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新人教A版《空间向量及其运算》同步测试题


新课标高二数学同步测试—(2-1 第三章 3.1)
说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 74 分,第二卷 76 分,共 150 分;答题 时间 120 分钟. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答 案的 代号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若

A1 B = a ,A1 D1 = b ,A1 A = c .则下列向量中与 B1 M 相等的向
量是( A. ? )

1 1 a? b?c 2 2 1 1 C. a ? b ? c 2 2
A. OM ? 2OA ? OB ? OC C. MA ? MB ? MC ? 0
' ' ' '

1 1 a? b?c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2
B. B. OM ?

图 ( )

2.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是

1 1 1 OA ? OB ? OC 5 3 2

D. OM ? OA ? OB ? OC ? 0
' 0

3 .已知 平行六面 体 ABCD ? A B C D 中,AB=4 ,AD=3, AA ? 5 , ?BAD ? 90 ,

?BAA' ? ?DAA' ? 600 ,则 AC ' 等于
A.85 B. 85 C. 5 2 D.50





4 .与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是

?





1 ,1,1) 3 1 3 C. (- , ,-1) 2 2
A. (

B. (-1,-3,2) D. 2 ,-3,-2 2 ) (

5. 已知 A (-1, -2, , (1, -6) 为坐标原点, 6) B 2, O 则向量 OA, 与OB 的夹角是 ( A.0 B.

??? ?

??? ?



? 2

C. ?

D.

3? 2

OB OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA, 6.已知空间四边形 ABCD 中, OA ? a, ? b,
N 为 BC 中点,则 MN = ( )

1 2 1 a? b? c 2 3 2 1 1 1 C. a ? b ? c 2 2 2
A.

2 1 1 a? b? c 3 2 2 2 2 1 D. a ? b ? c 3 3 2
B. ?

AC AB 7.设 A、 C、 是空间不共面的四点, B、 D 且满足 AB ? AC ? 0, ? AD ? 0, ? AD ? 0 ,
则?BCD 是 A.钝角三角形 ( B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 ( ) )

8.空间四边形 OABC 中,OB=OC,?AOB=?AOC=600,则 cos OA BC = ,

A.

1 2

B.

2 2

C.?

1 2

D.0 ( )

9.已知 A(1,1,1) 、B(2,2,2) 、C(3,2,4) ,则 ? ABC 的面积为 A. 3 B. 2 3 C. 6 D.

6 2
( )

10. 已知 a ? (1 ? t ,1 ? t , t ), b ? (2, t , t ) ,则 | a ? b | 的最小值为

A.

5 5

B.

55 5

C.

3 5 5

D.

11 5

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 11.若 a ? (2,3,?1) ,b ? (?2,1,3) ,则 a, b 为邻边的平行四边形的面积为 .

12.已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分别是对边 OA、BC 的中点, 点 G 在线段 MN 上,且 MG ? 2GN ,现用基组 OA, OB, OC 表示向量 OG ,有

?

?

OG =x OA ? yOB ? zOC ,则 x、y、z 的值分别为
13.已知点 A(1,?2,11)、B(4,2,3),C(6,?1,4),则?ABC 的形状是 14.已知向量 a ? (2,?3,0) , b ? (k ,0,3) ,若 a, b 成 1200 的角,则 k= 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76 分). 15.(12 分)如图,已知正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 的棱长 为 a,M 为 BD ' 的中点,点 N 在 AC ' '上,且
A' M D z D' O'

. . .

C' N B'

| A ' N |? 3 | NC ' | ,试求 MN 的长.
16. (12 分)如图在空 间直角坐标系中 BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标是( (1)求向量 OD 的坐标; (2)设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ,求 cosθ 的值 且∠BDC=90°,∠DCB=30°
A x

C

y

3 1 , ,0) D 在平面 yOz 上, ,点 2 2

B



17. (12 分)若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四面体的对棱两两垂直.

18. (12 分)四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一个平行四边形, AB ={2,-1,-4},

AD ={4,2,0}, AP ={-1,2,-1}.
(1)求证:PA⊥底面 ABCD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积; (3)对于向量 a ={x1,y1,z1}, b ={x2,y2,z2}, c ={x3,y3,z3},定义一种运算: ( a × b ) c =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算( AB × AD ) AP 的 · · 绝对值的值;说明其与四棱锥 P—ABCD 体积的关系,并由此猜想向量这一运算( AB ×

AD ) AP 的绝对值的几何意义.. ·

19. (14 分)如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2, M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点. (1)求 BN 的长; (2)求 cos< BA1 ,CB1 >的值 (3)求证:A1B⊥C1M.

20.14 分) ( 如图, 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形且∠C1CB=∠C1CD= ∠BCD=60°. (1)证明:C1C⊥BD;

(2)假定 CD=2,CC1= 角的余弦值; (3)当

3 ,记面 C1BD 为α ,面 CBD 为β ,求二面角α —BD—β 的平面 2

CD 的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明. CC 1

参考答案
一、1.A;2.A;3.B;4.C;5.C;6.B;7.B;8.D;9.D;10.C; 二、 11. 6 5 ; 12.

1 1 1 OA ? OB ? OC ; 6 3 3

13.直角三角形; 14. ? 39 ;


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