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高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布课件新人教A版选修23 (1)_图文

新课标导学

数 学
选修2-3 ·人教A版

第二章
随机变量及其分布 2.4 正态分布

1 2

自主预习学案

互动探究学案

3

课时作业学案

自主预习学案

? 高斯是一个伟大的数学家,一生中的重要贡献不胜枚举. 德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线, 这就传达了一个信息:在高斯的科学贡献中,对人类文明 影响最大的是“正态分布”.

? 那么,什么是正态分布?正态分布的曲线有什么特征?

1.正态曲线及其性质 (1)正态曲线: ?x-μ?2 1 函数 φμ,σ(x)= e- 2σ2 ,x∈(-∞,+∞),其中实数 μ,σ(σ>0)为参数, 2πσ 我们称 φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

? (2)正态曲线的性质: 上方 ? ①曲线位于x轴 ________,与x轴不相交; x=μ ? ②曲线是单峰的,它关于直线 ________对称; 1
2πσ

? ③曲线在x=μ处达到峰值 1 ________; ? ④曲线与x轴之间的面积为_____; ? ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而 沿x轴平移,如图甲所示;

⑥当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越大,曲线越“矮胖”,总体分布 越分散;σ 越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中,如图乙所示:





2.正态分布
b 一般地, 如果对于任何实数 a, b(a<b), 随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=? ? φμ, σ(x)dx, ?
?a

则称随机变量 X 服从正态分布(normal distribution).正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定, 因此正态分布常记作 N(μ, σ 2). 如果随机变量 X 服从正态分布, 则记为 X~ N(μ,σ2). 3.正态总体三个特殊区间内取值的概率值 0.6826 ; ①P(μ-σ<X≤μ+σ)=___________

0.9544 ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=___________ ; 0.9974 ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=___________ .

? 4.3σ原则 ? 通常服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+ 3σ)之间的值.

? 1.(2018·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ, σ2),若P(ξ<2)=P(ξ>6)=0.15,则P(2≤ξ<4)等于 B ( ) ? A.0.3 B.0.35 ? C.0.5 D.0.7 1-0.15×2
[ 解析] 由题意可得 P(2≤ξ<4)= 2 =0.35, 故选 B.

? 2.(2018·孝义市一模)一次考试中,某班学生的数学成绩 X近似服从正态分布N(100,100),则该班数学成绩的及格 率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据:P(μ- D σ≤X≤μ+σ)≈0.68) ( ) ? A.60% B.68% 解析 ] ∵X 服从正态分布 N(100,100), ? C[. 76% D.84%
1 1 ∴P(90≤X<100)=2P(90≤X≤110)=2×0.68=0.34, P(X≥100)=0.5, ∴P(X≥90)=0.34+0.5=0.84. 故选 D.

? 3.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),且P(ξ<2)=0.6 ,则 0.1P(0<ξ<1)=________. ? [解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2), ? ? ? ? ∴曲线关于直线x=1对称, ∵P(ξ<2)=0.6, ∴P(0<ξ<1)=0.6-0.5=0.1, 故答案为0.1.

? 4.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布 10 N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数 学成绩在 分以上的人数为 ______ [ 解析] 由110 ξ~N (100,102)知,μ=100, σ=10, .
又 P(90≤ξ≤100)=0.3, 1-P?90≤ξ≤110? ∴P(ξ>110)=P(ξ<90)= 2 1-2P?90≤ξ≤100? 1-2×0.3 = = =0.2. 2 2 ∴该班学生成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50=10 人.

? 5.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布 N(10,0.12)(单位:kg).任选一袋这种大米,质量在9.8~ 10.2kg的概率是多少? ? [解析] 因为大米的质量服从正态分布N(10,0.12),要求质 量在9.8~10.2的概率,需化为(μ-2σ,μ+2σ)的形式, 然后利用特殊值求解. ? 由正态分布N(10,0.12)知,μ=10,σ=0.1, ? 所以质量在9.8~10.2kg的概率为P(10-2×0.1<X≤10+ 2×0.1)=0.9544.

互动探究学案

命题方向1 ?正态曲线及其性质

?

如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出 其正态分布概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的 数学期望和方差.
典例 1

[ 解析] 1

从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值

1 1 是 ,所以 = , 2 π 2π· σ 2 π ?x-20?2 解得 σ= 2.所以正态分布密度函数的解析式是 f(x)= e- 4 ,x∈(- 2 π 1 ∞,+∞). 总体随机变量的期望 μ=20,方差 σ2=( 2)2=2.

『规律总结』 求正态曲线的两个方法 1 (1)图解法:明确顶点坐标即可,横坐标为样本的均值 μ,纵坐标为 . 2πσ (2)待定系数法:求出 μ,σ 便可.

? 〔跟踪练习1〕 ? 把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位,得到 D 一条新的曲线C2,下列说法中不正确的是 ( ) ? A.曲线C2仍然是正态曲线 ? B.曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等 ? C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为 概率密度曲线的总体的期望大2 ? D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为 概率密度曲线的总体的方差大2

[ 解析]

正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置,曲线的形状没

有改变,所得的曲线依然是正态曲线. 在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中,σ 始终保持不变,所以曲线的 最高点的纵坐标 即正态密
? ? ? ?

1 ? ? 2 度函数的最大值 不变,方差 σ 也没有变化.设 2πσ? ?

曲线 C1 的对称轴为 x=μ,那么曲线 C2 的对称轴则为 x=μ+2,说明期望从 μ 变 到了 μ+2,增大了 2.

命题方向2 ?利用正态分布的对称性求概率

?

? ? ?

? ?

(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若 P(ξ>2)=0.023,则P(-2<ξ<2)= ( C ) A.0.477 B.0.625 C.0.954 D.0.977 B (2)(2017·临沂高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2, σ2),若P(ξ>c)=a,则P(ξ>4-c)等于 ( ) A.a B.1-a C.2a D.1-2a
典例 2

? [解析] (1)P(-2<ξ<2)=1-2P(ξ>2)=1-2×0.023= 0.954. ? (2)对称轴X=2 ? ∴P(ξ>4-c)=1-P(ξ>c)=1-a

『规律总结』

正态总体在某个区间内取值概率的求解策略

(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. (2)熟记 P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. (3)注意概率值的求解转化: ①P(X<a)=1-P(X≥a); ②P(X<μ-a)=P(X≥μ+a); 1-P?μ-b<X<μ+b? ③若 b<μ,则 P(X<b)= . 2 特别提醒:正态曲线,并非都关于 y 轴对称,只有标准正态分布曲线才关于 y 轴对称.

? 〔跟踪练习2〕 ? 为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区 1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查 结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态 分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5kg小于等于 D 62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的 人数是 ( )

? [解析] 由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5<X≤62.5) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,从而属于正常情况的人数 是1000×0.6826≈683.

命题方向3 ?正态分布的应用

?

某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X~ N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽 查一件,测得它的外径为5.7cm,试问该厂生产的这批零 件是否合格? ? [思路分析] 判断某批产品是否合格,主要运用统计中假 设检验的基本思想.欲判定这批零件是否合格,关键是看 随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ-3σ,μ+3σ)之内 还是在(μ-3σ,μ+3σ)之外. ? [解析] 由于圆柱形零件的外径尺寸X~N(4,0.25),由正 态分布的特征可知,X在区间(4-3×0.5,4+3×0.5)(即 (2.5,5.5))之外取值的概率约为0.0027.而5.7?(2.5,5.5),这
典例 3

? 『规律总结』 在解决有关问题时,通常认为服从正态分 布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值. 如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围 就说明出现了意外情况. ? 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法: ? (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值. ? (2)将待求问题向(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ ,μ+3σ]这三个区间进行转化; ? (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与 x轴之间的面积为1求出最后结果.

? 〔跟踪练习3〕 ? 在某次数学考试中,考生的成绩服从一个正态分布,即ξ ~N(90,100). ? (1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率; ? (2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在 (80,100]间的考生大约有多少人.

? [解析] ∵ξ~N(90,100),∴μ=90,σ=10. ? ? ? ? ? ? ? (1)在该正态分布中,μ-2σ=70,μ+2σ=110, ∵P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545, ∴考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率为0.9545. (2)μ-σ=80,μ+σ=100, ∵P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827, ∴考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率为0.6827. 由共有2000名考生,知考试成绩在(80,100]间的考生大约 有2000×0.6827≈1 365(人).

假设检验的思想

? (1)统计中假设检验的基本思想:根据小概率事件在一次试 验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值 ,对事先所作的统计假设作出判断:是拒绝假设,还是接 受假设. ? (2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则ξ落在区间(μ- 3σ,μ+3σ]内的概率为0.9974,亦即落在区间(μ-3σ,μ +3σ]之外的概率为0.0026,此为小概率事件.如果此事 件发生了,就说明ξ不服从正态分布.

? (3)对于小概率事件要有一个正确的理解: ? 小概率事件是指发生的概率小于3%的事件.对于这类事 件来说,在大量重复试验中,平均每试验大约33次,才发 生1次,所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生 的.不过应注意两点:一是这里的“几乎不可能发生”是 针对“一次试验”来说的,如果试验次数多了,该事件当 然是很可能发生的;二是当我们运用“小概率事件几乎不 可能发生的原理”进行推断时,也有3%犯错的可能性.

? 某厂生产的产品,质量要求服从正态分布 典例 4 ? N(100,4),现从产品中抽取了10件,测得质量分别为 102,92,104,103,98,96, 97,99,101,108,则该生产线是否 要停产检修? ? [思路分析] 由题意可知产品质量服从正态分布,又由于 质量在区间(100-2,100+2],即(98,102]内的概率为 0.6826,在区间(96,104]内的概率为0.9544,在区间 (94,106]内的概率为0.9974,所以据此可以判断结论. ? [解析] 由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22),产 品质量在区间(100-3×2,100+3×2],即(94,106]内的概 率为0.9974,而在这个区间外的概率仅为0.0026,在抽测

? 『规律总结』 假设检验是就正态总体而言的,进行假设 检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统计假设里的 变量服从正态分布N(μ,σ2).②确定一次试验中的取值a 是否落入区间(μ-3σ,μ+3σ]内.③作出判断:如果 a∈(μ-3σ,μ+3σ],则接受统计假设.如果a?(μ-3σ, μ+3σ],则拒绝统计假设.

? 〔跟踪练习4〕 ? 假设某省今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002), 某校有考生2400人,试估计成绩在下列范围内的考生人数 . ? (1)(400,600]; ? (2)(300,700]. ? [解析] (1)因为该正态分布中,μ=500,σ=100.所以区 间(400,600]即为(μ-σ,μ+σ],其概率为0.6826,所以成 绩在(400,600]范围内的考生人数约为 2400×0.6826≈1638(人). ? (2)同理可求成绩在(300,700]内的考生人数约为

要准确应用正态分布的对称性转化

?

随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)= 0.8413,求P(-1<ξ≤0).
典例 5

[ 错解]

1 1 P(-1<ξ≤0)=2[1-P(ξ≤1)] =2(1-0.8413)=0.07935.

[辨析] 由于ξ~N(0,1),∴对称轴为x=0, ∴与(-1,0)对称的区间应为(0,1),与(1,+∞)对称的区间为(-∞,-1).

? [正解] 如图所示,因为P(ξ≤1)=0.8413,所以P(ξ>1)=1 -0.8413=0.1587.所以P(ξ≤-1)=0.1587,所以P(- 1<ξ≤0)=0.5-0.1587=0.3413.

? [点评] 对于X~N(μ,σ2),要特别注意x=μ为其对称轴. 解答正态分布问题,这是主要着眼点.

=2P(-1<ξ≤3)=0.3413,故选 B.

? 〔跟踪练习5〕 ? 已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4),则P(1<ξ≤3)= B ( ) ? (参考数据:若随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ) =0.6826,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ<μ +3σ)=0.9974) ? A[. 0.6826 B. 0.3413 解析 ] 由 ξ~N(1,4)知,μ=1,σ=2,∴ μ- σ=-1,μ+σ=3,∴P(1<ξ≤3) ?1 C.0.9544 D.0.4772

1.下列函数可以作为正态分布密度函数的是 ?x-1?2 1 A.f(x)= e- 2 2π ?x-μ?2 1 C.f(x)= e- 2σ2 2πσ 1 ?x-2? B.f(x)= e 2σ2 σ 2π
2

( A )

?x-μ?2 1 D.f(x)=2πe- 2π

1 2.若 X~N(-2,4),则 X 落在(-3.5,-0.5]内的概率是 A.95.45% C.4.55% B.99.73% D.0.27%

( B )

[ 解析]

1 1 由 X~N(-2,4),知 μ=-2,σ=2,

∴P(-3.5<X≤-0.5)=P(-2-3×0.5<X≤-2+3×0.5)=0.9973.

? 3.(2018·全国一模)在某次学科知识竞赛中(总分100分) ,若参赛学生成绩ξ服从N(80,σ2)(σ>0),若ξ在(70,90) 内的概率为0.8,则落在[90,100]内的概率为 ( ) B ? A.0.05 ? C.0.15
[ 解析]

∵ξ 服从 N(80,σ2),

B.0.1 D.0.2

1 ∴P(80<ξ<90)=2P(70<ξ<90)=0.4, 又 P(80<ξ≤100)=0.5, ∴P(90≤ξ≤100)=0.5-0.4=0.1. 故选 B.

? 4.(2018·江门一模)已知随机变量ξ~N(1,4),且P(ξ<3) 0.34 =0.84,则 P(-1<ξ<1)=_________.
[ 解析] 随机变量 ξ~N(1,4), ∴函数曲线关于 ξ=1 对称, 又 P(ξ<3)=0.84, ∴P(ξ≥3)=1-P(ξ<3)=0.16, ∴P(-1<ξ<3)=1-0.16×2=0.68; 1 ∴P(-1<ξ<1)=2P(-1<ξ<3)=0.34. 故答案为 0.34.

? 5.(2018·唐山模拟)已知随机变量ξ~N(1,σ2),若P(ξ> 3)=0.2,则 0.8P(ξ≥-1)=________. ? [解析] 随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2), ? ? ? ? ∴曲线关于x=1对称, ∵P(ξ>3)=0.2,∴P(ξ≤-1)=P(ξ>3), ∴P(ξ≥-1)=1-P(ξ>3)=1-0.2=0.8. 故答案为0.8.


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