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(通用)2018年高考数学一轮复习第九章解析几何94直线与圆、圆与圆的位置关系学案理!


§9.4
考纲展示?

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断 两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 考点 1 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系:________、________、________. (2)两种研究方法:

(3)圆的切线方程常用结论: ①过圆 x +y =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y=r . ②过圆(x-a) +(y-b) =r 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-
2 2 2 2 2 2 2

b)(y-b)=r2.
③过圆 x +y =r 外一点 M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为 x0x+y0y=
2 2 2

r2.
答案:(1)相交 相切 相离 (2)①相交 相切 相离 ②相交 2 r -d
2 2

-1-

相切 相离

(1)[教材习题改编]圆(x-1) +(y+2) =6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交过圆心 D.相离 答案:B

2

2

)

|2?1-2-5| 解析:由题意知,圆心(1,-2)到直线 2x+y-5=0 的距离 d= = 5< 6, 2 2 +1 且 2?1+(-2)-5≠0,所以直线与圆相交但不过圆心. (2)[教材习题改编]圆 x +y -4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为________. 答案:x- 3y+2=0 解析: 圆的方程为(x-2) +y =4,圆心坐标为(2,0),半径为 2,点 P 在圆上. 易知切线的斜率存在,设切线方程为 y- 3=k(x-1),即 kx-y-k+ 3=0, ∴ |2k-k+ 3|
2 2 2 2 2

k +1

=2,解得 k=

3 , 3

∴切线方程为 y- 3= 即 x- 3y+2=0.

3 (x-1), 3

圆的切线:注意切线的条数. 过点(2,3)作圆 x +y =4 的切线,则切线方程为________. 答案:5x-12y+26=0 或 x-2=0 解析:当切线斜率不存在时,可得切线方程为 x-2=0. 当切线斜率存在时,设切线方程为 y-3=k(x-2), 即 kx-y+3-2k=0, |3-2k| 由圆心到切线的距离等于半径得 =2, k2+1 5 解得 k= , 12
2 2

-2-

5 所以切线方程为 y-3= (x-2), 12 即 5x-12y+26=0. 综上可知,切线方程为 5x-12y+26=0 或 x-2=0.

[典题 1]

(1)[2017?湖北七市联考]将直线 x+y-1=0 绕点(1,0)沿逆时针方向旋转
2 2

15°得到直线 l,则直线 l 与圆(x+3) +y =4 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 [答案] B

)

[解析] 依题意得,直线 l 的方程是 y=tan 150°(x-1),即 x+ 3y-1=0,圆心(- |-3-1| 3,0)到直线 l 的距离 d= =2,因此该直线与圆相切. 3+1 (2)[2017?陕西西安一模]直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆 x +y -2x+2y-7 =0 的位置关系是( A.相切 C.相离 [答案] B [解析] 解法一:x +y -2x+2y-7=0 化为圆的标准方程为(x-1) +(y+1) =9, 故圆心坐标为(1,-1),半径 r=3, |?a+1?-?a-1?+2a| |2a+2| 圆心到直线的距离 d= = . 2 2 2 ?a+1? +?a-1? 2a +2 4a +8a+4 7a -4a+7 再根据 r -d =9- = , 2 2a +2 a2+1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

) B.相交 D.不确定

而 7a -4a+7=0 的判别式 Δ =16-196=-180<0, 故有 r >d ,即 d<r,故直线与圆相交. 解法二:由(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R), 整理得 x-y+a(x+y+2)=0, 则由?
? ?x-y=0, ?x+y+2=0, ?
2 2

2

解得?

? ?x=-1, ?y=-1, ?
2 2

即直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)过定点(-1,-1),又(-1) +(-1) -2?(- 1)+2?(-1)-7=-5<0, 则点(-1,-1)在圆 x +y -2x+2y-7=0 的内部,故直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a
2 2

-3-

∈R)与圆 x +y -2x+2y-7=0 相交. (3)已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1) +(y+1) =12. ①求证:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; ②求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长.
? ?y=kx+1, 解法一:①[证明] 由? 2 2 ? ??x-1? +?y+1? =12
2 2

2

2

消去 y,得

(k +1)x -(2-4k)x-7=0, 因为 Δ =(2-4k) +28(k +1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. ②[解] 设直线与圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|= 1+k |x1-x2| =2 8-4k+11k =2 2 1+k
2 2 2 2

2

2

4k+3 11- 2, 1+k

4k+3 2 令 t= 2 ,则 tk -4k+(t-3)=0, 1+k 3 当 t=0 时,k=- ; 4 当 t≠0 时,因为 k∈R, 所以 Δ =16-4t(t-3)≥0, 解得-1≤t≤4,且 t≠0, 4k+3 故 t= 2 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k 则直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. 解法二:①[证明] 因为不论 k 为何实数,直线 l 总过点 P(0,1),而|PC|= 5<2 3=r, 所以点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为何实数,直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P.所以不论

k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点.
②[解] 由平面几何知识知,过圆内定点 P(0,1)的弦,只有与 PC(C 为圆心)垂直时才最 短, 而此时点 P(0,1)为弦 AB 的中点, 由勾股定理知,|AB|=2 12-5=2 7, 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. [点石成金] 判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,

则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.能用几 何法,尽量不用代数法. 考点 2 切线、弦长问题
-4-

[教材习题改编]过点 P(1,0)的直线 l 被圆 O:(x-1) +(y-1) =1 截得的弦长为 2,则 直线 l 的斜率为________. 答案:1 或-1 解析:点 P(1,0)在圆 O 上,而圆 O 的半径为 1,由图(图略)可知直线 l 的斜率为 1 或- 1.

2

2

1.圆的弦长问题:几何法. 直线 x+ 3y-2=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于________. 答案:2 3 |0+ 3?0-2| 解析:由题意可知,圆心(0,0)到直线 x+ 3y-2=0 的距离为 =1, 2 2 1 +? 3? 则|AB|=2 2 -1 =2 3. 2.圆的切线方程问题:代数法或数形结合法. 过点 P(-1,0)作圆(x-1) +y =1 的切线,则切线方程是________. 答案:y=± 3 (x+1) 3
2 2 2 2 2 2

解析:作出图形(图略),可知过点 P(-1,0)的圆的切线的倾斜角为 30°或 150°, 所以切线方程为 y=± 3 (x+1). 3

[典题 2] (1)已知圆 C 过点(-1,0),且圆心在 x 轴的负半轴上,直线 l:y=x+1 被该 圆所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 平行的直线方程为________. [答案] x-y+3=0 [解析] 设圆心为(a,0)(a<0),则圆的半径 r=|a+1|, |a+1| 圆心(a,0)到 y=x+1 的距离为 , 2

-5-

由截得的弦长为 2 2,得|a+1| =?
2

?|a+1|?2 ? +2,解得 a=-3, ? 2 ?
2 2

所以过圆心且与 l 平行的直线为 y-0=x+3,即 x-y+3=0. (2)已知点 P( 2+1,2- 2),点 M(3,1),圆 C:(x-1) +(y-2) =4. ①求过点 P 的圆 C 的切线方程; ②求过点 M 的圆 C 的切线方程,并求出切线长. [解] 由题意,得圆心 C(1,2),半径 r=2. ①∵( 2+1-1) +(2- 2-2) =4, ∴点 P 在圆 C 上. 2- 2-2 又 kPC= =-1, 2-1-1 ∴切线的斜率 k=- 1
2 2

kPC

=1.

∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y-(2- 2)=1?[x-( 2+1)],即 x-y+1-2 2=0. ②∵(3-1) +(1-2) =5>4, ∴点 M 在圆 C 外部. 当过点 M 的直线斜率不存在时, 直线方程为 x=3,即 x-3=0. 又点 C(1,2)到直线 x-3=0 的距离 d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线 x=3 是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0, |k-2+1-3k| 3 则圆心 C 到切线的距离 d= =r=2,解得 k= . 2 4 k +1 3 ∴切线方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0. 4 综上可得,过点 M 的圆 C 的切线方程为 x-3=0 或 3x-4y-5=0. ∵|MC|= ?3-1? +?1-2? =
2 2 2 2 2

5,
2

∴过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC| -r = 5-4=1. [点石成金] 1.圆的切线方程的两种求法 (1)代数法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一 元二次方程,然后令判别式 Δ =0 进而求得 k. (2)几何法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 的距离 d,然后令 d=r,进而求出 k. [提醒] 若点 M(x0,y0)在圆 x +y =r 上,则过点 M 的圆的切线方程为 x0x+y0y=r . 2.弦长的两种求法
-62 2 2 2

(1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式 Δ >0 的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长. (2)几何方法:若弦心距为 d,圆的半径长为 r,则弦长 l=2 r -d . [提醒] 代数法计算量较大,我们一般选用几何法.
2 2

1.[2017?重庆调研]过点(-2,3)的直线 l 与圆 x +y +2x-4y=0 相交于 A,B 两点,则 |AB|取得最小值时 l 的方程为( )

2

2

A.x-y+5=0 B.x+y-1=0 C.x-y-5=0 D.2x+y+1=0 答案:A 解析:由题意,得圆的标准方程为(x+1) +(y-2) =5,则圆心 C(-1,2). 3-2 过圆心与点(-2,3)的直线 l1 的斜率为 k= =-1. -2-?-1? 当直线 l 与 l1 垂直时,|AB|取得最小值,故直线 l 的斜率为 1, 所以直线 l 的方程为 y-3=x-(-2),即 x-y+5=0. 2.过原点 O 作圆 x +y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P,Q,则线段 PQ 的 长为________. 答案:4 解析:将圆的方程化为标准方程(x-3) +(y-4) =5,则圆心为(3,4),半径为 5. 由题意可设切线方程为 y=kx,则圆心(3,4)到直线 y=kx 的距离等于半径, 即 |3k-4| 1 11 = 5,解得 k= 或 k= , 2 2 2 k +1
2 2 2 2 2 2

1 11 则切线方程为 y= x 或 y= x. 2 2

?4 22? 联立切线方程与圆的方程,解得两切点 P,Q 的坐标分别为(4,2),? , ?,由两点间的 ?5 5 ?
距离公式得|PQ|=4. 考点 3 圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系
-7-

设圆 O1:(x-a1) +(y-b1) =r1(r1>0),圆 O2:(x-a2) +(y-b2) =r2(r2>0). 方法 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 答案:d>r1+r2 无解 几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 ________________ ________________ ________________ ____________ ____________ 代数法: 两圆方程联立组成方 程组的解的情况 ________________ ________________ ________________ ____________ ____________

2

2

2

2

2

2

d=r1+r2 一组实数解 |r1-r2|<d<r1+r2 两组不同的实数解

d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解

(1)[教材习题改编]圆 O1:(x+2) +y =4 与圆 O2:(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为 ________. 答案:相交 解析:两圆圆心分别为 O1(-2,0),O2(2,1), 半径长分别为 r1=2,r2=3. ∵|O1O2|= [2-?-2?] +?1-0? = 17, 3-2< 17<3+2,∴两圆相交. (2)[教材习题改编]圆 x +y -4=0 与圆 x +y -4x+4y-12=0 的公共弦长为________. 答案:2 2
?x +y -4=0, ? 解析:由 ? 2 2 ?x +y -4x+4y-12=0, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

得 x-y+2=0. 又圆 x +y =4 的圆心到直线 x-y+2=0 的距离为 由勾股定理得弦长的一半为 4-2= 2, 所以所求弦长为 2 2.
2 2

2 2

= 2.

两圆相切:注意是内切还是外切. 若两圆 x +y =1 与(x-a) +(y+a) =4(a>0)相切,则 a=________.
-82 2 2 2

答案:

2 3 2 或 2 2

解析:两圆的圆心距为 2a,半径分别为 r1=1,r2=2. 当两圆内切时, 当两圆外切时, 2a=2-1=1,得 a= 2 ; 2

3 2 2a=2+1=3,得 a= . 2

[典题 3] 已知圆 C1:(x-a) +(y+2) =4 与圆 C2:(x+b) +(y+2) =1 相外切,则 ab 的最大值为( A. C. 6 2 9 4 ) B. 3 2

2

2

2

2

D.2 3

[答案] C [解析] 由圆 C1 与圆 C2 相外切,可得 ?a+b? +?-2+2? = 2 + 1 = 3 ,即 (a + b) = 9 ,根据基本 ( 均值 ) 不等式可知,
2 2 2

ab≤?

?a+b?2=9,当且仅当 a=b 时等号成立.故选 C. ? ? 2 ? 4
[题点发散 1] 把本例中的“外切”变为“内切”,求 ab 的最大值. 解:由 C1 与 C2 内切,得 ?a+b? +?-2+2? =1. 即(a+b) =1,又 ab≤?
2 2 2

?a+b?2=1, ? ? 2 ? 4

当且仅当 a=b 时等号成立, 1 故 ab 的最大值为 . 4 [题点发散 2] 把本例条件“外切”变为“相交”,求公共弦所在的直线方程. 解:由题意得,把圆 C1,圆 C2 的方程都化为一般方程. 圆 C1:x +y -2ax+4y+a =0,① 圆 C2:x +y +2bx+4y+b +3=0,② 由②-①,得(2a+2b)x+3+b -a =0, 即(2a+2b)x+3+b -a =0 为所求公共弦所在直线方程. [题点发散 3] 将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”,试判断直线 x+y-1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

-9-

=0 与圆(x-a) +(y-b) =1 的位置关系. 解:由两圆存在四条公切线,故两圆外离, 故 ?a+b? +?-2+2? >3. ∴(a+b) >9,即 a+b>3 或 a+b<-3. |a+b-1| ∴圆心(a,b)到直线 x+y-1=0 的距离 d= >1, 2 ∴直线 x+y-1=0 与圆(x-a) +(y-b) =1 相离. [点石成金] 数法. 2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到. 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断,一般不采用代
2 2 2 2 2

2

2

1.圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为( A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 答案:B

2

2

2

2

)

解析:两圆圆心分别为(-2,0)和(2,1),半径分别为 2 和 3,圆心距 d= 4 +1= 17. ∵3-2<d<3+2,∴两圆相交. 2.过两圆 x +y +4x+y=-1,x +y +2x+2y+1=0 的交点的圆中面积最小的圆的方 程为________.
2 2 2 2

2

? 3?2 ? 6?2 4 答案:?x+ ? +?y+ ? = ? 5? ? 5? 5
解析:由?
?x +y +4x+y=-1,① ? ? ?x +y +2x+2y+1=0,②
2 2 2 2

1 ①-②得 2x-y=0,代入①得 x=- 或-1, 5 2? ? 1 ∴两圆两个交点为?- ,- ?,(-1,-2). 5? ? 5 2? ? 1 过两交点的圆中,以?- ,- ?,(-1,-2)为端点的线段为直径的圆时,面积最小. 5? ? 5 6? ? 3 ∴该圆圆心为?- ,- ?, 5? ? 5

半径为

?-1+1?2+?-2+2?2 ? 5 ? ? 5 ? ? ? ? ? 2 5
2 = 5



- 10 -

? 3?2 ? 6?2 4 圆的方程为?x+ ? +?y+ ? = . ? 5? ? 5? 5

[方法技巧] 1.圆的弦长的常用求法 (1)几何法:求圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则? ? =r -d ; ?2?
2 2

?l?2

(2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式:
2 |AB|= 1+k |x1-x2|= ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2]. 2 2

2.两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0 条;②内切:1 条;③相交:2 条;④外 切:3 条;⑤外离:4 条. 3.当两圆相交时,两圆方程(x ,y 项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程. [易错防范] 1.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点是否在圆上,然后设出切
2 2

线方程.注意:斜率不存在的情形. 2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求 得一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解. 真题演练集训 1.[2016?新课标全国卷Ⅱ]圆 x +y -2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距 离为 1,则 a=( 4 A.- 3 C. 3 答案:A 解析:由已知可得,圆的标准方程为(x-1) +(y-4) =4,故该圆的圆心为(1,4),由点 |a+4-1| 4 到直线的距离公式得 d= =1,解得 a=- ,故选 A. 2 3 a +1 2.[2015?新课标全国卷Ⅱ]过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点, 则|MN|=( A.2 6 C.4 6 答案:C 解析:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,
2 2 2 2 2 2

) 3 B.- 4 D.2

) B.8 D.10

- 11 -

D+3E+F+10=0, ? ? 则?4D+2E+F+20=0, ? ?D-7E+F+50=0, D=-2, ? ? 解得?E=4, ? ?F=-20.
∴ 圆的方程为 x +y -2x+4y-20=0. 令 x=0,得 y=-2+2 6或 y=-2-2 6, ∴ M(0,-2+2 6),N(0,-2-2 6)或 M(0,-2-2 6),N(0,-2+2 6),∴ |MN| =4 6,故选 C. 3.[2015?重庆卷]已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对 称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( A.2 C.6 答案:C 解析:∵直线 x+ay-1=0 是圆 C:x +y -4x-2y+1=0 的对称轴, ∴ 圆心 C(2,1)在直线 x+ay-1=0 上, ∴ 2+a-1=0,∴ a=-1, ∴ A(-4,-1). ∴ |AC| =36+4=40. 又 r=2,∴ |AB| =40-4=36. ∴ |AB|=6. 4.[2016?新课标全国卷Ⅲ]已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x +y =12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点.若|AB|=2 3,则|CD|=________. 答案:4 解析:设圆心到直线 l:mx+y+3m- 3=0 的距离为 d,则弦长|AB|=2 12-d =2 3, |3m- 3| 3 得 d=3,即 =3,解得 m=- ,则直线 l:x- 3y+6=0,数形结合可得|CD|= 2 3 m +1 |AB| =4. cos 30° 5.[2015?江苏卷]在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1 =0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________________. 答案:(x-1) +y =2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.4 2 D.2 10

- 12 -

解析:直线 mx-y-2m-1=0 经过定点(2,-1). 当圆与直线相切于点(2,-1)时,圆的半径最大,此时半径 r 满足 r =(1-2) +(0+1) =2. 课外拓展阅读 圆与线性规划的综合应用 2x-y+2≥0, ? ? [典例] 如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ? ?x+y-2≤0 那么|PQ|的最小值为________. [审题视角] 求解本题应先画出点 P 所在的平面区域,再画出点 Q 所在的圆,最后利用 几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题,即可求出|PQ|的最小值. 2x-y+2≥0, ? ? [解析] 由点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ? ?x+y-2≤0
2 2 2 2 2

上,点 Q 在曲线 x +(y+2) =1 上,

2

2

上,画出点 P 所在的平面区域.

由点 Q 在圆 x +(y+2) =1 上,画出点 Q 所在的圆,如图所示.

由题意,得|PQ|的最小值为圆心(0,-2)到直线

x-2y+1=0 的距离减去半径 1.
又圆心(0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离为 |0-2??-1?+1| = 5, 2 2 1 +2 此时垂足(-1,0)在满足条件的平面区域内, 故|PQ|的最小值为 5-1. [答案] 方法点睛 本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识,并考查考生综合应用知识解决问题的 能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来,为我们展现了数学知识相 互交汇的新天地,求解时既要注意使用线性规划的基本思想,又要利用圆上各点的特殊性,
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5-1

实际上是对数形结合思想的提升,即利用线性或非线性函数的几何意义,通过作图来解决最 值问题.

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