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湖南省2019届高三六校联考试题(4月) 数学(文)

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湖南省 2019 届高三六校联考试题 数 学(文科)
由 联合命题

考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时量 120 分钟,满分 150 分。 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.作答选择题,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。作答非选择题时,将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束时,监考员将题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={3,5},则下列结论正确的

A.B?A B.?UA={1,5} C.A∪B={3} D.A∩B={2,4,5}
2.已知 i 为虚数单位,z(1+i)=3-i,则在复平面上复数 z 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌,从黄、白、蓝、红 4 种颜色中任意挑选 2 种颜色,则所选颜色中含有白色的概率是
111 2 A.6 B.4 C.2 D.3 4.下列判断正确的是 A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B.“α >45°”是“tan α >1”的充分不必要条件 C.若命题“p∧q”为假命题,则命题 p,q 都是假命题 D.命题“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2x0≤0”
5.已知公差 d≠0 的等差数列{an}满足 a1=1,且 a2,a4-2,a6 成等比数列,若正整数
m,n 满足 m-n=10,则 am-an= A.30 B.20 C.10 D.5 或 40

6.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九 韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图,是利用秦九韶算法求一个多项式 的值,若输入 n,x 的值分别为 3,32,则输出 v 的值为
A.7 B.10 C.11.5 D.17
?x-y+1≥0, ? 7.已知实数 x,y 满足 x+y-1≥0,则 z=2x+y 的最小值为
?x-2y≤0,
A.1 B.-5 C.2 D.0 8.函数 f(x)=(ex-ex-2x)cos x的部分图象大致是
9.将函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x 的图象向右平移π6 ,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标长度不变)得到函数 g(x)的图象,则下列说法正确的是
A.函数 g(x)的最大值为 3+1 B.函数 g(x)的最小正周期为π C.函数 g(x)的图象关于直线 x=π3 对称
D.函数 g(x)在区间??π6 ,23π ??上单调递增
10.已知直线 y=kx-1 与抛物线 x2=8y 相切,则双曲线:x2-k2y2=1 的离心率等于 3
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 11.如图,平面四边形 ABCD 中,E,F 是 AD,BD 中点,AB=AD=CD=2,BD=2 2, ∠BDC=90°,将△ABD 沿对角线 BD 折起至△A′BD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,
则四面体 A′BCD 中,下列结论不.正.确.的是

A.EF∥平面 A′BC B.异面直线 CD 与 A′B 所成的角为 90° C.异面直线 EF 与 A′C 所成的角为 60° D.直线 A′C 与平面 BCD 所成的角为 30° 12.已知函数 f(x)=ln x-ax+a 在 x∈[1,e]上有两个零点,则 a 的取值范围是
A.??1-e e,-1?? B.??1-e e,1?? C.??1-e e,-1?? D.[-1,e)
第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 45°,a=(-1,1),|b|=1,则|a-2b|=__________. 14.已知点 A(2,0),B(0,4),O 为坐标原点,则△AOB 外接圆的标准方程是__________. 15.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1(n∈N*),设 bn=1+log2an,则数列???bnb1n+1???的前 n 项和 Tn=__________. 16.已知四棱锥 S-ABCD 的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球 O 的球面 上,则球 O 的表面积等于__________.
三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必 考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题,共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 sin Asin Bcos B+sin2Bcos A= 2 2sin Ccos B. (1)求 tan B 的值; (2)若 b=2,△ABC 的面积为 2,求 a+c 的值.
18.(本小题满分 12 分) 如图,ABCD 是边长为 2 的菱形,∠DAB=60°,EB⊥平面 ABCD,FD⊥平面 ABCD, EB=2FD=4. (1)求证:EF⊥AC; (2)求几何体 EFABCD 的体积.

19.(本小题满分 12 分) 有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮饮料销售的影响,经过统计,得 到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表:

摄氏温度 -5 4

7

10 15 23 30 36

热饮杯数 162 128 115 135 89 71 63 37

(1)从散点图可以发现,各点散布在从左上角到右下角的区域里.因此,气温与当天热饮

销售杯数之间成负相关,即气温越高,当天卖出去的热饮杯数越少.统计中常用相关系数 r

来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为,对于变量 x、y,如果 r∈[-1,-0.75],

那么负相关很强;如果 r∈[0.75,1],那么正相关很强;如果 r∈(-0.75,-0.30]∪[0.30,0.75),

那么相关性一般;如果 r∈[-0.25,0.25],那么相关性较弱.请根据已知数据,判断气温与

当天热饮销售杯数相关性的强弱.

(2)(ⅰ)请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程; (ⅱ)记[x]为不超过 x 的最大整数,如[1.5]=1,[-4.9]=-5.对于(ⅰ)中求出的线性回归方

程 y=b^x+a^,将 y=[b^]x+[a^]视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系.已知气温 x 与当天

热饮每杯的销售利润 f(x)的关系是 f(x)=2??x+157??+3(x∈[-7,38))(单位:元),请问当气温 x
为多少时,当天的热饮销售利润总额最大?

【参考公式】b^=错误!r=错误!2=1340,错误!100,362=1296,372=1369.

20.(本小题满分 12 分)

如图,椭圆 C:x42+y32=1 的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,直线 n:x=4 与 x 轴相交于点 E,点 M 在直线 n 上,且满足 BM∥x 轴.
(1)当直线 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)证明:直线 AM 经过线段 EF 的中点.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ex,g(x)=ax2+x+1(a>0). (1)设 F(x)=gf((xx)),讨论函数 F(x)的单调性; (2)若 0<a≤12,证明:f(x)>g(x)在(0,+∞)上恒成立.

(二)选考题:共 10 分。请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的

第一题记分。

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标

系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程为??x=

3-t, (t 为参数),曲线 C 的极坐标

?y=1+ 3t

方程为 ρ=4sin??θ+π3 ??.

(1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 M,N 两点,求△MON 的面积.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|. (1)设 a=1,求不等式 f(x)≤7 的解集; (2)已知 a>-1,且 f(x)的最小值等于 3,求实数 a 的值.

湖南省 2019 届高三六校联考试题

数学(文科)参考答案

命题学校:

一、选择题

题号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案

BDCDACABD B C A

1.B 【解析】由题知集合 A 与集合 B 互相没有包含关系,且 A∩B={3},A∪B={2,3, 4,5},?UA={1,5},故选 B.
2.D 【解析】由题知 z=31-+ii=( (31- +ii) )( (11- -ii) )=1-2i,位于第四象限,故选 D. 3.C 【解析】从黄、白、蓝、红 4 种颜色中任意选 2 种颜色的所有基本事件有{黄白}, {黄蓝},{黄红},{白蓝},{白红},{蓝红},共 6 种.其中包含白色的有 3 种,选中白色的 概率为12,故选 C. 4.D 【解析】由否命题的概念知 A 错;关于 B 选项,前者应是后者的既不充分也不 必要条件;关于 C 选项,p 与 q 至少有一个为假命题;D 选项正确. 5.A 【解析】由题知(a4-2)2=a2a6,因为{an}为等差数列,所以(3d-1)2=(1+d)(1+ 5d),因为 d≠0,解得 d=3,从而 am-an=(m-n)d=30,故选 A. 6.C 【解析】将 n=3,x=32代入程序框图,可得最后输出 v=11.5,故选 C.

7.A 【解析】由题中给出的三个约束条件,可得可行域为如图所示阴影部分,易知在

(0,1)处目标函数取到最小值,最小值为 1,故选 A.

8.B 【解析】由题知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且 f(-x)=-f(x),所以

f(x)是奇函数,排除 C 和 D,将 x=π代入 f(x)得 f(π)<0,故选 B.

9.D 【解析】化简得 f(x)=2sin??2x+π6 ??,所以 g(x)=2sin??x-π6 ??,由三角函数性质知:

g(x)的最大值为 2,最小正周期为 2π,对称轴为 x=23π+kπ,k∈Z,单调增区间为

??-π3 +2kπ,23π+2kπ??,k∈Z,故选 D.

10.B

【解析】由???y=kx-1,得 ??x2=8y

x2-8kx+8=0,因为直线与曲线相切,所以Δ=64k2

-32=0,k2=12,所以双曲线为 x2-y22=1,离心率等于 3,故选 B.

11.C 【解析】A 选项:因为 E,F 分别为 A′D 和 BD 两边中点,所以 EF∥A′B,即 EF

∥平面 A′BC,A 正确;B 选项:因为平面 A′BD⊥平面 BCD,交线为 BD,且 CD⊥BD,所以

CD⊥平面 A′BD,即 CD⊥A′B,故 B 正确;C 选项:取 CD 边中点 M,连接 EM,FM,则 EM

∥A′C,所以∠FEM 为异面直线 EF 与 A′C 所成角,又 EF=1,EM= 2,FM= 3,即∠FEM

=90°,故 C 错误,选 C.

12.A 【解析】∵f′(x)=1x+xa2=x+x2a,x∈[1,e].

当 a≥-1 时,f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,不合题意.

当 a≤-e 时,f′(x)≤0,f(x)在[1,e]上单调递减,也不合题意.

当-e<a<-1 时,则 x∈[1,-a)时,f′(x)<0,f(x)在[1,-a)上单调递减,x∈(-a,e]

时,

f′(x)>0,f(x)在(-a,e]上单调递增,又 f(1)=0,所以 f(x)在 x∈[1,e]上有两个零点,

只需 f(e)=1-ae+a≥0 即可,解得1-e e≤a<-1.

综上,a 的取值范围是??1-e e,-1??.

二、填空题

13. 2 【解析】由题知,|a-2b|= a2-4a·b+4b2= 2. 14.(x-1)2+(y-2)2=5 【解析】由题知 OA⊥OB,故△ABO 外接圆的圆心为 AB 的中

点(1,2),

半径为12|AB|= 5,所以△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.

n 15.n+1

【解析】令 n=1,a1=1;n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,an=2an-1,所

以 an=2n-1,bn=1+log22n-1=n,Tn=1×1 2+2×1 3+…+n(n1+1)=n+n 1.

101π 16. 5

【解析】由该四棱锥的三视图知,该四棱锥直观图如图,平面 SAB⊥平面 ABCD,

可得 R2=r21+r22-L42,其中 r1 为△SAB 外接圆半径,r2 为矩形 ABCD 外接圆半径,L=AB.计

算得,R2=8210+5-4=12001,

所以 S=4πR2=1501π. 三、解答题

17.【解析】(1)原等式化简得 sin B(sin Acos B+cos Asin B)=2 2sin Ccos B,

∴sin Bsin(A+B)=2 2sin Ccos B,

∴sin Bsin C=2 2sin Ccos B,3 分

∵0<C<π,sin C≠0,∴tan B=2 2.5 分

(2)∵tan B=2 2,且 0<B<π,∴B 为锐角,且csoins BB=2 2,

∴sin B=23 2,cos B=13,∵S=12acsin B= 2,∴ac=3.9 分

由余弦定理得:a+c=2 3.12 分

18.【解析】(1)连接 DB,DF⊥平面 ABCD,EB⊥平面 ABCD, ∴EB∥FD,∴E,F,D,B 四点共面,∴AC⊥EB,3 分 设 DB∩AC=O,∵ABCD 为菱形,∴AC⊥DB. DB∩EB=B,∴AC⊥平面 EFDB,

∵EF?平面 EFDB,∴AC⊥EF.6 分 (2)∵EB∥FD,EB⊥BD,∴EFDB 为直角梯形, 在菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2,BD=2,AO=CO= 3, ∴梯形 EFDB 的面积 S=(2+24)×2=6,9 分 ∵AC⊥平面 EFDB, ∴VEFABCD=VC-EFDB+VA-EFDB=13S×AO+13S×CO=4 3.12 分 19.【解析】(1)因为 r=错误!≈错误!2 分 <-373×951311≈-0.96. 所以气温与当天热饮销售杯数的负相关很强.4 分 (2)(ⅰ)因为b^=错误!=错误!=-2.95,错误!=100+2.95×15=144.25. 所以气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程为 y=-2.95x+144.25.7 分 (ⅱ)由题意可知气温 x 与当天热饮销售杯数 y 的关系为 y=-3x+144.
设气温为 x 时,则当天销售的热饮利润总额为 g(x)=(-3x+144)??2??x+ 157??+3??(x∈[-7,
38)),
?-9(x-48),-7≤x<8, ? 即 g(x)= -15(x-48),8≤x<23,10 分
?-21(x-48),23≤x<38.
易知 g(-7)=495,g(8)=600,g(23)=525. 故当气温 x=8 时,当天的热饮销售利润总额最大,且最大为 600 元.12 分
20.【解析】(1)由 c= 4-3=1,∴F(1,0),∵直线 l 与 x 轴垂直,∴x=1,
由?????xx4=2+1y, 32=1,得?????xy==312, ,或?????xy==-1,32,∴A??1,32??,M??4,-23??,
∴直线 AM 的方程为 y=-x+52.4 分 (2)设直线 l 的方程为 x=my+1,5 分
由???x42+y32=1,得 3(my+1)2+4y2=12, ??x=my+1,
(3m2+4)y2+6my-9=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=3-m26+m4,y1y2=3m-2+9 4,8 分
∵EF 的中点 N??52,0??,点 M(4,y2), ∴N→A=??x1-52,y1??=??my1-32,y1??,N→M=??32,y2??, ??my1-32??×y2-32y1=my1y2-32(y1+y2)=3-m29+m4-32×3-m26+m4=0.
所以 A,N,M 三点共线,

所以直线 AM 经过线段 EF 的中点.12 分
21.【解析】(1)F(x)=gf((xx))=ax2+exx+1,F′(x)=-ax2+(ex2a-1)x=-ax??x-ex 2a-a 1??,

1分 ①若 a=12,F′(x)=-eaxx2≤0,∴F(x)在 R 上单调递减.2 分

②若 a>12,则2a- a 1>0,

当 x<0,或 x>2aa-1时,F′(x)<0,当 0<x<2aa-1时,F′(x)>0,

∴F(x)在(-∞,0),??2aa-1,+∞??上单调递减,在??0,2a- a 1??上单调递增.
③若 0<a<12,则2aa-1<0,

当 x<2a- a 1,或 x>0 时,F′(x)<0,当2aa-1<x<0 时,F′(x)>0.

∴F(x)在??-∞,2aa-1??,(0,+∞)上单调递减,在??2aa-1,0??上单调递增.6 分

(2)证明:∵0<a≤12,∴ax2+x+1≤12x2+x+1.7 分

设 h(x)=ex-12x2-x-1,则 h′(x)=ex-x-1.

设 p(x)=h′(x)=ex-x-1,则 p′(x)=ex-1,在(0,+∞)上,p′(x)≥0 恒成立.

∴h′(x)在(0,+∞)上单调递增.9 分

又∵h′(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,h′(x)>0,所以 h(x)在(0,+∞)上单调递增,

∴h(x)>h(0)=0,∴ex-12x2-x-1>0,ex>12x2+x+1,

所以 ex>12x2+x+1≥ax2+x+1,

所以 f(x)>g(x)在(0,+∞)上恒成立.12 分

?x= 3-t,

22.【解析】(1)由?

消去参数 t 得 3x+y=4,直线 l 的普通方程为 3x+y-4

?y=1+ 3t,

=0.2 分

由 ρ=4sin??θ+π3 ??=2sin θ+2 3cos θ得,ρ2=2ρsin θ+2 3ρcos θ,

即 x2+y2=2y+2 3x,

∴曲线 C 的直角坐标方程是圆:(x- 3)2+(y-1)2=4.5 分

(2)∵原点 O 到直线 l 的距离 d=

|-4|

=2.7 分

( 3)2+12

直线 l 过圆 C 的圆心( 3,1),∴|MN|=2r=4,

所以△MON 的面积 S=12|MN|×d=4.10 分

23.【解析】(1)a=1 时,f(x)=|x+1|+2|x-1|.1 分
当 x<-1 时,f(x)≤7 即为-3x+1≤7,解得-2≤x<-1.

当-1≤x≤1 时,-x+3≤7,解得-1≤x≤1.
当 x>1 时,3x-1≤7,解得 1<x≤83.4 分
综上,f(x)≤7 的解集为??-2,38??.5 分
?-3x+2a-1(x<-1), ? (2)∵a>-1,∴f(x)= -x+2a+1(-1≤x<a),7 分
?3x-2a+1(x≥a),
由 y=f(x)的图象知, f(x)min=f(a)=|a+1|=3,a=-4 或 2,∴a=2.10 分