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正弦定理和余弦定理(公开课课件)


第 五章

三角函数、解三角形

第六节

正弦定理和余弦定理(2)

2013.11.21

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[知识能否忆起]——上节课知识回顾
一、正、余弦定理 定理 内 容 正弦定理
a b c = = sin A sin B sin C =2R

余弦定理 a2= b2+c2-2bccos A ; b2= a2+c2-2accos B ; 2 2 c2= a +b -2abcosC .

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定理

变 形 形 式

正弦定理 余弦定理 ①a= 2Rsin A , b= 2Rsin B , c= 2Rsin C ; b2+c2-a2 cosB= a b 2bc ②sin A=2R,sin B=2R, 2 a +c2-b2 c 2ac sin C=2R; cos B= ; 2 2 2 a + b - c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C= 2ab . ③a∶b∶c=sinA∶sin B∶sin C ④asin B=bsin A,bsin C=csin B, asin C=csin A.

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定理

正弦定理 ①已知两角和任一边,求另一

余弦定理

①已知三边,求各
角;“SSS” ②已知两边和它们

解决的 角和其他两条边; “AAS、ASA” 问题 ②已知两边和其中一边的对

角,求另一边和其他两角. “ASS” 和其他两个角. “SAS”

的夹角,求第三边

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二、三角形的面积公式 1 1.S=2a· ha,(ha 表示 a 边上的高). 1 1 acsin B absin C 1 2 2 2.S=2bcsin A= = 1 3.S=2(a+b+c)· r(r 为三角形内切圆半径).

.

a?b?c 4、S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c)其中p ? 2
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在三角形中: ①大角对大边,大边对大角; ②大角的正弦值较大,正弦值较大 的角也较大,即在△ABC中,

A>B?a>b?sin A>sin B.
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[目标早知道]——本节课教学目标 题组训练得方法:
题型一:利用正弦、余弦定理解三角形
题型二:利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 题型三:与三角形面积有关的问题

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利用正弦、余弦定理解三角形
【考向探寻】 1.利用正弦定理解斜三角形. 2.利用余弦定理解斜三角形.

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【典例剖析】 (1)(2013· 抚顺模拟)△ABC 的三个内角 A,B,C 所 对的边分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c- a),若 p∥q,则角 C 的大小为 π A.6 π B.3 π C.2 3π D. 2

由向量共线得到三边关系,再用余弦定理求解.

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a+c b-a (1)解析:由 p∥q 得 b = , c-a ∴a2+b2-c2=ab. a2+b2-c2 ab 1 ∴cos C= = = . 2ab 2ab 2 又 0<C<π, π ∴C=3.
答案:B
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(2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 π A=3,a= 3,b=1,则 c 等于 A.1 B.2 C. 3-1 D. 3

法一:利用余弦定理求解. 法二:利用正弦定理求解.

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a b 3 1 (2)解析:由正弦定理得 = ,即 = , sin A sin B π sin B sin 3 1 ∴sin B=2,故∠B=30° 或 150° .由 a>b, 得∠A>∠B,∴∠B=30° . 故∠C=90° ,由勾股定理得 c=2.
答案:B

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(3)在△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边, 3 且 a=4,C=2A,cos A=4. ①求 sin B; ②求 b 的值.

①先求sin A,sin C,cos C,利用sin B =sin(A+C)求解;②利用正弦定理求解.

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3 (3)解:①∵A 为△ABC 内角,且 cos A=4, 7 ∴sin A= 4 , 又∵C=2A. 3 7 ∴sin C=sin 2A=2sin A· cos A= , 8

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1 cos C=cos 2A=2cos A-1=8.
2

∴sin B=sin(A+C) =sinA· cos C+sin C· cos A 7 1 3 7 3 5 7 = 4 ×8+ 8 ×4= 16 . b a ②由正弦定理得sin B=sin A, 5 7 16 sin B ∴b=a· sin A=4× 7 =5. 4

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(1) 已知两边和一边的对角解三角形时,可

能出现两解、一解、无解三种情况,解题时应根据已知条件具
体判断解的情况,常用方法是根据图形或由 “ 大边对大角 ” 作 出判断或用余弦定理列方程求解. (2)三角形中常见的结论 ①A+B+C=π.

②三角形中大边对大角,反之亦然.
③任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

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④三角形内的诱导公式 sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C; A+B C tan(A+B)=-tan C;sin 2 =cos 2 ; A+B C cos =sin . 2 2 ⑤在△ABC 中,tan A+tan B+tan C=tan A· tan B· tan C.

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【活学活用】 1.(1)若△ABC 的内角 A,B,C 满足 6sin A=4sin B=3sin C,则 cos B=( D ) 15 A. 4 3 B.4 3 15 C. 16 11 D.16

14 3 5 为 a、b、c,且 cos A= ,cos B= ,b=3,则 c=________. 5 5 13
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(2)(2012· 重庆高考)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别

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利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
【考向探寻】 利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状.

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【典例剖析】 (1) 已知△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a ,b , c ,且 三内角A,B,C成等差数列,三边长a,b,c成等比数列,则△ABC的形状 为 A.等边三角形 C.直角三角形 B.非等边的等腰三角形 D.钝角三角形

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(1)解析:因为 A,B,C 成等差数列,所以 2B=A+C=π π -B,所以 B=3,又 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac,由余 a2+c2-b2 a2+c2-ac 1 2 弦定理得 cos B= 2ac = = ,所以 ( a - c ) =0 , 2ac 2 π 所以 a=c,又 B=3,故△ABC 为等边三角形.
答案:A

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(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b + c)sin B+(2c+b)sin C. ①求A的大小; ②若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.

1 (2)① 正弦定理、条件 → cos A=-2 → A的大小 ; ② ①中a2=b2+c2+bc → sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C 条件 ――→ sin B、sin C的值 → 判断△ABC的形状
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(2)解:①由已知和正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc, b2+c2-a2 -bc 1 由余弦定理知 cos A= = =- ,A=120° . 2bc 2bc 2 ②由①知,a2=b2+c2+bc, ∴sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, 3 即 =sin2B+sin2C+sin Bsin C. 4

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又 sin B+sin C=1,∴sin C=1-sin B, 代入上式,(2sin B-1)2=0, 1 1 ∴sin B= ,∴sin B=sin C= . 2 2 又 0° <B,C<90° ,∴B=C, 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.

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判断三角形形状的方法

(1) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边与边关系,通过
因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形 状; (2) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间 的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三

角形的形状,此时要注意A+B+C=π这个结论的运用.

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【活学活用】 2.(1)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且

2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是( A )
A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a= 2bcos C,则此三角形一定是( C ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
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与三角形面积有关的问题
【考向探寻】

1.根据已知条件求三角形的面积.
2.已知三角形的面积,解三角形.

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【典例剖析】 (1)(2013· 厦门模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对 → → 边分别是 a,b,c,若 b +c =a +bc,且AC· AB=4,则△ABC
2 2 2

的面积等于________.
1 π →· → =4 得 bc,故△ABC 由条件得 cos A=2,A=3;又由AC AB 面积可求.

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b2+c2-a2 bc 1 (1)由余弦定理得 cos A= 2bc =2bc=2, π 又 0<A<π,∴A=3. 1 → → 又AC· AB=bccos A= bc=4, 2 ∴bc=8. 1 1 3 ∴S△ABC=2bcsin A=2×8× 2 =2 3.
答案:2 3
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(2)(2012· 江西高考)(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对 ?π ? π π ? ? + C 边分别为 a,b,c.已知 A=4,bsin 4 -csin4+B=a. ? ? π ①求证:B-C=2; ②若 a= 2,求△ABC 的面积.
π ①由已知条件可得 sin(B-C)=1,故可得 B-C=2; ②由已知及①求得 B,C,根据正弦定理求得 b,c,然后求面 积.
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(2)①证明:由 sin

?π ? ?π ? bsin?4+C?-csin?4+B?=a ? ? ? ? ?π ? Csin?4+B?=sin ? ?

及正弦定理,得

?π ? Bsin?4+C?-sin ? ? ? B? ? ?

A,………………2 分

∴sin

? 2 2 2 2 2 ? -sin C 2 sin B+ 2 cos B= 2 . 2 sin C+ 2 cos C? ?

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, ∴sin(B-C)=1,…………………………………… 4 分 3 ∵0<B,C<4π, π ∴B-C=2.………………………………………………5 分

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π 3π ②解:由①知 B-C=2,又 B+C=π-A= 4 , 5π π ∴B= 8 ,C=8.…………………………………………7 分 由正弦定理得 b c a 2 sin B=sin C=sin A= π=2, sin4 5π π ∴b=2sin ,c=2sin .………………………………10 分 8 8 1 5π π ∴S△ABC=2bcsin A= 2sin 8 sin8 π π 2 π 1 = 2cos8sin8= 2 sin4=2.…………………………12 分

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(1) 三角形的面积经常与正、余弦定理结合在一起考查,解 题时要注意方程思想的运用,即通过正、余弦定理建立起方程 (组),进而求得边或角. (2)要熟记常用的面积公式及其变形.

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【活学活用】 3.在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b, π c,已知 c=2,C=3.若△ABC 的面积等于 3,求 a,b.
解:由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4, 1 又因为△ABC 的面积等于 3,即2absin C= 3,∴ab=4.
2 2 ? ?a +b -ab=4, 由? ? ?ab=4,

? ?a=2, 解得? ? ?b=2.

所以 a=2,b=2.

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【备选例练】

例1、在?ABC中,三个内角A、B、C 及其对边为a、b、c满足 sin(A-B) b ? c ? . sin(A+B) c ()求角 1 A的大小; (2)若a =6,求?ABC的面积的最大值。

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【备选例练】

例2、已知?ABC中,2 ( 2 sin 2 A ? sin 2 C)( = a ? b)sinB, 三角形的外接圆半径为 2, ()求角 1 C的大小; (2)求?ABC的面积的最大值。

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作业:
1、(2012· 浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= 3acos B.
(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
2、(2012· 安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,向量
? 2A cos ,cos m=(4,-1),n=? ? 2 ? ? 2A? ?,且 ?

7 m· n= . 2

(1)求角 A 的大小;(2)若 b+c=2a=2 3,试判断△ABC 的形状.

3、(2012· 新课标全国卷)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个 内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0.

(1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为 3,求b,c.

谢谢!

在△ABC 中,如果 a?︰b?︰c=2?︰ 6?︰ : ( 3+1),求这个三角形的最小角. [例 1]

解析: 在三角形中,大边对大角,小边对小角,根据 已知条件判断最小边应为 a. ∵a?︰b?︰c=2?︰ 6?︰( 3+1), 可设 a=2k,b= 6k,c=( 3+1)k(k>0), 最小角为角 A,由余弦定理得 b2+c2-a2 6+? 3+1?2-4 2 cosA= = =2, 2bc 2? 3+1?× 6 故 A=45° .

[变式训练 1] △ABC 中, 已知 a=2, b= 3, c= 2 +1,求 A.

b2+c2-a2 解析:cosA= 2bc ? 3?2+? 2+1?2-22 3 = =3. 2× 3×? 2+1? 3 ∴A=arccos . 3

先用余弦定理求出第三边长,进而用余 弦定理或正弦定理求出其他两个角. [例2] 在△ABC中,已知a=2,b= ,C=15°,求角A、B和边c的 值.

6+ 2 解析:cos15° =cos(45° -30° )= 4 . 由余弦定理知 c2=a2+b2-2abcosC=4+8-2 2×( 6+ 2)= 8-4 3, ∴c= 8-4 3= ? 6- 2?2= 6- 2. a c 由正弦定理得sinA=sinC,

6- 2 2× 4 asinC asin15° 1 sinA= c = c = =2, 6- 2 1 ∵b>a,sinA= ,∴A=30° . 2 ∴B=180° -A-C=135° .

[变式训练2] 如图,已知 AD为△ABC的内角∠BAC的平 分线,AB=3,AC=5, ∠BAC=120°,求AD的长. 分析:由余弦定理可解三 角形ABC,求出BC长度;由三 角形内角平分线定理可求出 BD长,再解△ABD即可求出 AD长.

解析:在△ABC中,由余弦定理: BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC= 32+52-2×3×5·cos120°=49, ∴BC=7, 设BD=x,则DC=7-x,由内角平分线 定理:

在△ABD中,设AD=y,由余弦定理: BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD.

21 2 即( 8 ) =9+y2-3y,整理得: 15 9 (y- )(y- )=0, 8 8 15 9 15 ∴y= 8 或 y=8(舍去),∴AD 的长为 8 .

[例3] 在△ABC中,a·cosA=b·cosB, 试确定此三角形的形状.

解析:解法 1:由 a· cosA=b· cosB 以及余弦定理得 b2+c2-a2 a2+c2-b2 a· 2bc =b· 2ac , 得 a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), a2b2+a2c2-a4-a2b2-b2c2+b4=0,即(a2-b2)(c2-a2 -b2)=0. ∴a2=b2 或 c2=a2+b2, ∴a=b 或 c2=a2+b2.

当a=b时,△ABC为等腰三角形; 当c2=a2+b2时,△ABC为直角三角形. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 解法2:由a·cosA=b·cosB以及正弦定 理得 2R·sinA·cosA=2R·sinB·cosB,即sin2A =sin2B. 又∵A、B∈(0,π),∴2A、2B∈(0,2π), 故有2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A +B=.

[变式训练3] (2010·辽宁卷)在△ABC中, a,b,c分别是A,B,C的对边,且2asinA= (2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求A的大小; (2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形 状.

解析:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2= (2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=-2,A=120° . (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.

[例4] (数学与日常生活)如图,某市三 个新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同 建一个中心医院O,使得医院到三个小区的 距离相等,已知这三个小区之间的距离分别 为AB=4.3 km,BC=3.7 km,AC=4.7 km, 问该医院应建在何处?(精确到0.1 km或1°)

分析:实际问题的解决,应首先根据题意 转化为三角形模型,从而运用正、余弦定理 解决,要注意题中给出的已知条件.本题实 际上是在△ ABC 中,求△ABC的外接圆的半径 解析: 依题意, O 是△ABC 外接圆的圆心, 设半径为 r km. OB及OB与边 BC 的夹角. 2 2 2 2 2 2
AB +BC -AC 4.3 +3.7 -4.7 ∵cosB= = ≈0.3171, 2AB· BC 2×4.3×3.7 ∴△ABC 为锐角三角形, sinB= 1-cos2B≈0.9484.

由正弦定理知,AC=2rsinB, AC ∴r= ≈2.5(km). 2sinB r2+BC2-r2 由余弦定理知,cos∠OBC= =0.74, 2rBC ∴∠OBC≈42° . 故医院应建在△ABC 的内部的点 O 处, 使 OB 约 为 2.5 km,且∠OBC 约为 42° .

[变式训练 4]

如图,甲船在 A 处发现了乙船在北偏东

45° 与 A 的距离为 10 海里的 C 处,正以 20 海里/时的速度向 南偏东 75° 的方向航行,已知甲船速度是 20 3海里/时.问: 甲船沿什么方向,用多少时间才能与乙船相遇?

解析:设 t 小时后相遇,则 BC、AB 的长分别为 20t 与 20 3t.由图可知∠ACB=120° . 由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠ACB, 1 即(20 3t) =10 +(20t) -2×10×20t×(-2),
2 2 2

1 1 解得 t=2或-4(舍去). 1 1 故 AB=20 3× =10 3,BC=20× =10. 2 2

AB BC 由正弦定理得 = , sin∠ACB sin∠BAC 3 10× 2 1 即 sin∠BAC= = , 10 3 2 ∴∠BAC=30° ,所求角为 30° +45° =75° . ∴甲船应沿北偏东 75° 方向航行. 答:甲船应沿北偏东 75° 方向航行半小时后才能 与乙船相遇.

[例 5]

在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
2B+C

的对边, 若 m=(sin

7 , 1), n=(cos2A+ , 4), 且 m∥n. 2 2

(1)求∠A(用角度制表示); 3 (2)当 a= 3,△ABC 的面积 S= 2 时,求 b 和∠B.

分析:(1)由平面向量共线定理可得出关 于各角的一个关系式,化简之后便可求出∠A; (2)分别利用三角形面积公式及余弦定理列出 关于b,c的方程,求出b,c的值,进而求出 ∠B.

解析:(1)∵m∥n, ∴4sin
2B+C

7 -(cos2A+ )=0, 2 2
2

7 ∴2[1-cos(B+C)]-(2cos A-1)-2=0,① 又 cos(B+C)=-cosA, ①式化简得 4cos2A-4cosA+1=0, 1 即(2cosA-1) =0,∴cosA=2.
2

∵0° <∠A<180° ,∴∠A=60° .

1 3 (2)由题意得 S= bcsinA= , 2 2 1 3 即 bcsin60° = ,∴bc=2, 2 2 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2- 2bccos60° =b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 由 a= 3及 bc =2 知(b+c)2-6=3, ∴b+c=3 或 b+c=-3(舍去).
? ?bc=2 由? ? ?b+c=3

解得 b=2,c=1 或 b=1,c=2.

当 b=1 时,∵a= 3,∠A=60° ,∴b<a,且∠A bsinA 1 为锐角, 由正弦定理, 得 sinB= = , ∴∠B=30° . a 2 当 b=2,c=1 时,∵a= 3,∴b2=a2+c2, ∴△ABC 是直角三角形,且∠B=90° .

[变式训练 5]

在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分

→· → =BA →· → =1. 别为 a、b、c,若AB AC BC (1)求证:A=B; (2)求边长 c 的值; → +AC → |= 6,求△ABC 的面积. (3)若|AB

→· → =BA →· →, 解析:(1)证明:∵AB AC BC ∴bccosA=accosB,即 bcosA=acosB. 由正弦定理得 sinBcosA=sinAcosB, ∴sin(A-B)=0, ∵-π<A-B<π, ∴A-B=0,∴A=B.

→· → =1,∴bccosA=1. (2)∵AB AC b2+c2-a2 由余弦定理得 bc· 2bc =1, 即 b2+c2-a2=2. ∵由(1)得 a=b,∴c2=2,∴c= 2.

→ +AC → |= 6, (3)∵|AB → |2+|AC → |2+2AB →· → =6. ∴|AB AC 即 c2+b2+2=6,∴c2+b2=4. ∵c2=2,∴b2=2,b= 2. 3 3 2 ∴△ABC 为正三角形,∴S△ABC= 4 ×( 2) = 2 .


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