平面角的概念. 2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法. 3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直 的问题.

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1.二面角
平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面. 概 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直 念 线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面 图 示 棱为 l,面分别为 α,β 的二面角记为 α-l-β.如图所示,也可在 α,β 内 (棱以外的半平面部分)分别取点 P,Q,将这个二面角记作二面角 Pl-Q

记 法

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在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内 文 分别作垂直于棱的射线,则这两条射线构成的角叫做这个 字 二面角的平面角 二 面 角 的 平 面 角 图 示 符 OA?α,OB?β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l?∠AOB 是二面角 号 的平面角 范 0°≤∠AOB≤180° 围 二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角 规 是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面 定 角叫做直二面角

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名师点拨 1.二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯 一确定的,与选择棱上的点的位置无关. 2.构成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面内”“垂直”.即二面角 的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边 必须都与棱垂直,这三个缺一不可.前两个要素决定了二面角的平 面角在同一个平面内,第三个要素决定了二面角的平面角大小的唯 一性和平面角所在的平面与棱垂直.

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【做一做1-1】 在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二 面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是 ( ) A.AO⊥BO,AO?α,BO?β B.AO⊥l,BO⊥l C.AB⊥l,AO?α,BO?β D.AO⊥l,BO⊥l,且AO?α,BO?β 解析:根据二面角的平面角的定义可知选D项. 答案:D

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【做一做1-2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不作辅助线,写 出二面角A1-AB-D的一个平面角为 .

解析:因为AD?平面ABD,A1A?平面A1AB,AD⊥AB,AA1⊥AB,所以 ∠A1AD是二面角A1-AB-D的一个平面角,同理∠B1BC也是它的一个 平面角. 答案:∠A1AD(或∠B1BC)

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2.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说 这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β. (2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平 平面的横边垂直.如图所示.

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(3)判定定理
文字 语言 图形 语言 符号 语言 作用 l⊥α,l?β?α⊥β 判断两个平面垂直 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面 垂直

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名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线 与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直, 则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面 垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.

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【做一做2-1】 在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与平面 ABCD垂直的面的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:与平面ABCD垂直的平面有:平面ABB1A1,平面ADD1A1,平面 BCC1B1,平面CDD1C1. 答案:D

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【做一做2-2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面 ABCD⊥平面BDD1B1.

证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B, 所以BB1⊥平面ABCD.又BB1?平面BDD1B1, 所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.

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1.理解二面角及其平面角 剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形, 二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平 面图形转化的思想. (2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹 角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. (3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角 相等,相邻的两个二面角互补.

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2.处理翻折问题的关键 剖析:处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立 体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生 变化,那么发生了怎样的变化,还有哪些没有发生变化,切不可混淆 不清. 例如:在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足 AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2,如图①.将△AEF沿EF折起到 △A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B,A1P,EP,如图 ②.下面探讨平面BA1E是否与平面BEP垂直.

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根据图①,由平面几何的知识,可得EF⊥AE,EF⊥BE.在图②中,这 两个位置关系没有变化,而点A,B,E的相对位置关系发生了变化,翻 折前这三点共线,但是翻折后不共线.不妨设正三角形ABC的边长为 3,则在图③中,取BE的中点D,连接DF.

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因为AE∶EB=CF∶FA=1∶2,所以AF=AD=2. 而∠A=60°,所以△ADF为正三角形. 又AE=DE=1, 所以EF⊥AD.则在图②中,A1E⊥EF,BE⊥EF, 所以∠A1EB为二面角A1-EF-B的一个平面角. 所以∠A1EB=90°.所以A1E⊥BE. 又BE∩EF=E,所以A1E⊥平面BEP. 因为A1E?平面BA1E,所以平面BA1E⊥平面BEP.

题型一

题型二

题型一

二面角的定义

【例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1-BC-D的 平面角.

解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C, 所以BC⊥平面D1C. 又D1C?平面D1C,所以BC⊥D1C, 所以∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.

题型一

题型二

【变式训练1】

如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,其他四个侧面都 是等腰三角形,找出二面角V-AB-C的平面角.

题型一

题型二

解:

如图,作VO⊥平面ABCD,垂足为O,则VO⊥AB,取AB的中点H,连接 VH,OH,则VH⊥AB. 因为VH∩VO=V,所以AB⊥平面VHO,所以AB⊥OH. 所以∠VHO为二面角V-AB-C的平面角.

题型一

题型二

题型二

证明两个平面垂直

【例2】 如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位 置,使CD=AC,求证:平面ABD⊥平面ABC.

题型一

题型二

证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC. 因为AD=DB,所以DO⊥AB. 又△ABD≌△ABC,

所以 OD=OC=2AB. 又△ABC 是等腰直角三角形, 所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC. 又AB?平面ABC,OC?平面ABC,AB∩OC=O, 所以DO⊥平面ABC. 又DO?平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABC.
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题型一

题型二

(方法二)如图,取AB的中点O,连接OD,OC. 则有OD⊥AB,OC⊥AB, 即∠COD是二面角C-AB-D的平面角.

设 因为CD=AD=AC, 所以CD=a,所以CD2=OC2+OD2. 所以△COD是直角三角形,即∠COD=90°. 所以二面角C-AB-D是直二面角,即平面ABD⊥平面ABC.

2 AC=a,则 OC=OD= 2 a.

题型一

题型二

反思1.证明平面与平面垂直的方法有两个: (1)利用定义:证明二面角的平面角为直角; (2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,则这两个平面互相垂直. 2.根据面面垂直的定义判定两个平面垂直,实质上是把问题转化 成了求二面角的平面角.通常情况下利用判定定理要比定义简单些, 这也是证明面面垂直的常用方法,即要证明面面垂直,只需要证明 线面垂直.其关键与难点是在其中一个平面内寻找一条直线与另一 平面垂直.

题型一

题型二

【变式训练2】

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1 的中点. 求证:平面ABM⊥平面A1B1M.

题型一

题型二

证明:由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1, 又BM?平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM. 又CC1=2,M为CC1的中点, 所以C1M=CM=1. 2 2 在 Rt△B1C1M 中,B1M= 1 1 + 1 = 2, 同理 BM= 2 + 2 = 2. 又B1B=2, 所以B1M2+BM2=B1B2, 从而BM⊥B1M. 又A1B1∩B1M=B1, 所以BM⊥平面A1B1M. 因为BM?平面ABM, 所以平面ABM⊥平面A1B1M.